Theorem uzrdg0i 14102

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in om2uzrdg 14099. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
uzrdg.1	⊢ 𝐴 ∈ V
uzrdg.2	⊢ 𝑅 = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)
uzrdg.3	⊢ 𝑆 = ran 𝑅

Assertion

Ref	Expression
uzrdg0i	⊢ (𝑆‘𝐶) = 𝐴

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝐶   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥, 𝑦)   𝑆(𝑥, 𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem uzrdg0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3		uzrdg.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		uzrdg.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)
5		uzrdg.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran 𝑅
6	1, 2, 3, 4, 5	uzrdgfni 14101	. . 3 ⊢ 𝑆 Fn (ℤ≥‘𝐶)
7		fnfun 6639	. . 3 ⊢ (𝑆 Fn (ℤ≥‘𝐶) → Fun 𝑆)
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun 𝑆
9	4	fveq1i 6886	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘∅) = ((rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)‘∅)
10		opex 5432	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V
11		fr0g 8444	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩
13	9, 12	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩
14		frfnom 8443	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω) Fn ω
15	4	fneq1i 6636	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω) Fn ω)
16	14, 15	mpbir 234	. . . . 5 ⊢ 𝑅 Fn ω
17		peano1 7900	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
18		fnfvelrn 7080	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
19	16, 17, 18	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅
20	13, 19	eqeltrri 2858	. . 3 ⊢ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅
21	20, 5	eleqtrri 2860	. 2 ⊢ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑆
22		funopfv 6934	. 2 ⊢ (Fun 𝑆 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘𝐶) = 𝐴))
23	8, 21, 22	mp2 9	1 ⊢ (𝑆‘𝐶) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ∅c0 4279  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186  ran crn 5652   ↾ cres 5653  Fun wfun 6532   Fn wfn 6533  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422  ωcom 7877  reccrdg 8417  1c1 11201   + caddc 11203  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  seq1  14157