Theorem uzrdg0i 14003

Description: Initial value of a recursive definition generator on upper integers. See comment in om2uzrdg 14000. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 18-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	⊢ 𝐶 ∈ ℤ
om2uz.2	⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
uzrdg.1	⊢ 𝐴 ∈ V
uzrdg.2	⊢ 𝑅 = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)
uzrdg.3	⊢ 𝑆 = ran 𝑅

Assertion

Ref	Expression
uzrdg0i	⊢ (𝑆‘𝐶) = 𝐴

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑥,𝑦,𝐶   𝑦,𝐺   𝑥,𝐹,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑥,𝑦)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem uzrdg0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		om2uz.1	. . . 4 ⊢ 𝐶 ∈ ℤ
2		om2uz.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), 𝐶) ↾ ω)
3		uzrdg.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4		uzrdg.2	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)
5		uzrdg.3	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ran 𝑅
6	1, 2, 3, 4, 5	uzrdgfni 14002	. . 3 ⊢ 𝑆 Fn (ℤ≥‘𝐶)
7		fnfun 6673	. . 3 ⊢ (𝑆 Fn (ℤ≥‘𝐶) → Fun 𝑆)
8	6, 7	ax-mp 5	. 2 ⊢ Fun 𝑆
9	4	fveq1i 6912	. . . . 5 ⊢ (𝑅‘∅) = ((rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)‘∅)
10		opex 5476	. . . . . 6 ⊢ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V
11		fr0g 8481	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ V → ((rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩)
12	10, 11	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω)‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩
13	9, 12	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ (𝑅‘∅) = ⟨𝐶, 𝐴⟩
14		frfnom 8480	. . . . . 6 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω) Fn ω
15	4	fneq1i 6670	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 Fn ω ↔ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥𝐹𝑦)⟩), ⟨𝐶, 𝐴⟩) ↾ ω) Fn ω)
16	14, 15	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝑅 Fn ω
17		peano1 7915	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ ω
18		fnfvelrn 7104	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 Fn ω ∧ ∅ ∈ ω) → (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅)
19	16, 17, 18	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑅‘∅) ∈ ran 𝑅
20	13, 19	eqeltrri 2837	. . 3 ⊢ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ ran 𝑅
21	20, 5	eleqtrri 2839	. 2 ⊢ ⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑆
22		funopfv 6963	. 2 ⊢ (Fun 𝑆 → (⟨𝐶, 𝐴⟩ ∈ 𝑆 → (𝑆‘𝐶) = 𝐴))
23	8, 21, 22	mp2 9	1 ⊢ (𝑆‘𝐶) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479  ∅c0 4340  ⟨cop 4638   ↦ cmpt 5232  ran crn 5691   ↾ cres 5692  Fun wfun 6560   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435   ∈ cmpo 7437  ωcom 7891  reccrdg 8454  1c1 11160   + caddc 11162  ℤcz 12617  ℤ_≥cuz 12882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-er 8750  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12271  df-n0 12531  df-z 12618  df-uz 12883

This theorem is referenced by:  seq1  14058