Theorem fzp1nel 13630

Description: One plus the upper bound of a finite set of integers is not a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1nel	⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Proof of Theorem fzp1nel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12586	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		ltp1 12046	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3		id 23	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		peano2re 11371	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	ltnled 11345	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
6	2, 5	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
7	1, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
8	7	intnand 493	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
9	8	3ad2ant2 1150	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
10		elfz2 13533	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
11	10	notbii 323	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
12		imnan 404	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
13	11, 12	bitr4i 281	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
14	9, 13	mpbir 234	1 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5105  (class class class)co 7400  ℝcr 11087  1c1 11089   + caddc 11091   < clt 11231   ≤ cle 11232  ℤcz 12582  ...cfz 13526

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-z 12583  df-fz 13527

This theorem is referenced by:  fprodm1  16011  gsumzaddlem  19982  wlkp1lem1  29930  wlkp1lem5  29934  esplyfvn  33884  fwddifnp1  36528  caratheodorylem1  47098