Theorem fzp1nel 13625

Description: One plus the upper bound of a finite set of integers is not a member of that set. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzp1nel	⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Proof of Theorem fzp1nel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zre 12600	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
2		ltp1 12092	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
3		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → 𝑁 ∈ ℝ)
4		peano2re 11425	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
5	3, 4	ltnled 11399	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 < (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
6	2, 5	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
7	1, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)
8	7	intnand 487	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
9	8	3ad2ant2 1131	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁))
10		elfz2 13531	. . . 4 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
11	10	notbii 319	. . 3 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
12		imnan 398	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)) ↔ ¬ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
13	11, 12	bitr4i 277	. 2 ⊢ (¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → ¬ (𝑀 ≤ (𝑁 + 1) ∧ (𝑁 + 1) ≤ 𝑁)))
14	9, 13	mpbir 230	1 ⊢ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  (class class class)co 7426  ℝcr 11145  1c1 11147   + caddc 11149   < clt 11286   ≤ cle 11287  ℤcz 12596  ...cfz 13524

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-z 12597  df-fz 13525

This theorem is referenced by:  fprodm1  15951  gsumzaddlem  19883  wlkp1lem1  29507  wlkp1lem5  29511  fwddifnp1  35794  caratheodorylem1  45943