Theorem fprodm1 15890

Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodm1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodm1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzp1nel 13527	. . . . 5 ⊢ ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2		fprodm1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 12761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12597	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		1cnd 11127	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	5, 6	npcand 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
9	1, 8	mtbii 326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10		disjsn 4668	. . . 4 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
11	9, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12		eluzel2 12756	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		peano2zm 12534	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
16	13	zcnd 12597	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16, 6	npcand 11496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
18	17	fveq2d 6838	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
19	2, 18	eleqtrrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))
20		eluzp1m1 12777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
22		fzsuc2 13498	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
23	13, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
24	7	oveq2d 7374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
25	7	sneqd 4592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
26	25	uneq2d 4120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
27	23, 24, 26	3eqtr3d 2779	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28		fzfid 13896	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29		fprodm1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	11, 27, 28, 29	fprodsplit 15889	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31		fprodm1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
32	31	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
33	29	ralrimiva 3128	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34		eluzfz2 13448	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
35	2, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36	32, 33, 35	rspcdva 3577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	31	prodsn 15885	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
38	2, 36, 37	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
39	38	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
40	30, 39	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900  ∅c0 4285  {csn 4580  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  ℤcz 12488  ℤ_≥cuz 12751  ...cfz 13423  ∏cprod 15826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-prod 15827

This theorem is referenced by:  fprodp1  15892  fprodm1s  15893  risefacp1  15952  fallfacp1  15953  prmop1  16966  bcprod  35932  aks4d1p1  42330