Theorem fprodm1 15605

Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodm1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodm1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzp1nel 13269	. . . . 5 ⊢ ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2		fprodm1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 12521	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12356	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		1cnd 10901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	5, 6	npcand 11266	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
9	1, 8	mtbii 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10		disjsn 4644	. . . 4 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
11	9, 10	sylibr 233	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12		eluzel2 12516	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		peano2zm 12293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
16	13	zcnd 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16, 6	npcand 11266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
18	17	fveq2d 6760	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
19	2, 18	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))
20		eluzp1m1 12537	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
22		fzsuc2 13243	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
23	13, 21, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
24	7	oveq2d 7271	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
25	7	sneqd 4570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
26	25	uneq2d 4093	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
27	23, 24, 26	3eqtr3d 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28		fzfid 13621	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29		fprodm1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	11, 27, 28, 29	fprodsplit 15604	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31		fprodm1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
32	31	eleq1d 2823	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
33	29	ralrimiva 3107	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34		eluzfz2 13193	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
35	2, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36	32, 33, 35	rspcdva 3554	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	31	prodsn 15600	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
38	2, 36, 37	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
39	38	oveq2d 7271	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
40	30, 39	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   − cmin 11135  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ...cfz 13168  ∏cprod 15543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-clim 15125  df-prod 15544

This theorem is referenced by:  fprodp1  15607  fprodm1s  15608  risefacp1  15667  fallfacp1  15668  prmop1  16667  bcprod  33610  aks4d1p1  40012