MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodm1 14980
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodm1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 12631 . . . . 5 ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 11896 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 11730 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 1cnd 10288 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75, 6npcand 10650 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87eleq1d 2829 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
91, 8mtbii 317 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10 disjsn 4402 . . . 4 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
119, 10sylibr 225 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12 eluzel2 11891 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 peano2zm 11667 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1613zcnd 11730 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1716, 6npcand 10650 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1817fveq2d 6379 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
192, 18eleqtrrd 2847 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))
20 eluzp1m1 11910 . . . . . 6 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
2115, 19, 20syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
22 fzsuc2 12605 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
2313, 21, 22syl2anc 579 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
247oveq2d 6858 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
257sneqd 4346 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
2625uneq2d 3929 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2723, 24, 263eqtr3d 2807 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28 fzfid 12980 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29 fprodm1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3011, 27, 28, 29fprodsplit 14979 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31 fprodm1.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
3231eleq1d 2829 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3329ralrimiva 3113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34 eluzfz2 12556 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
352, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3632, 33, 35rspcdva 3467 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3731prodsn 14975 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
382, 36, 37syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
3938oveq2d 6858 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
4030, 39eqtrd 2799 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3730  cin 3731  c0 4079  {csn 4334  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  cmin 10520  cz 11624  cuz 11886  ...cfz 12533  cprod 14918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-oadd 7768  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-sup 8555  df-oi 8622  df-card 9016  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-clim 14504  df-prod 14919
This theorem is referenced by:  fprodp1  14982  fprodm1s  14983  risefacp1  15042  fallfacp1  15043  prmop1  16021  bcprod  32069
  Copyright terms: Public domain W3C validator