MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodm1 15677
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodm1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 13340 . . . . 5 ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 12592 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 12427 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 1cnd 10970 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75, 6npcand 11336 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87eleq1d 2823 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
91, 8mtbii 326 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10 disjsn 4647 . . . 4 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
119, 10sylibr 233 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12 eluzel2 12587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 peano2zm 12363 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1613zcnd 12427 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1716, 6npcand 11336 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1817fveq2d 6778 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
192, 18eleqtrrd 2842 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))
20 eluzp1m1 12608 . . . . . 6 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
2115, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
22 fzsuc2 13314 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
2313, 21, 22syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
247oveq2d 7291 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
257sneqd 4573 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
2625uneq2d 4097 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2723, 24, 263eqtr3d 2786 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28 fzfid 13693 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29 fprodm1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3011, 27, 28, 29fprodsplit 15676 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31 fprodm1.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
3231eleq1d 2823 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3329ralrimiva 3103 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34 eluzfz2 13264 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
352, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3632, 33, 35rspcdva 3562 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3731prodsn 15672 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
382, 36, 37syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
3938oveq2d 7291 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
4030, 39eqtrd 2778 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106  cun 3885  cin 3886  c0 4256  {csn 4561  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  cmin 11205  cz 12319  cuz 12582  ...cfz 13239  cprod 15615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-prod 15616
This theorem is referenced by:  fprodp1  15679  fprodm1s  15680  risefacp1  15739  fallfacp1  15740  prmop1  16739  bcprod  33704  aks4d1p1  40084
  Copyright terms: Public domain W3C validator