Theorem fprodm1 16143

Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodm1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodm1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzp1nel 13752	. . . . 5 ⊢ ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2		fprodm1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12811	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		1cnd 11309	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	5, 6	npcand 11680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
9	1, 8	mtbii 329	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10		disjsn 4668	. . . 4 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
11	9, 10	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12		eluzel2 12977	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	2, 12	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		peano2zm 12746	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
16	13	zcnd 12811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16, 6	npcand 11680	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
18	17	fveq2d 6894	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
19	2, 18	eleqtrrd 2863	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))
20		eluzp1m1 12998	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
22		fzsuc2 13723	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
23	13, 21, 22	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
24	7	oveq2d 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
25	7	sneqd 4592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
26	25	uneq2d 4166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
27	23, 24, 26	3eqtr3d 2803	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28		fzfid 14123	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29		fprodm1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	11, 27, 28, 29	fprodsplit 16142	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31		fprodm1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
32	31	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
33	29	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34		eluzfz2 13672	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
35	2, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36	32, 33, 35	rspcdva 3577	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	31	prodsn 16138	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
38	2, 36, 37	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
39	38	oveq2d 7440	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
40	30, 39	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  {csn 4584  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205  1c1 11208   + caddc 11210   · cmul 11212   − cmin 11548  ℤcz 12700  ℤ_≥cuz 12972  ...cfz 13646  ∏cprod 16081

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-sup 9441  df-oi 9511  df-card 10027  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-rp 13128  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-clim 15664  df-prod 16082

This theorem is used by:  fprodp1  16145  fprodm1s  16146  risefacp1  16204  fallfacp1  16205  prmop1  17225  bcprod  36627  aks4d1p1  43263