Theorem fprodm1 15888

Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fprodm1.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fprodm1.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3	⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fprodm1	⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzp1nel 13525	. . . . 5 ⊢ ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2		fprodm1.1	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		eluzelz 12759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4	2, 3	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
5	4	zcnd 12595	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℂ)
6		1cnd 11125	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
7	5, 6	npcand 11494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
8	7	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
9	1, 8	mtbii 326	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10		disjsn 4666	. . . 4 ⊢ (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
11	9, 10	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12		eluzel2 12754	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
13	2, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
14		peano2zm 12532	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
16	13	zcnd 12595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
17	16, 6	npcand 11494	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
18	17	fveq2d 6836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
19	2, 18	eleqtrrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)))
20		eluzp1m1 12775	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
21	15, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
22		fzsuc2 13496	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
23	13, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
24	7	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
25	7	sneqd 4590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
26	25	uneq2d 4118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
27	23, 24, 26	3eqtr3d 2777	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28		fzfid 13894	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29		fprodm1.2	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	11, 27, 28, 29	fprodsplit 15887	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31		fprodm1.3	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐵)
32	31	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
33	29	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34		eluzfz2 13446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
35	2, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
36	32, 33, 35	rspcdva 3575	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
37	31	prodsn 15883	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
38	2, 36, 37	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
39	38	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
40	30, 39	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4283  {csn 4578  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   − cmin 11362  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  ...cfz 13421  ∏cprod 15824

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-inf2 9548  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-oi 9413  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-clim 15409  df-prod 15825

This theorem is referenced by:  fprodp1  15890  fprodm1s  15891  risefacp1  15950  fallfacp1  15951  prmop1  16964  bcprod  35881  aks4d1p1  42269