MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fprodm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fprodm1 15415
Description: Separate out the last term in a finite product. (Contributed by Scott Fenton, 16-Dec-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fprodm1.1 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
fprodm1.2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fprodm1.3 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
fprodm1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝜑,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑘)

Proof of Theorem fprodm1
StepHypRef Expression
1 fzp1nel 13084 . . . . 5 ¬ ((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))
2 fprodm1.1 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
3 eluzelz 12336 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
42, 3syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
54zcnd 12171 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℂ)
6 1cnd 10716 . . . . . . 7 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
75, 6npcand 11081 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
87eleq1d 2817 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑁 − 1) + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)) ↔ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
91, 8mtbii 329 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
10 disjsn 4602 . . . 4 (((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅ ↔ ¬ 𝑁 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1)))
119, 10sylibr 237 . . 3 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∩ {𝑁}) = ∅)
12 eluzel2 12331 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
132, 12syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
14 peano2zm 12108 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
1613zcnd 12171 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℂ)
1716, 6npcand 11081 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
1817fveq2d 6680 . . . . . . 7 (𝜑 → (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ𝑀))
192, 18eleqtrrd 2836 . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1)))
20 eluzp1m1 12352 . . . . . 6 (((𝑀 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘((𝑀 − 1) + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
2115, 19, 20syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1)))
22 fzsuc2 13058 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ‘(𝑀 − 1))) → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
2313, 21, 22syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}))
247oveq2d 7188 . . . 4 (𝜑 → (𝑀...((𝑁 − 1) + 1)) = (𝑀...𝑁))
257sneqd 4528 . . . . 5 (𝜑 → {((𝑁 − 1) + 1)} = {𝑁})
2625uneq2d 4053 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {((𝑁 − 1) + 1)}) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
2723, 24, 263eqtr3d 2781 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...(𝑁 − 1)) ∪ {𝑁}))
28 fzfid 13434 . . 3 (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29 fprodm1.2 . . 3 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
3011, 27, 28, 29fprodsplit 15414 . 2 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴))
31 fprodm1.3 . . . . . 6 (𝑘 = 𝑁𝐴 = 𝐵)
3231eleq1d 2817 . . . . 5 (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
3329ralrimiva 3096 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
34 eluzfz2 13008 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
352, 34syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
3632, 33, 35rspcdva 3528 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
3731prodsn 15410 . . . 4 ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
382, 36, 37syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴 = 𝐵)
3938oveq2d 7188 . 2 (𝜑 → (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · ∏𝑘 ∈ {𝑁}𝐴) = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
4030, 39eqtrd 2773 1 (𝜑 → ∏𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 = (∏𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))𝐴 · 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2114  cun 3841  cin 3842  c0 4211  {csn 4516  cfv 6339  (class class class)co 7172  cc 10615  1c1 10618   + caddc 10620   · cmul 10622  cmin 10950  cz 12064  cuz 12326  ...cfz 12983  cprod 15353
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-er 8322  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-sup 8981  df-oi 9049  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-rp 12475  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-seq 13463  df-exp 13524  df-hash 13785  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-prod 15354
This theorem is referenced by:  fprodp1  15417  fprodm1s  15418  risefacp1  15477  fallfacp1  15478  prmop1  16476  bcprod  33279  aks4d1p1  39725
  Copyright terms: Public domain W3C validator