Theorem wlkp1lem1 30131

Description: Lemma for wlkp1 30139. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem wlkp1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkcl 30075	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3		wlkp1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 30076	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
5	2, 4	jca 521	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
6		fzp1nel 13666	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8		wlkp1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
9	8	oveq1i 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)
10	9	eleq1i 2851	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
11	7, 10	sylnibr 332	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12		eleq2 2849	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → ((𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))))
13	12	notbid 321	. . . 4 ⊢ (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))))
14	11, 13	syl5ibrcom 250	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
15		fdm 6712	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
16	14, 15	impel 515	. 2 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
17	1, 5, 16	3syl 19	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  dom cdm 5655  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  ℕ₀cn0 12528  ...cfz 13561  ♯chash 14394  Vtxcvtx 29453  iEdgciedg 29454  Walkscwlks 30056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-ifp 1079  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-hash 14395  df-word 14579  df-wlks 30059

This theorem is used by:  wlkp1lem7  30137  wlkp1lem8  30138  eupth2eucrct  30697