MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem wlkp1lem1 29194
Description: Lemma for wlkp1 29202. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkp1.f (πœ‘ β†’ Fun 𝐼)
wlkp1.a (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ π‘Š)
wlkp1.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑉)
wlkp1.d (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐡 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
Proof of Theorem wlkp1lem1
StepHypRef Expression
1 wlkp1.w . 2 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
2 wlkcl 29136 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0)
3 wlkp1.v . . . 4 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
43wlkp 29137 . . 3 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰)
52, 4jca 511 . 2 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰))
6 fzp1nel 13590 . . . . . 6 Β¬ ((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))
76a1i 11 . . . . 5 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ Β¬ ((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
8 wlkp1.n . . . . . . 7 𝑁 = (β™―β€˜πΉ)
98oveq1i 7422 . . . . . 6 (𝑁 + 1) = ((β™―β€˜πΉ) + 1)
109eleq1i 2823 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)) ↔ ((β™―β€˜πΉ) + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
117, 10sylnibr 328 . . . 4 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ)))
12 eleq2 2821 . . . . 5 (dom 𝑃 = (0...(β™―β€˜πΉ)) β†’ ((𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))))
1312notbid 317 . . . 4 (dom 𝑃 = (0...(β™―β€˜πΉ)) β†’ (Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(β™―β€˜πΉ))))
1411, 13syl5ibrcom 246 . . 3 ((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 β†’ (dom 𝑃 = (0...(β™―β€˜πΉ)) β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
15 fdm 6727 . . 3 (𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰ β†’ dom 𝑃 = (0...(β™―β€˜πΉ)))
1614, 15impel 505 . 2 (((β™―β€˜πΉ) ∈ β„•0 ∧ 𝑃:(0...(β™―β€˜πΉ))βŸΆπ‘‰) β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
171, 5, 163syl 18 1 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„•0cn0 12477  ...cfz 13489  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28520  iEdgciedg 28521  Walkscwlks 29117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-wlks 29120
This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  29200  wlkp1lem8  29201  eupth2eucrct  29734
  Copyright terms: Public domain W3C validator