MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem1 28030
Description: Lemma for wlkp1 28038. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵𝑊)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem1 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem wlkp1lem1
StepHypRef Expression
1 wlkp1.w . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 wlkcl 27972 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3 wlkp1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 27973 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
52, 4jca 512 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
6 fzp1nel 13331 . . . . . 6 ¬ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))
76a1i 11 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8 wlkp1.n . . . . . . 7 𝑁 = (♯‘𝐹)
98oveq1i 7279 . . . . . 6 (𝑁 + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)
109eleq1i 2831 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
117, 10sylnibr 329 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12 eleq2 2829 . . . . 5 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → ((𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))))
1312notbid 318 . . . 4 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))))
1411, 13syl5ibrcom 246 . . 3 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
15 fdm 6606 . . 3 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
1614, 15impel 506 . 2 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
171, 5, 163syl 18 1 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  dom cdm 5589  Fun wfun 6425  wf 6427  cfv 6431  (class class class)co 7269  Fincfn 8708  0cc0 10864  1c1 10865   + caddc 10867  0cn0 12225  ...cfz 13230  chash 14034  Vtxcvtx 27356  iEdgciedg 27357  Walkscwlks 27953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-cnex 10920  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-mulcom 10928  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-ifp 1061  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6200  df-ord 6267  df-on 6268  df-lim 6269  df-suc 6270  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7702  df-1st 7818  df-2nd 7819  df-frecs 8082  df-wrecs 8113  df-recs 8187  df-rdg 8226  df-1o 8282  df-er 8473  df-map 8592  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-fin 8712  df-card 9690  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-xr 11006  df-ltxr 11007  df-le 11008  df-sub 11199  df-neg 11200  df-nn 11966  df-n0 12226  df-z 12312  df-uz 12574  df-fz 13231  df-fzo 13374  df-hash 14035  df-word 14208  df-wlks 27956
This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  28036  wlkp1lem8  28037  eupth2eucrct  28569
  Copyright terms: Public domain W3C validator