Theorem wlkp1lem1 29618

Description: Lemma for wlkp1 29626. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkp1.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f	⊢ (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
wlkp1.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑉)
wlkp1.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n	⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
wlkp1lem1	⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem wlkp1lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wlkp1.w	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2		wlkcl 29560	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3		wlkp1.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
4	3	wlkp 29561	. . 3 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
5	2, 4	jca 511	. 2 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
6		fzp1nel 13632	. . . . . 6 ⊢ ¬ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))
7	6	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8		wlkp1.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (♯‘𝐹)
9	8	oveq1i 7422	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)
10	9	eleq1i 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
11	7, 10	sylnibr 329	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12		eleq2 2822	. . . . 5 ⊢ (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → ((𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))))
13	12	notbid 318	. . . 4 ⊢ (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))))
14	11, 13	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
15		fdm 6724	. . 3 ⊢ (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
16	14, 15	impel 505	. 2 ⊢ (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 ∧ 𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
17	1, 5, 16	3syl 18	1 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5123  dom cdm 5665  Fun wfun 6534  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7412  Fincfn 8966  0cc0 11136  1c1 11137   + caddc 11139  ℕ₀cn0 12508  ...cfz 13528  ♯chash 14350  Vtxcvtx 28940  iEdgciedg 28941  Walkscwlks 29541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12860  df-fz 13529  df-fzo 13676  df-hash 14351  df-word 14534  df-wlks 29544

This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  29624  wlkp1lem8  29625  eupth2eucrct  30163