Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkp1lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkp1lem1 27469
 Description: Lemma for wlkp1 27477. (Contributed by AV, 6-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkp1.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkp1.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkp1.f (𝜑 → Fun 𝐼)
wlkp1.a (𝜑𝐼 ∈ Fin)
wlkp1.b (𝜑𝐵𝑊)
wlkp1.c (𝜑𝐶𝑉)
wlkp1.d (𝜑 → ¬ 𝐵 ∈ dom 𝐼)
wlkp1.w (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkp1.n 𝑁 = (♯‘𝐹)
Assertion
Ref Expression
wlkp1lem1 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)

Proof of Theorem wlkp1lem1
StepHypRef Expression
1 wlkp1.w . 2 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
2 wlkcl 27411 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
3 wlkp1.v . . . 4 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43wlkp 27412 . . 3 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉)
52, 4jca 515 . 2 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉))
6 fzp1nel 12995 . . . . . 6 ¬ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))
76a1i 11 . . . . 5 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
8 wlkp1.n . . . . . . 7 𝑁 = (♯‘𝐹)
98oveq1i 7159 . . . . . 6 (𝑁 + 1) = ((♯‘𝐹) + 1)
109eleq1i 2906 . . . . 5 ((𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)) ↔ ((♯‘𝐹) + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
117, 10sylnibr 332 . . . 4 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹)))
12 eleq2 2904 . . . . 5 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → ((𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))))
1312notbid 321 . . . 4 (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → (¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃 ↔ ¬ (𝑁 + 1) ∈ (0...(♯‘𝐹))))
1411, 13syl5ibrcom 250 . . 3 ((♯‘𝐹) ∈ ℕ0 → (dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃))
15 fdm 6511 . . 3 (𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉 → dom 𝑃 = (0...(♯‘𝐹)))
1614, 15impel 509 . 2 (((♯‘𝐹) ∈ ℕ0𝑃:(0...(♯‘𝐹))⟶𝑉) → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
171, 5, 163syl 18 1 (𝜑 → ¬ (𝑁 + 1) ∈ dom 𝑃)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052  dom cdm 5542  Fun wfun 6337  ⟶wf 6339  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  Fincfn 8505  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538  ℕ0cn0 11894  ...cfz 12894  ♯chash 13695  Vtxcvtx 26795  iEdgciedg 26796  Walkscwlks 27392 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-ifp 1059  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-hash 13696  df-word 13867  df-wlks 27395 This theorem is referenced by:  wlkp1lem7  27475  wlkp1lem8  27476  eupth2eucrct  28008
 Copyright terms: Public domain W3C validator