Theorem fzrevral 13645

Description: Reversal of scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
2		elfzelz 13556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		fzrev 13620	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
4	3	anassrs 472	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
5	2, 4	sylan2 604	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
6	1, 5	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7		rspsbc 3832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
8	6, 7	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
9	8	ex3 1365	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
10	9	com23 87	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
11	10	ralrimdv 3163	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
12		nfv 1944	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐾 ∈ ℤ
13		nfcv 2925	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))
14		nfsbc1v 3764	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
15	13, 14	nfralw 3312	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
16		fzrev2i 13622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
17		oveq2 7418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
18	17	sbceq1d 3749	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
19	18	rspcv 3577	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
20	16, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
21		zcn 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22		elfzelz 13556	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12705	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
24		nncan 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
25	21, 23, 24	syl2an 607	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
26	25	eqcomd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
27		sbceq1a 3755	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
28	26, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
29	20, 28	sylibrd 262	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑))
30	29	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑)))
31	30	com23 87	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
32	12, 15, 31	ralrimd 3270	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
33	32	3ad2ant3 1153	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
34	11, 33	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  [wsbc 3744  (class class class)co 7410  ℂcc 11102   − cmin 11445  ℤcz 12595  ...cfz 13539

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-fz 13540

This theorem is used by:  fzrevral2  13646  fzrevral3  13647  fzshftral  13648