MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzrevral Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzrevral 12842
Description: Reversal of scanning order inside of a quantification over a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
2 elfzelz 12758 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 fzrev 12820 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
43anassrs 468 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
52, 4sylan2 592 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
61, 5mpbid 233 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7 rspsbc 3792 . . . . . 6 ((𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
98ex3 1339 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
109com23 86 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → [(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1110ralrimdv 3154 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
12 nfv 1893 . . . 4 𝑗 𝐾 ∈ ℤ
13 nfcv 2948 . . . . 5 𝑗((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))
14 nfsbc1v 3727 . . . . 5 𝑗[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
1513, 14nfral 3190 . . . 4 𝑗𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
16 fzrev2i 12822 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
17 oveq2 7027 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑗) → (𝐾𝑘) = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
1817sbceq1d 3712 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑗) → ([(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
1918rspcv 3553 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2016, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
21 zcn 11836 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22 elfzelz 12758 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
2322zcnd 11938 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
24 nncan 10765 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2521, 23, 24syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2625eqcomd 2800 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
27 sbceq1a 3718 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2920, 28sylibrd 260 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑))
3029ex 413 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑)))
3130com23 86 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
3212, 15, 31ralrimd 3184 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
33323ad2ant3 1128 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
3411, 33impbid 213 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2080  wral 3104  [wsbc 3707  (class class class)co 7019  cc 10384  cmin 10719  cz 11831  ...cfz 12742
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743
This theorem is referenced by:  fzrevral2  12843  fzrevral3  12844  fzshftral  12845
  Copyright terms: Public domain W3C validator