MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzrevral Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzrevral 13653
Description: Reversal of scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
2 elfzelz 13565 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 fzrev 13628 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
43anassrs 467 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
52, 4sylan2 593 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
61, 5mpbid 232 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7 rspsbc 3878 . . . . . 6 ((𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
98ex3 1346 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
109com23 86 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → [(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1110ralrimdv 3151 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
12 nfv 1913 . . . 4 𝑗 𝐾 ∈ ℤ
13 nfcv 2904 . . . . 5 𝑗((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))
14 nfsbc1v 3807 . . . . 5 𝑗[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
1513, 14nfralw 3310 . . . 4 𝑗𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
16 fzrev2i 13630 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
17 oveq2 7440 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑗) → (𝐾𝑘) = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
1817sbceq1d 3792 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑗) → ([(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
1918rspcv 3617 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2016, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
21 zcn 12620 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22 elfzelz 13565 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
2322zcnd 12725 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
24 nncan 11539 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2521, 23, 24syl2an 596 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2625eqcomd 2742 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
27 sbceq1a 3798 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2920, 28sylibrd 259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑))
3029ex 412 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑)))
3130com23 86 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
3212, 15, 31ralrimd 3263 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
33323ad2ant3 1135 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
3411, 33impbid 212 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wral 3060  [wsbc 3787  (class class class)co 7432  cc 11154  cmin 11493  cz 12615  ...cfz 13548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549
This theorem is referenced by:  fzrevral2  13654  fzrevral3  13655  fzshftral  13656
  Copyright terms: Public domain W3C validator