Theorem fzrevral 13542

Description: Reversal of scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
fzrevral	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
2		elfzelz 13454	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3		fzrev 13517	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
4	3	anassrs 467	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
5	2, 4	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) ↔ (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
6	1, 5	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7		rspsbc 3831	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 − 𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
8	6, 7	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
9	8	ex3 1348	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
10	9	com23 86	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → [(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑)))
11	10	ralrimdv 3136	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))
12		nfv 1916	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗 𝐾 ∈ ℤ
13		nfcv 2899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))
14		nfsbc1v 3762	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
15	13, 14	nfralw 3285	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑
16		fzrev2i 13519	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)))
17		oveq2 7378	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → (𝐾 − 𝑘) = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
18	17	sbceq1d 3747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = (𝐾 − 𝑗) → ([(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
19	18	rspcv 3574	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 − 𝑗) ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
21		zcn 12507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22		elfzelz 13454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
23	22	zcnd 12611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
24		nncan 11424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
25	21, 23, 24	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) = 𝑗)
26	25	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)))
27		sbceq1a 3753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑗 = (𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑 ↔ [(𝐾 − (𝐾 − 𝑗)) / 𝑗]𝜑))
29	20, 28	sylibrd 259	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑))
30	29	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → 𝜑)))
31	30	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
32	12, 15, 31	ralrimd 3243	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
33	32	3ad2ant3 1136	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
34	11, 33	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾 − 𝑁)...(𝐾 − 𝑀))[(𝐾 − 𝑘) / 𝑗]𝜑))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  [wsbc 3742  (class class class)co 7370  ℂcc 11038   − cmin 11378  ℤcz 12502  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  fzrevral2  13543  fzrevral3  13544  fzshftral  13545