MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzrevral Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzrevral 13584
Description: Reversal of scanning order inside of a universal quantification restricted to a finite set of sequential integers. (Contributed by NM, 25-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
fzrevral ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐾   𝑗,𝑀,𝑘   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑗)

Proof of Theorem fzrevral
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
2 elfzelz 13499 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → 𝑘 ∈ ℤ)
3 fzrev 13562 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
43anassrs 467 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
52, 4sylan2 592 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) ↔ (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁)))
61, 5mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁))
7 rspsbc 3866 . . . . . 6 ((𝐾𝑘) ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
86, 7syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
98ex3 1343 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
109com23 86 . . 3 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → (𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → [(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑)))
1110ralrimdv 3144 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 → ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
12 nfv 1909 . . . 4 𝑗 𝐾 ∈ ℤ
13 nfcv 2895 . . . . 5 𝑗((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))
14 nfsbc1v 3790 . . . . 5 𝑗[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
1513, 14nfralw 3300 . . . 4 𝑗𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑
16 fzrev2i 13564 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)))
17 oveq2 7410 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = (𝐾𝑗) → (𝐾𝑘) = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
1817sbceq1d 3775 . . . . . . . . 9 (𝑘 = (𝐾𝑗) → ([(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
1918rspcv 3600 . . . . . . . 8 ((𝐾𝑗) ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2016, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
21 zcn 12561 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℂ)
22 elfzelz 13499 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℤ)
2322zcnd 12665 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝑗 ∈ ℂ)
24 nncan 11487 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ ℂ) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2521, 23, 24syl2an 595 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐾 − (𝐾𝑗)) = 𝑗)
2625eqcomd 2730 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)))
27 sbceq1a 3781 . . . . . . . 8 (𝑗 = (𝐾 − (𝐾𝑗)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2826, 27syl 17 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝜑[(𝐾 − (𝐾𝑗)) / 𝑗]𝜑))
2920, 28sylibrd 259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑))
3029ex 412 . . . . 5 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑𝜑)))
3130com23 86 . . . 4 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → (𝑗 ∈ (𝑀...𝑁) → 𝜑)))
3212, 15, 31ralrimd 3253 . . 3 (𝐾 ∈ ℤ → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
33323ad2ant3 1132 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑 → ∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑))
3411, 33impbid 211 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (∀𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)𝜑 ↔ ∀𝑘 ∈ ((𝐾𝑁)...(𝐾𝑀))[(𝐾𝑘) / 𝑗]𝜑))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3053  [wsbc 3770  (class class class)co 7402  cc 11105  cmin 11442  cz 12556  ...cfz 13482
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-n0 12471  df-z 12557  df-uz 12821  df-fz 13483
This theorem is referenced by:  fzrevral2  13585  fzrevral3  13586  fzshftral  13587
  Copyright terms: Public domain W3C validator