Theorem gsummptfzsplitl 19879

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplitl.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 13962	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplitl.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		incom 4197	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁)))
8		1e0p1 12741	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁))
11	10	ineq2d 4208	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ (1...𝑁)) = ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)))
12		gsummptfzsplit.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elnn0uz 12889	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
15		fzpreddisj 13574	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
16	12, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
17	7, 11, 16	3eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ∅)
18		fzpred 13573	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
19	12, 14, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
20		uncom 4149	. . . 4 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0})
21		0p1e1 12356	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	oveq1i 7424	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
23	22	uneq1i 4155	. . . 4 ⊢ (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0}) = ((1...𝑁) ∪ {0})
24	20, 23	eqtri 2755	. . 3 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∪ {0})
25	19, 24	eqtrdi 2783	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
26	1, 2, 3, 4, 5, 17, 25	gsummptfidmsplit 19876	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ∪ cun 3942   ∩ cin 3943  ∅c0 4318  {csn 4624   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  ℕ₀cn0 12494  ℤ_≥cuz 12844  ...cfz 13508  Basecbs 17171  +_gcplusg 17224   Σ_g cgsu 17413  CMndccmn 19726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-seq 13991  df-hash 14314  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-cntz 19259  df-cmn 19728

This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  20160  freshmansdream  21495  chfacfscmulgsum  22749  chfacfpmmulgsum  22753  cpmadugsumlemF  22765