Theorem gsummptfzsplitl 19534

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplitl.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 13693	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplitl.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		incom 4135	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁)))
8		1e0p1 12479	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁))
11	10	ineq2d 4146	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ (1...𝑁)) = ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)))
12		gsummptfzsplit.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elnn0uz 12623	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
15		fzpreddisj 13305	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
16	12, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
17	7, 11, 16	3eqtrd 2782	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ∅)
18		fzpred 13304	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
19	12, 14, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
20		uncom 4087	. . . 4 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0})
21		0p1e1 12095	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	oveq1i 7285	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
23	22	uneq1i 4093	. . . 4 ⊢ (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0}) = ((1...𝑁) ∪ {0})
24	20, 23	eqtri 2766	. . 3 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∪ {0})
25	19, 24	eqtrdi 2794	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
26	1, 2, 3, 4, 5, 17, 25	gsummptfidmsplit 19531	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886  ∅c0 4256  {csn 4561   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874  ℕ₀cn0 12233  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962   Σ_g cgsu 17151  CMndccmn 19386

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-cntz 18923  df-cmn 19388

This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  19779  chfacfscmulgsum  22009  chfacfpmmulgsum  22013  cpmadugsumlemF  22025  freshmansdream  31484