MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gsummptfzsplitl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gsummptfzsplitl 19715
Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
gsummptfzsplit.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p + = (+g𝐺)
gsummptfzsplit.g (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplitl.y ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌𝐵)
Assertion
Ref Expression
gsummptfzsplitl (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl
StepHypRef Expression
1 gsummptfzsplit.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 gsummptfzsplit.p . 2 + = (+g𝐺)
3 gsummptfzsplit.g . 2 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
4 fzfid 13884 . 2 (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5 gsummptfzsplitl.y . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌𝐵)
6 incom 4162 . . . 4 ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁))
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁)))
8 1e0p1 12665 . . . . . 6 1 = (0 + 1)
98oveq1i 7368 . . . . 5 (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
109a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁))
1110ineq2d 4173 . . 3 (𝜑 → ({0} ∩ (1...𝑁)) = ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)))
12 gsummptfzsplit.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
13 elnn0uz 12813 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
1413biimpi 215 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ (ℤ‘0))
15 fzpreddisj 13496 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
1612, 14, 153syl 18 . . 3 (𝜑 → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
177, 11, 163eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ∅)
18 fzpred 13495 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘0) → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
1912, 14, 183syl 18 . . 3 (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
20 uncom 4114 . . . 4 ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0})
21 0p1e1 12280 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
2221oveq1i 7368 . . . . 5 ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
2322uneq1i 4120 . . . 4 (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0}) = ((1...𝑁) ∪ {0})
2420, 23eqtri 2761 . . 3 ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∪ {0})
2519, 24eqtrdi 2789 . 2 (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
261, 2, 3, 4, 5, 17, 25gsummptfidmsplit 19712 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3909  cin 3910  c0 4283  {csn 4587  cmpt 5189  cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059  0cn0 12418  cuz 12768  ...cfz 13430  Basecbs 17088  +gcplusg 17138   Σg cgsu 17327  CMndccmn 19567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-cntz 19102  df-cmn 19569
This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  19965  chfacfscmulgsum  22225  chfacfpmmulgsum  22229  cpmadugsumlemF  22241  freshmansdream  32116
  Copyright terms: Public domain W3C validator