Theorem gsummptfzsplitl 20127

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplitl.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 14096	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplitl.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		incom 4155	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁)))
8		1e0p1 12842	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁))
11	10	ineq2d 4166	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ (1...𝑁)) = ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)))
12		gsummptfzsplit.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elnn0uz 12987	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
15		fzpreddisj 13687	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
16	12, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
17	7, 11, 16	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ∅)
18		fzpred 13686	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
19	12, 14, 18	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
20		uncom 4105	. . . 4 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0})
21		0p1e1 12444	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	oveq1i 7422	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
23	22	uneq1i 4111	. . . 4 ⊢ (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0}) = ((1...𝑁) ∪ {0})
24	20, 23	eqtri 2784	. . 3 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∪ {0})
25	19, 24	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
26	1, 2, 3, 4, 5, 17, 25	gsummptfidmsplit 20124	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  {csn 4584   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184  ℕ₀cn0 12587  ℤ_≥cuz 12946  ...cfz 13620  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408   Σ_g cgsu 17591  CMndccmn 19974

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-seq 14125  df-hash 14455  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-cntz 19511  df-cmn 19976

This theorem is used by:  srgbinomlem4  20435  freshmansdream  21860  chfacfscmulgsum  23158  chfacfpmmulgsum  23162  cpmadugsumlemF  23174