Theorem gsummptfzsplitl 20066

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplitl.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 14041	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplitl.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		incom 4158	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁)))
8		1e0p1 12787	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq1i 7427	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁))
11	10	ineq2d 4169	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ (1...𝑁)) = ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)))
12		gsummptfzsplit.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elnn0uz 12932	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	biimpi 219	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
15		fzpreddisj 13632	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
16	12, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
17	7, 11, 16	3eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ∅)
18		fzpred 13631	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
19	12, 14, 18	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
20		uncom 4108	. . . 4 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0})
21		0p1e1 12389	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	oveq1i 7427	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
23	22	uneq1i 4114	. . . 4 ⊢ (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0}) = ((1...𝑁) ∪ {0})
24	20, 23	eqtri 2785	. . 3 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∪ {0})
25	19, 24	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
26	1, 2, 3, 4, 5, 17, 25	gsummptfidmsplit 20063	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901  ∅c0 4282  {csn 4587   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  0cc0 11128  1c1 11129   + caddc 11131  ℕ₀cn0 12532  ℤ_≥cuz 12891  ...cfz 13565  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348   Σ_g cgsu 17531  CMndccmn 19913

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-seq 14070  df-hash 14399  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-gsum 17533  df-mre 17676  df-mrc 17677  df-acs 17679  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-submnd 18898  df-cntz 19450  df-cmn 19915

This theorem is used by:  srgbinomlem4  20374  freshmansdream  21793  chfacfscmulgsum  23091  chfacfpmmulgsum  23095  cpmadugsumlemF  23107