Theorem gsummptfzsplitl 19830

Description: Split a group sum expressed as mapping with a finite set of sequential integers as domain into two parts, , extracting a singleton from the left. (Contributed by AV, 7-Nov-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsummptfzsplit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gsummptfzsplit.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gsummptfzsplit.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
gsummptfzsplit.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
gsummptfzsplitl.y	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gsummptfzsplitl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   + (𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑌(𝑘)

Proof of Theorem gsummptfzsplitl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gsummptfzsplit.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gsummptfzsplit.p	. 2 ⊢ + = (+g‘𝐺)
3		gsummptfzsplit.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ CMnd)
4		fzfid 13898	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) ∈ Fin)
5		gsummptfzsplitl.y	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (0...𝑁)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		incom 4162	. . . 4 ⊢ ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁))
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ({0} ∩ (1...𝑁)))
8		1e0p1 12651	. . . . . 6 ⊢ 1 = (0 + 1)
9	8	oveq1i 7363	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁)
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1...𝑁) = ((0 + 1)...𝑁))
11	10	ineq2d 4173	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ (1...𝑁)) = ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)))
12		gsummptfzsplit.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13		elnn0uz 12798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
14	13	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
15		fzpreddisj 13494	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
16	12, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ({0} ∩ ((0 + 1)...𝑁)) = ∅)
17	7, 11, 16	3eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → ((1...𝑁) ∩ {0}) = ∅)
18		fzpred 13493	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
19	12, 14, 18	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)))
20		uncom 4111	. . . 4 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0})
21		0p1e1 12263	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
22	21	oveq1i 7363	. . . . 5 ⊢ ((0 + 1)...𝑁) = (1...𝑁)
23	22	uneq1i 4117	. . . 4 ⊢ (((0 + 1)...𝑁) ∪ {0}) = ((1...𝑁) ∪ {0})
24	20, 23	eqtri 2752	. . 3 ⊢ ({0} ∪ ((0 + 1)...𝑁)) = ((1...𝑁) ∪ {0})
25	19, 24	eqtrdi 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → (0...𝑁) = ((1...𝑁) ∪ {0}))
26	1, 2, 3, 4, 5, 17, 25	gsummptfidmsplit 19827	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (0...𝑁) ↦ 𝑌)) = ((𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...𝑁) ↦ 𝑌)) + (𝐺 Σg (𝑘 ∈ {0} ↦ 𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  {csn 4579   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℕ₀cn0 12402  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179   Σ_g cgsu 17362  CMndccmn 19677

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-oi 9421  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13927  df-hash 14256  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-cntz 19214  df-cmn 19679

This theorem is referenced by:  srgbinomlem4  20132  freshmansdream  21499  chfacfscmulgsum  22763  chfacfpmmulgsum  22767  cpmadugsumlemF  22779