MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzpred Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzpred 13603
Description: Join a predecessor to the beginning of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
fzpred (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzpred
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12879 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 uzid 12889 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ𝑀))
3 peano2uz 12937 . . . 4 (𝑀 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
41, 2, 33syl 18 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
5 fzsplit2 13580 . . 3 (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
64, 5mpancom 686 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
7 fzsn 13597 . . . 4 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
81, 7syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
98uneq1d 4162 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
106, 9eqtrd 2766 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  cun 3945  {csn 4633  cfv 6554  (class class class)co 7424  1c1 11159   + caddc 11161  cz 12610  cuz 12874  ...cfz 13538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-er 8734  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-fz 13539
This theorem is referenced by:  elfzp12  13634  elfzlmr  13801  gsummptfzsplitl  19931  chtvalz  34475  poimirlem6  37327  poimirlem7  37328  poimirlem16  37337  poimirlem18  37339  poimirlem19  37340  poimirlem20  37341  poimirlem21  37342  poimirlem22  37343  iccpartgt  46999  iccpartgel  47001
  Copyright terms: Public domain W3C validator