Theorem fzpred 12706

Description: Join a predecessor to the beginning of a finite set of sequential integers. (Contributed by AV, 24-Aug-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fzpred	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))

Proof of Theorem fzpred

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 11997	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		uzid 12007	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
3		peano2uz 12047	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
4	1, 2, 3	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		fzsplit2 12683	. . 3 ⊢ (((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
6	4, 5	mpancom 678	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
7		fzsn 12700	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
8	1, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
9	8	uneq1d 3989	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
10	6, 9	eqtrd 2814	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ∪ cun 3790  {csn 4398  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1c1 10273   + caddc 10275  ℤcz 11728  ℤ_≥cuz 11992  ...cfz 12643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644

This theorem is referenced by:  elfzp12  12737  elfzlmr  12901  gsummptfzsplitl  18719  chtvalz  31309  poimirlem6  34041  poimirlem7  34042  poimirlem16  34051  poimirlem18  34053  poimirlem19  34054  poimirlem20  34055  poimirlem21  34056  poimirlem22  34057  iccpartgt  42395  iccpartgel  42397