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Theorem salgencntex 44674
Description: This counterexample shows that df-salgen 44644 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgencntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c 𝐶 = (𝑆𝑇)
salgencntex.z 𝑍 = {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
Assertion
Ref Expression
salgencntex ¬ 𝑍 ∈ SAlg
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex
Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saluni 44656 . 2 (𝑍 ∈ SAlg → 𝑍𝑍)
2 salgencntex.z . . . . . . . 8 𝑍 = {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
3 salgencntex.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝒫 𝐵
4 salgencntex.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (0[,]1)
5 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ∈ V
64, 5eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ V
7 pwsal 44646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
93, 8eqeltri 2829 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ SAlg
10 salgencntex.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑆𝑇)
11 inss2 4193 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑇) ⊆ 𝑇
1210, 11eqsstri 3982 . . . . . . . . . . 11 𝐶𝑇
139, 12pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑇)
14 sseq2 3974 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑇 → (𝐶𝑠𝐶𝑇))
1514elrab 3649 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑇))
1613, 15mpbir 230 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
17 intss1 4928 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑇)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑇
192, 18eqsstri 3982 . . . . . . 7 𝑍𝑇
2019unissi 4878 . . . . . 6 𝑍 𝑇
213unieqi 4882 . . . . . . 7 𝑇 = 𝒫 𝐵
22 unipw 5411 . . . . . . 7 𝒫 𝐵 = 𝐵
2321, 22eqtri 2760 . . . . . 6 𝑇 = 𝐵
2420, 23sseqtri 3984 . . . . 5 𝑍𝐵
25 sseq2 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑡 → (𝐶𝑠𝐶𝑡))
2625elrab 3649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑡))
2726biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑡))
2827simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → 𝐶𝑡)
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → 𝐶𝑡)
30 0red 11166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31 2re 12235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33 unitssre 13425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) ⊆ ℝ
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐵𝑦𝐵)
3534, 4eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0[,]1))
3633, 35sselid 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℝ)
3730rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38 1xr 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
40 iccgelb 13329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
4137, 39, 35, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
42 1re 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44 iccleub 13328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
4537, 39, 35, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝑦 ≤ 1)
46 1le2 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≤ 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ≤ 2)
4836, 43, 32, 45, 47letrd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝑦 ≤ 2)
4930, 32, 36, 41, 48eliccd 43832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0[,]2))
50 salgencntex.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐴 = (0[,]2)
5149, 50eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐵𝑦𝐴)
52 snelpwi 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54 snfi 8994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑦} ∈ Fin
55 fict 9597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦} ≼ ω
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58 orc 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
6053, 59jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62 difeq2 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
6362breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
6461, 63orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65 salgencntex.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
6664, 65elrab2 3652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
6760, 66sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68 snelpwi 5404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
6968, 3eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
7067, 69elind 4158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆𝑇))
7110eqcomi 2741 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆𝑇) = 𝐶
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵 → (𝑆𝑇) = 𝐶)
7370, 72eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
7473adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
7529, 74sseldd 3949 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
7675ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77 vsnex 5390 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦} ∈ V
7877elint2 4918 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦} ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
7976, 78sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠})
8079, 2eleqtrrdi 2844 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81 snidg 4624 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦})
82 eleq2 2822 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑦} → (𝑦𝑤𝑦 ∈ {𝑦}))
8382rspcev 3583 . . . . . . . . 9 (({𝑦} ∈ 𝑍𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
8480, 81, 83syl2anc 585 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
85 eluni2 4873 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑍 ↔ ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
8684, 85sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑦𝐵𝑦 𝑍)
8786rgen 3063 . . . . . 6 𝑦𝐵 𝑦 𝑍
88 dfss3 3936 . . . . . 6 (𝐵 𝑍 ↔ ∀𝑦𝐵 𝑦 𝑍)
8987, 88mpbir 230 . . . . 5 𝐵 𝑍
9024, 89eqssi 3964 . . . 4 𝑍 = 𝐵
91 ovex 7394 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]2) ∈ V
9250, 91eqeltri 2829 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ V
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
9493, 65salexct 44665 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
9594mptru 1549 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ SAlg
96 inss1 4192 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑇) ⊆ 𝑆
9710, 96eqsstri 3982 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑆
9895, 97pm3.2i 472 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑆)
99 sseq2 3974 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝐶𝑠𝐶𝑆))
10099elrab 3649 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑆))
10198, 100mpbir 230 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
102 intss1 4928 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑆)
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑆
1042, 103eqsstri 3982 . . . . . 6 𝑍𝑆
105104sseli 3944 . . . . 5 (𝐵𝑍𝐵𝑆)
10650, 65, 4salexct2 44670 . . . . . 6 ¬ 𝐵𝑆
107106a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝑍 → ¬ 𝐵𝑆)
108105, 107pm2.65i 193 . . . 4 ¬ 𝐵𝑍
10990, 108eqneltri 2852 . . 3 ¬ 𝑍𝑍
110109a1i 11 . 2 (𝑍 ∈ SAlg → ¬ 𝑍𝑍)
1111, 110pm2.65i 193 1 ¬ 𝑍 ∈ SAlg
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wtru 1543  wcel 2107  wral 3061  wrex 3070  {crab 3406  Vcvv 3447  cdif 3911  cin 3913  wss 3914  𝒫 cpw 4564  {csn 4590   cuni 4869   cint 4911   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  ωcom 7806  cdom 8887  Fincfn 8889  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060  *cxr 11196  cle 11198  2c2 12216  [,]cicc 13276  SAlgcsalg 44639
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cc 10379  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319  df-ntr 22394  df-salg 44640
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