Theorem salgencntex 46800

Description: This counterexample shows that df-salgen 46770 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b	⊢ 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t	⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
salgencntex.z	⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
salgencntex	⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saluni 46782	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
2		salgencntex.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
3		salgencntex.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
4		salgencntex.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
5		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]1) ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		pwsal 46772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
9	3, 8	eqeltri 2837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ SAlg
10		salgencntex.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
11		inss2 4169	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
12	10, 11	eqsstri 3963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑇
13	9, 12	pm3.2i 472	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇)
14		sseq2 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑇 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑇))
15	14	elrab 3631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇))
16	13, 15	mpbir 233	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
17		intss1 4896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇
19	2, 18	eqsstri 3963	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑇
20	19	unissi 4850	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ ∪ 𝑇
21	3	unieqi 4853	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝒫 𝐵
22		unipw 5392	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝐵 = 𝐵
23	21, 22	eqtri 2764	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑇 = 𝐵
24	20, 23	sseqtri 3965	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ 𝐵
25		sseq2 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑡))
26	25	elrab 3631	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
27	26	biimpi 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
28	27	simprd 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → 𝐶 ⊆ 𝑡)
29	28	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → 𝐶 ⊆ 𝑡)
30		0red 11142	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31		2re 12250	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33		unitssre 13447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34, 4	eleqtrdi 2851	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]1))
36	33, 35	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
37	30	rexrd 11190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38		1xr 11199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
40		iccgelb 13350	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
41	37, 39, 35, 40	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
42		1re 11139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44		iccleub 13349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
45	37, 39, 35, 44	syl3anc 1380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 1)
46		1le2 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ≤ 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ≤ 2)
48	36, 43, 32, 45, 47	letrd 11298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 2)
49	30, 32, 36, 41, 48	eliccd 45963	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]2))
50		salgencntex.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
51	49, 50	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)
52		snelpwi 5386	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54		snfi 8984	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
55		fict 9569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑦} ≼ ω
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58		orc 874	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
60	53, 59	jca 517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61		breq1 5078	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62		difeq2 4054	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
63	62	breq1d 5085	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
64	61, 63	orbi12d 925	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65		salgencntex.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
66	64, 65	elrab2 3634	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
67	60, 66	sylibr 236	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68		snelpwi 5386	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
69	68, 3	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
70	67, 69	elind 4132	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆 ∩ 𝑇))
71	10	eqcomi 2750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶)
73	70, 72	eleqtrd 2843	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
74	73	adantr 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
75	29, 74	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
76	75	ralrimiva 3133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77		vsnex 5367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ V
78	77	elint2 4887	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
79	76, 78	sylibr 236	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠})
80	79, 2	eleqtrrdi 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81		snidg 4595	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ {𝑦})
82		eleq2 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑦} → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ {𝑦}))
83	82	rspcev 3562	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑦} ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
84	80, 81, 83	syl2anc 591	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
85		eluni2 4845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑍 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
86	84, 85	sylibr 236	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
87	86	rgen 3057	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍
88		dfss3 3906	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑍 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
89	87, 88	mpbir 233	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑍
90	24, 89	eqssi 3933	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑍 = 𝐵
91		ovex 7393	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]2) ∈ V
92	50, 91	eqeltri 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
94	93, 65	salexct 46791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
95	94	mptru 1555	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
96		inss1 4168	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑆
97	10, 96	eqsstri 3963	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑆
98	95, 97	pm3.2i 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆)
99		sseq2 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑆))
100	99	elrab 3631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆))
101	98, 100	mpbir 233	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
102		intss1 4896	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆
104	2, 103	eqsstri 3963	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑆
105	104	sseli 3913	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ 𝑆)
106	50, 65, 4	salexct2 46796	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆
107	106	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ¬ 𝐵 ∈ 𝑆)
108	105, 107	pm2.65i 195	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑍
109	90, 108	eqneltri 2860	. . 3 ⊢ ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍
110	109	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
111	1, 110	pm2.65i 195	1 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 397   ∨ wo 854   = wceq 1548  ⊤wtru 1549   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065  {crab 3393  Vcvv 3433   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  𝒫 cpw 4532  {csn 4558  ∪ cuni 4841  ∩ cint 4880   class class class wbr 5075  (class class class)co 7360  ωcom 7810   ≼ cdom 8885  Fincfn 8887  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034  ℝ^*cxr 11173   ≤ cle 11175  2c2 12231  [,]cicc 13296  SAlgcsalg 46765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-inf2 9557  ax-cc 10352  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-omul 8404  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-acn 9861  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-ioo 13297  df-ioc 13298  df-ico 13299  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-limsup 15428  df-clim 15445  df-rlim 15446  df-sum 15644  df-topgen 17401  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-top 22881  df-topon 22898  df-bases 22933  df-ntr 23007  df-salg 46766

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