Theorem salgencntex 46440

Description: This counterexample shows that df-salgen 46410 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b	⊢ 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t	⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
salgencntex.z	⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
salgencntex	⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saluni 46422	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
2		salgencntex.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
3		salgencntex.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
4		salgencntex.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
5		ovex 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]1) ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		pwsal 46412	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
9	3, 8	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ SAlg
10		salgencntex.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
11		inss2 4185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
12	10, 11	eqsstri 3976	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑇
13	9, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇)
14		sseq2 3956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑇 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑇))
15	14	elrab 3642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇))
16	13, 15	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
17		intss1 4911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇
19	2, 18	eqsstri 3976	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑇
20	19	unissi 4865	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ ∪ 𝑇
21	3	unieqi 4868	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝒫 𝐵
22		unipw 5389	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝐵 = 𝐵
23	21, 22	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑇 = 𝐵
24	20, 23	sseqtri 3978	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ 𝐵
25		sseq2 3956	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑡))
26	25	elrab 3642	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
27	26	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
28	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → 𝐶 ⊆ 𝑡)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → 𝐶 ⊆ 𝑡)
30		0red 11115	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31		2re 12199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33		unitssre 13399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34, 4	eleqtrdi 2841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]1))
36	33, 35	sselid 3927	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
37	30	rexrd 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38		1xr 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
40		iccgelb 13302	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
41	37, 39, 35, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
42		1re 11112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44		iccleub 13301	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
45	37, 39, 35, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 1)
46		1le2 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ≤ 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ≤ 2)
48	36, 43, 32, 45, 47	letrd 11270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 2)
49	30, 32, 36, 41, 48	eliccd 45603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]2))
50		salgencntex.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
51	49, 50	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)
52		snelpwi 5383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54		snfi 8965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
55		fict 9543	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑦} ≼ ω
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58		orc 867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
60	53, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61		breq1 5092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62		difeq2 4067	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
63	62	breq1d 5099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
64	61, 63	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65		salgencntex.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
66	64, 65	elrab2 3645	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
67	60, 66	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68		snelpwi 5383	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
69	68, 3	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
70	67, 69	elind 4147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆 ∩ 𝑇))
71	10	eqcomi 2740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶)
73	70, 72	eleqtrd 2833	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
75	29, 74	sseldd 3930	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
76	75	ralrimiva 3124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77		vsnex 5370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ V
78	77	elint2 4902	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
79	76, 78	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠})
80	79, 2	eleqtrrdi 2842	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81		snidg 4610	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ {𝑦})
82		eleq2 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑦} → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ {𝑦}))
83	82	rspcev 3572	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑦} ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
84	80, 81, 83	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
85		eluni2 4860	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑍 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
86	84, 85	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
87	86	rgen 3049	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍
88		dfss3 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑍 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
89	87, 88	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑍
90	24, 89	eqssi 3946	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑍 = 𝐵
91		ovex 7379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]2) ∈ V
92	50, 91	eqeltri 2827	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
94	93, 65	salexct 46431	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
95	94	mptru 1548	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
96		inss1 4184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑆
97	10, 96	eqsstri 3976	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑆
98	95, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆)
99		sseq2 3956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑆))
100	99	elrab 3642	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆))
101	98, 100	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
102		intss1 4911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆
104	2, 103	eqsstri 3976	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑆
105	104	sseli 3925	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ 𝑆)
106	50, 65, 4	salexct2 46436	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆
107	106	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ¬ 𝐵 ∈ 𝑆)
108	105, 107	pm2.65i 194	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑍
109	90, 108	eqneltri 2850	. . 3 ⊢ ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍
110	109	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
111	1, 110	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ∃wrex 3056  {crab 3395  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  𝒫 cpw 4547  {csn 4573  ∪ cuni 4856  ∩ cint 4895   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ωcom 7796   ≼ cdom 8867  Fincfn 8869  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007  ℝ^*cxr 11145   ≤ cle 11147  2c2 12180  [,]cicc 13248  SAlgcsalg 46405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-inf2 9531  ax-cc 10326  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-omul 8390  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-oi 9396  df-card 9832  df-acn 9835  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-ioo 13249  df-ioc 13250  df-ico 13251  df-icc 13252  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-topgen 17347  df-psmet 21283  df-xmet 21284  df-met 21285  df-bl 21286  df-mopn 21287  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-ntr 22935  df-salg 46406

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