Theorem salgencntex 46352

Description: This counterexample shows that df-salgen 46322 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b	⊢ 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t	⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
salgencntex.z	⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
salgencntex	⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saluni 46334	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
2		salgencntex.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
3		salgencntex.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
4		salgencntex.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
5		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]1) ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		pwsal 46324	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
9	3, 8	eqeltri 2831	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ SAlg
10		salgencntex.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
11		inss2 4218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
12	10, 11	eqsstri 4010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑇
13	9, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇)
14		sseq2 3990	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑇 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑇))
15	14	elrab 3676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇))
16	13, 15	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
17		intss1 4944	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇
19	2, 18	eqsstri 4010	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑇
20	19	unissi 4897	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ ∪ 𝑇
21	3	unieqi 4900	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝒫 𝐵
22		unipw 5430	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝐵 = 𝐵
23	21, 22	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑇 = 𝐵
24	20, 23	sseqtri 4012	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ 𝐵
25		sseq2 3990	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑡))
26	25	elrab 3676	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
27	26	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
28	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → 𝐶 ⊆ 𝑡)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → 𝐶 ⊆ 𝑡)
30		0red 11243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31		2re 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33		unitssre 13521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34, 4	eleqtrdi 2845	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]1))
36	33, 35	sselid 3961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
37	30	rexrd 11290	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38		1xr 11299	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
40		iccgelb 13424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
41	37, 39, 35, 40	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
42		1re 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44		iccleub 13423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
45	37, 39, 35, 44	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 1)
46		1le2 12454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ≤ 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ≤ 2)
48	36, 43, 32, 45, 47	letrd 11397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 2)
49	30, 32, 36, 41, 48	eliccd 45513	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]2))
50		salgencntex.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
51	49, 50	eleqtrrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)
52		snelpwi 5423	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54		snfi 9062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
55		fict 9672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑦} ≼ ω
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58		orc 867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
60	53, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61		breq1 5127	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62		difeq2 4100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
63	62	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
64	61, 63	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65		salgencntex.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
66	64, 65	elrab2 3679	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
67	60, 66	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68		snelpwi 5423	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
69	68, 3	eleqtrrdi 2846	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
70	67, 69	elind 4180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆 ∩ 𝑇))
71	10	eqcomi 2745	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶)
73	70, 72	eleqtrd 2837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
75	29, 74	sseldd 3964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
76	75	ralrimiva 3133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77		vsnex 5409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ V
78	77	elint2 4934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
79	76, 78	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠})
80	79, 2	eleqtrrdi 2846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81		snidg 4641	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ {𝑦})
82		eleq2 2824	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑦} → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ {𝑦}))
83	82	rspcev 3606	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑦} ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
84	80, 81, 83	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
85		eluni2 4892	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑍 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
86	84, 85	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
87	86	rgen 3054	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍
88		dfss3 3952	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑍 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
89	87, 88	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑍
90	24, 89	eqssi 3980	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑍 = 𝐵
91		ovex 7443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]2) ∈ V
92	50, 91	eqeltri 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
94	93, 65	salexct 46343	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
95	94	mptru 1547	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
96		inss1 4217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑆
97	10, 96	eqsstri 4010	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑆
98	95, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆)
99		sseq2 3990	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑆))
100	99	elrab 3676	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆))
101	98, 100	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
102		intss1 4944	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆
104	2, 103	eqsstri 4010	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑆
105	104	sseli 3959	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ 𝑆)
106	50, 65, 4	salexct2 46348	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆
107	106	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ¬ 𝐵 ∈ 𝑆)
108	105, 107	pm2.65i 194	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑍
109	90, 108	eqneltri 2854	. . 3 ⊢ ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍
110	109	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
111	1, 110	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  ∀wral 3052  ∃wrex 3061  {crab 3420  Vcvv 3464   ∖ cdif 3928   ∩ cin 3930   ⊆ wss 3931  𝒫 cpw 4580  {csn 4606  ∪ cuni 4888  ∩ cint 4927   class class class wbr 5124  (class class class)co 7410  ωcom 7866   ≼ cdom 8962  Fincfn 8964  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275  2c2 12300  [,]cicc 13370  SAlgcsalg 46317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cc 10454  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-acn 9961  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-topgen 17462  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-top 22837  df-topon 22854  df-bases 22889  df-ntr 22963  df-salg 46318

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