Theorem salgencntex 46299

Description: This counterexample shows that df-salgen 46269 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b	⊢ 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t	⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
salgencntex.z	⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
salgencntex	⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saluni 46281	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
2		salgencntex.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
3		salgencntex.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
4		salgencntex.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
5		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]1) ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		pwsal 46271	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
9	3, 8	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ SAlg
10		salgencntex.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
11		inss2 4246	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
12	10, 11	eqsstri 4030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑇
13	9, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇)
14		sseq2 4022	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑇 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑇))
15	14	elrab 3695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇))
16	13, 15	mpbir 231	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
17		intss1 4968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇
19	2, 18	eqsstri 4030	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑇
20	19	unissi 4921	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ ∪ 𝑇
21	3	unieqi 4924	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝒫 𝐵
22		unipw 5461	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝐵 = 𝐵
23	21, 22	eqtri 2763	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑇 = 𝐵
24	20, 23	sseqtri 4032	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ 𝐵
25		sseq2 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑡))
26	25	elrab 3695	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
27	26	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
28	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → 𝐶 ⊆ 𝑡)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → 𝐶 ⊆ 𝑡)
30		0red 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31		2re 12338	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33		unitssre 13536	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34, 4	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]1))
36	33, 35	sselid 3993	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
37	30	rexrd 11309	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38		1xr 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
40		iccgelb 13440	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
41	37, 39, 35, 40	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
42		1re 11259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44		iccleub 13439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
45	37, 39, 35, 44	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 1)
46		1le2 12473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ≤ 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ≤ 2)
48	36, 43, 32, 45, 47	letrd 11416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 2)
49	30, 32, 36, 41, 48	eliccd 45457	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]2))
50		salgencntex.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
51	49, 50	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)
52		snelpwi 5454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54		snfi 9082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
55		fict 9691	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑦} ≼ ω
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58		orc 867	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
60	53, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61		breq1 5151	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62		difeq2 4130	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
63	62	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
64	61, 63	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65		salgencntex.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
66	64, 65	elrab2 3698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
67	60, 66	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68		snelpwi 5454	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
69	68, 3	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
70	67, 69	elind 4210	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆 ∩ 𝑇))
71	10	eqcomi 2744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶)
73	70, 72	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
75	29, 74	sseldd 3996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
76	75	ralrimiva 3144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77		vsnex 5440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ V
78	77	elint2 4958	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
79	76, 78	sylibr 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠})
80	79, 2	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81		snidg 4665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ {𝑦})
82		eleq2 2828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑦} → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ {𝑦}))
83	82	rspcev 3622	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑦} ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
84	80, 81, 83	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
85		eluni2 4916	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑍 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
86	84, 85	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
87	86	rgen 3061	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍
88		dfss3 3984	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑍 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
89	87, 88	mpbir 231	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑍
90	24, 89	eqssi 4012	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑍 = 𝐵
91		ovex 7464	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]2) ∈ V
92	50, 91	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
94	93, 65	salexct 46290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
95	94	mptru 1544	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
96		inss1 4245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑆
97	10, 96	eqsstri 4030	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑆
98	95, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆)
99		sseq2 4022	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑆))
100	99	elrab 3695	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆))
101	98, 100	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
102		intss1 4968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆
104	2, 103	eqsstri 4030	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑆
105	104	sseli 3991	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ 𝑆)
106	50, 65, 4	salexct2 46295	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆
107	106	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ¬ 𝐵 ∈ 𝑆)
108	105, 107	pm2.65i 194	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑍
109	90, 108	eqneltri 2858	. . 3 ⊢ ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍
110	109	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
111	1, 110	pm2.65i 194	1 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  ∃wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631  ∪ cuni 4912  ∩ cint 4951   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ωcom 7887   ≼ cdom 8982  Fincfn 8984  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294  2c2 12319  [,]cicc 13387  SAlgcsalg 46264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cc 10473  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-topgen 17490  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-ntr 23044  df-salg 46265

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