Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  salgencntex Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem salgencntex 44574
Description: This counterexample shows that df-salgen 44544 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
salgencntex.a 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c 𝐶 = (𝑆𝑇)
salgencntex.z 𝑍 = {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
Assertion
Ref Expression
salgencntex ¬ 𝑍 ∈ SAlg
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex
Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 saluni 44556 . 2 (𝑍 ∈ SAlg → 𝑍𝑍)
2 salgencntex.z . . . . . . . 8 𝑍 = {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
3 salgencntex.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = 𝒫 𝐵
4 salgencntex.b . . . . . . . . . . . . . 14 𝐵 = (0[,]1)
5 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]1) ∈ V
64, 5eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . 13 𝐵 ∈ V
7 pwsal 44546 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
86, 7ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
93, 8eqeltri 2834 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ∈ SAlg
10 salgencntex.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (𝑆𝑇)
11 inss2 4189 . . . . . . . . . . . 12 (𝑆𝑇) ⊆ 𝑇
1210, 11eqsstri 3978 . . . . . . . . . . 11 𝐶𝑇
139, 12pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑇)
14 sseq2 3970 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 = 𝑇 → (𝐶𝑠𝐶𝑇))
1514elrab 3645 . . . . . . . . . 10 (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑇))
1613, 15mpbir 230 . . . . . . . . 9 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
17 intss1 4924 . . . . . . . . 9 (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑇)
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . 8 {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑇
192, 18eqsstri 3978 . . . . . . 7 𝑍𝑇
2019unissi 4874 . . . . . 6 𝑍 𝑇
213unieqi 4878 . . . . . . 7 𝑇 = 𝒫 𝐵
22 unipw 5407 . . . . . . 7 𝒫 𝐵 = 𝐵
2321, 22eqtri 2764 . . . . . 6 𝑇 = 𝐵
2420, 23sseqtri 3980 . . . . 5 𝑍𝐵
25 sseq2 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 = 𝑡 → (𝐶𝑠𝐶𝑡))
2625elrab 3645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑡))
2726biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑡))
2827simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → 𝐶𝑡)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → 𝐶𝑡)
30 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31 2re 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 ∈ ℝ
3231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33 unitssre 13416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) ⊆ ℝ
34 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦𝐵𝑦𝐵)
3534, 4eleqtrdi 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0[,]1))
3633, 35sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝑦 ∈ ℝ)
3730rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38 1xr 11214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ*
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
40 iccgelb 13320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
4137, 39, 35, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
42 1re 11155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ∈ ℝ
4342a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44 iccleub 13319 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ*𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
4537, 39, 35, 44syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵𝑦 ≤ 1)
46 1le2 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1 ≤ 2
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐵 → 1 ≤ 2)
4836, 43, 32, 45, 47letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦𝐵𝑦 ≤ 2)
4930, 32, 36, 41, 48eliccd 43732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦𝐵𝑦 ∈ (0[,]2))
50 salgencntex.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐴 = (0[,]2)
5149, 50eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐵𝑦𝐴)
52 snelpwi 5400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54 snfi 8988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 {𝑦} ∈ Fin
55 fict 9589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
5654, 55ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑦} ≼ ω
5756a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58 orc 865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
6053, 59jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62 difeq2 4076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = {𝑦} → (𝐴𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
6362breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
6461, 63orbi12d 917 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65 salgencntex.s . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴𝑥) ≼ ω)}
6664, 65elrab2 3648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
6760, 66sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68 snelpwi 5400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
6968, 3eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
7067, 69elind 4154 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆𝑇))
7110eqcomi 2745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑆𝑇) = 𝐶
7271a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦𝐵 → (𝑆𝑇) = 𝐶)
7370, 72eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
7473adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
7529, 74sseldd 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦𝐵𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
7675ralrimiva 3143 . . . . . . . . . . 11 (𝑦𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77 vsnex 5386 . . . . . . . . . . . 12 {𝑦} ∈ V
7877elint2 4914 . . . . . . . . . . 11 ({𝑦} ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
7976, 78sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠})
8079, 2eleqtrrdi 2849 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81 snidg 4620 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐵𝑦 ∈ {𝑦})
82 eleq2 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑤 = {𝑦} → (𝑦𝑤𝑦 ∈ {𝑦}))
8382rspcev 3581 . . . . . . . . 9 (({𝑦} ∈ 𝑍𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
8480, 81, 83syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
85 eluni2 4869 . . . . . . . 8 (𝑦 𝑍 ↔ ∃𝑤𝑍 𝑦𝑤)
8684, 85sylibr 233 . . . . . . 7 (𝑦𝐵𝑦 𝑍)
8786rgen 3066 . . . . . 6 𝑦𝐵 𝑦 𝑍
88 dfss3 3932 . . . . . 6 (𝐵 𝑍 ↔ ∀𝑦𝐵 𝑦 𝑍)
8987, 88mpbir 230 . . . . 5 𝐵 𝑍
9024, 89eqssi 3960 . . . 4 𝑍 = 𝐵
91 ovex 7390 . . . . . . . . . . . . . 14 (0[,]2) ∈ V
9250, 91eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . 13 𝐴 ∈ V
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (⊤ → 𝐴 ∈ V)
9493, 65salexct 44565 . . . . . . . . . . 11 (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
9594mptru 1548 . . . . . . . . . 10 𝑆 ∈ SAlg
96 inss1 4188 . . . . . . . . . . 11 (𝑆𝑇) ⊆ 𝑆
9710, 96eqsstri 3978 . . . . . . . . . 10 𝐶𝑆
9895, 97pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑆)
99 sseq2 3970 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝐶𝑠𝐶𝑆))
10099elrab 3645 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶𝑆))
10198, 100mpbir 230 . . . . . . . 8 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠}
102 intss1 4924 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} → {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑆)
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . 7 {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶𝑠} ⊆ 𝑆
1042, 103eqsstri 3978 . . . . . 6 𝑍𝑆
105104sseli 3940 . . . . 5 (𝐵𝑍𝐵𝑆)
10650, 65, 4salexct2 44570 . . . . . 6 ¬ 𝐵𝑆
107106a1i 11 . . . . 5 (𝐵𝑍 → ¬ 𝐵𝑆)
108105, 107pm2.65i 193 . . . 4 ¬ 𝐵𝑍
10990, 108eqneltri 2831 . . 3 ¬ 𝑍𝑍
110109a1i 11 . 2 (𝑍 ∈ SAlg → ¬ 𝑍𝑍)
1111, 110pm2.65i 193 1 ¬ 𝑍 ∈ SAlg
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  𝒫 cpw 4560  {csn 4586   cuni 4865   cint 4907   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ωcom 7802  cdom 8881  Fincfn 8883  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052  *cxr 11188  cle 11190  2c2 12208  [,]cicc 13267  SAlgcsalg 44539
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-topgen 17325  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-top 22243  df-topon 22260  df-bases 22296  df-ntr 22371  df-salg 44540
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator