Theorem salgencntex 43772

Description: This counterexample shows that df-salgen 43744 needs to require that all containing sigma-algebra have the same base set. Otherwise, the intersection could lead to a set that is not a sigma-algebra. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
salgencntex.a	⊢ 𝐴 = (0[,]2)
salgencntex.s	⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
salgencntex.b	⊢ 𝐵 = (0[,]1)
salgencntex.t	⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
salgencntex.c	⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
salgencntex.z	⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}

Assertion

Ref	Expression
salgencntex	⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝐶,𝑠   𝑆,𝑠   𝑥,𝑆   𝑇,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑠)   𝐵(𝑠)   𝐶(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑍(𝑥,𝑠)

Proof of Theorem salgencntex

Dummy variables 𝑡 𝑦 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saluni 43755	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
2		salgencntex.z	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑍 = ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
3		salgencntex.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = 𝒫 𝐵
4		salgencntex.b	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐵 = (0[,]1)
5		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]1) ∈ V
6	4, 5	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐵 ∈ V
7		pwsal 43746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ SAlg)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 𝐵 ∈ SAlg
9	3, 8	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑇 ∈ SAlg
10		salgencntex.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (𝑆 ∩ 𝑇)
11		inss2 4160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑇
12	10, 11	eqsstri 3951	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑇
13	9, 12	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇)
14		sseq2 3943	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑠 = 𝑇 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑇))
15	14	elrab 3617	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑇 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑇))
16	13, 15	mpbir 230	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
17		intss1 4891	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇)
18	16, 17	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑇
19	2, 18	eqsstri 3951	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑇
20	19	unissi 4845	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ ∪ 𝑇
21	3	unieqi 4849	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝒫 𝐵
22		unipw 5360	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝒫 𝐵 = 𝐵
23	21, 22	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ∪ 𝑇 = 𝐵
24	20, 23	sseqtri 3953	. . . . 5 ⊢ ∪ 𝑍 ⊆ 𝐵
25		sseq2 3943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 = 𝑡 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑡))
26	25	elrab 3617	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
27	26	biimpi 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → (𝑡 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑡))
28	27	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → 𝐶 ⊆ 𝑡)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → 𝐶 ⊆ 𝑡)
30		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ)
31		2re 11977	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ 2 ∈ ℝ
32	31	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 2 ∈ ℝ)
33		unitssre 13160	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (0[,]1) ⊆ ℝ
34		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐵)
35	34, 4	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]1))
36	33, 35	sselid 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ℝ)
37	30	rexrd 10956	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ∈ ℝ*)
38		1xr 10965	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ*
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ*)
40		iccgelb 13064	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 0 ≤ 𝑦)
41	37, 39, 35, 40	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 0 ≤ 𝑦)
42		1re 10906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ∈ ℝ
43	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℝ)
44		iccleub 13063	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 𝑦 ∈ (0[,]1)) → 𝑦 ≤ 1)
45	37, 39, 35, 44	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 1)
46		1le2 12112	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 1 ≤ 2
47	46	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 1 ≤ 2)
48	36, 43, 32, 45, 47	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ≤ 2)
49	30, 32, 36, 41, 48	eliccd 42932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ (0[,]2))
50		salgencntex.a	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ 𝐴 = (0[,]2)
51	49, 50	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐴)
52		snelpwi 5354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
53	51, 52	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐴)
54		snfi 8788	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ {𝑦} ∈ Fin
55		fict 9341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ({𝑦} ∈ Fin → {𝑦} ≼ ω)
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ {𝑦} ≼ ω
57	56	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ≼ ω)
58		orc 863	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ({𝑦} ≼ ω → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
59	57, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
60	53, 59	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
61		breq1 5073	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝑥 ≼ ω ↔ {𝑦} ≼ ω))
62		difeq2 4047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → (𝐴 ∖ 𝑥) = (𝐴 ∖ {𝑦}))
63	62	breq1d 5080	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω ↔ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω))
64	61, 63	orbi12d 915	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = {𝑦} → ((𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω) ↔ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
65		salgencntex.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝒫 𝐴 ∣ (𝑥 ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ 𝑥) ≼ ω)}
66	64, 65	elrab2 3620	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({𝑦} ∈ 𝑆 ↔ ({𝑦} ∈ 𝒫 𝐴 ∧ ({𝑦} ≼ ω ∨ (𝐴 ∖ {𝑦}) ≼ ω)))
67	60, 66	sylibr 233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑆)
68		snelpwi 5354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝒫 𝐵)
69	68, 3	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑇)
70	67, 69	elind 4124	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ (𝑆 ∩ 𝑇))
71	10	eqcomi 2747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶
72	71	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑆 ∩ 𝑇) = 𝐶)
73	70, 72	eleqtrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝐶)
74	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝐶)
75	29, 74	sseldd 3918	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}) → {𝑦} ∈ 𝑡)
76	75	ralrimiva 3107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
77		snex 5349	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑦} ∈ V
78	77	elint2 4883	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ ∀𝑡 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} {𝑦} ∈ 𝑡)
79	76, 78	sylibr 233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠})
80	79, 2	eleqtrrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → {𝑦} ∈ 𝑍)
81		snidg 4592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ {𝑦})
82		eleq2 2827	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑤 = {𝑦} → (𝑦 ∈ 𝑤 ↔ 𝑦 ∈ {𝑦}))
83	82	rspcev 3552	. . . . . . . . 9 ⊢ (({𝑦} ∈ 𝑍 ∧ 𝑦 ∈ {𝑦}) → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
84	80, 81, 83	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
85		eluni2 4840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑍 ↔ ∃𝑤 ∈ 𝑍 𝑦 ∈ 𝑤)
86	84, 85	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
87	86	rgen 3073	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍
88		dfss3 3905	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ⊆ ∪ 𝑍 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 𝑦 ∈ ∪ 𝑍)
89	87, 88	mpbir 230	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ ∪ 𝑍
90	24, 89	eqssi 3933	. . . 4 ⊢ ∪ 𝑍 = 𝐵
91		ovex 7288	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (0[,]2) ∈ V
92	50, 91	eqeltri 2835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐴 ∈ V
93	92	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (⊤ → 𝐴 ∈ V)
94	93, 65	salexct 43763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊤ → 𝑆 ∈ SAlg)
95	94	mptru 1546	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ∈ SAlg
96		inss1 4159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑆 ∩ 𝑇) ⊆ 𝑆
97	10, 96	eqsstri 3951	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ⊆ 𝑆
98	95, 97	pm3.2i 470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆)
99		sseq2 3943	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐶 ⊆ 𝑠 ↔ 𝐶 ⊆ 𝑆))
100	99	elrab 3617	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ↔ (𝑆 ∈ SAlg ∧ 𝐶 ⊆ 𝑆))
101	98, 100	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠}
102		intss1 4891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} → ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆)
103	101, 102	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ∩ {𝑠 ∈ SAlg ∣ 𝐶 ⊆ 𝑠} ⊆ 𝑆
104	2, 103	eqsstri 3951	. . . . . 6 ⊢ 𝑍 ⊆ 𝑆
105	104	sseli 3913	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → 𝐵 ∈ 𝑆)
106	50, 65, 4	salexct2 43768	. . . . . 6 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑆
107	106	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑍 → ¬ 𝐵 ∈ 𝑆)
108	105, 107	pm2.65i 193	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐵 ∈ 𝑍
109	90, 108	eqneltri 2832	. . 3 ⊢ ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍
110	109	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑍 ∈ SAlg → ¬ ∪ 𝑍 ∈ 𝑍)
111	1, 110	pm2.65i 193	1 ⊢ ¬ 𝑍 ∈ SAlg

Syntax hints:  ¬ wn 3   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  Vcvv 3422   ∖ cdif 3880   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  {csn 4558  ∪ cuni 4836  ∩ cint 4876   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ωcom 7687   ≼ cdom 8689  Fincfn 8691  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803  ℝ^*cxr 10939   ≤ cle 10941  2c2 11958  [,]cicc 13011  SAlgcsalg 43739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-topgen 17071  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-top 21951  df-topon 21968  df-bases 22004  df-ntr 22079  df-salg 43740

This theorem is referenced by: (None)