Theorem fourierdlem27 46172

Description: A partition open interval is a subset of the partitioned open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem27.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.q	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem27.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem27	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem27

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem27.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		fourierdlem27.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		elioore 13270	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		iccssxr 13325	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
8		fourierdlem27.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
9		fourierdlem27.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
10		elfzofz 13570	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
12	8, 11	ffvelcdmd 7013	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	7, 12	sselid 3927	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
15	6	rexrd 11157	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16		iccgelb 13297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
17	1, 3, 12, 16	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
19		fzofzp1 13659	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
20	9, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
21	8, 20	ffvelcdmd 7013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	7, 21	sselid 3927	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
23	22	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
25		ioogtlb 45535	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) < 𝑥)
26	14, 23, 24, 25	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) < 𝑥)
27	2, 14, 15, 18, 26	xrlelttrd 13054	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
28		iooltub 45550	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
29	14, 23, 24, 28	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
30		iccleub 13296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
31	1, 3, 21, 30	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
32	31	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
33	15, 23, 4, 29, 32	xrltletrd 13055	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < 𝐵)
34	2, 4, 6, 27, 33	eliood 45538	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	34	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36		dfss3 3918	. 2 ⊢ (((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
37	35, 36	sylibr 234	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5086  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℝcr 11000  0cc0 11001  1c1 11002   + caddc 11004  ℝ^*cxr 11140   < clt 11141   ≤ cle 11142  (,)cioo 13240  [,]cicc 13243  ...cfz 13402  ..^cfzo 13549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-ioo 13244  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  46246  fourierdlem114  46258