Theorem fourierdlem27 46735

Description: A partition open interval is a subset of the partitioned open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem27.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.q	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem27.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem27	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem27

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem27.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		fourierdlem27.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		elioore 13398	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		iccssxr 13453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
8		fourierdlem27.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
9		fourierdlem27.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
10		elfzofz 13700	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
12	8, 11	ffvelcdmd 7078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	7, 12	sselid 3943	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
14	13	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
15	6	rexrd 11255	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16		iccgelb 13425	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
17	1, 3, 12, 16	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
18	17	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
19		fzofzp1 13789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
20	9, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
21	8, 20	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	7, 21	sselid 3943	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
23	22	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
24		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
25		ioogtlb 46098	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) < 𝑥)
26	14, 23, 24, 25	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) < 𝑥)
27	2, 14, 15, 18, 26	xrlelttrd 13181	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
28		iooltub 46113	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
29	14, 23, 24, 28	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
30		iccleub 13424	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
31	1, 3, 21, 30	syl3anc 1396	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
32	31	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
33	15, 23, 4, 29, 32	xrltletrd 13182	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < 𝐵)
34	2, 4, 6, 27, 33	eliood 46101	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	34	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36		dfss3 3934	. 2 ⊢ (((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
37	35, 36	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5110  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240  (,)cioo 13368  [,]cicc 13371  ...cfz 13531  ..^cfzo 13678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-ioo 13372  df-icc 13375  df-fz 13532  df-fzo 13679

This theorem is referenced by:  fourierdlem102  46809  fourierdlem114  46821