Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem27 46090
Description: A partition open interval is a subset of the partitioned open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem27.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem27.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem27 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem27
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem27.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 fourierdlem27.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 elioore 13414 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 iccssxr 13467 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
8 fourierdlem27.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
9 fourierdlem27.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
10 elfzofz 13712 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
128, 11ffvelcdmd 7105 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
137, 12sselid 3993 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
156rexrd 11309 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 iccgelb 13440 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
171, 3, 12, 16syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
19 fzofzp1 13800 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
218, 20ffvelcdmd 7105 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
227, 21sselid 3993 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
25 ioogtlb 45448 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
2614, 23, 24, 25syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
272, 14, 15, 18, 26xrlelttrd 13199 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
28 iooltub 45463 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2914, 23, 24, 28syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
30 iccleub 13439 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
311, 3, 21, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
3315, 23, 4, 29, 32xrltletrd 13200 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < 𝐵)
342, 4, 6, 27, 33eliood 45451 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3534ralrimiva 3144 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36 dfss3 3984 . 2 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3735, 36sylibr 234 1 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wss 3963   class class class wbr 5148  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  46164  fourierdlem114  46176
  Copyright terms: Public domain W3C validator