Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem27 43646
Description: A partition open interval is a subset of the partitioned open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem27.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem27.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem27 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem27
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem27.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 fourierdlem27.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 elioore 13108 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
65adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 iccssxr 13161 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
8 fourierdlem27.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
9 fourierdlem27.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
10 elfzofz 13401 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
128, 11ffvelrnd 6959 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
137, 12sselid 3924 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
1413adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
156rexrd 11026 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 iccgelb 13134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
171, 3, 12, 16syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
1817adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
19 fzofzp1 13482 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
218, 20ffvelrnd 6959 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
227, 21sselid 3924 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2322adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
24 simpr 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
25 ioogtlb 43004 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
2614, 23, 24, 25syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
272, 14, 15, 18, 26xrlelttrd 12893 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
28 iooltub 43019 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2914, 23, 24, 28syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
30 iccleub 13133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
311, 3, 21, 30syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
3231adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
3315, 23, 4, 29, 32xrltletrd 12894 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < 𝐵)
342, 4, 6, 27, 33eliood 43007 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3534ralrimiva 3110 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36 dfss3 3914 . 2 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3735, 36sylibr 233 1 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2110  wral 3066  wss 3892   class class class wbr 5079  wf 6428  cfv 6432  (class class class)co 7271  cr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875  *cxr 11009   < clt 11010  cle 11011  (,)cioo 13078  [,]cicc 13081  ...cfz 13238  ..^cfzo 13381
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-ioo 13082  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  43720  fourierdlem114  43732
  Copyright terms: Public domain W3C validator