Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem27 41796
Description: A partition open interval is a subset of the partitioned open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem27.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem27.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem27 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem27
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem27.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 fourierdlem27.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
43adantr 473 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 elioore 12577 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
65adantl 474 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 iccssxr 12628 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
8 fourierdlem27.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
9 fourierdlem27.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
10 elfzofz 12862 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
128, 11ffvelrnd 6671 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
137, 12sseldi 3852 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
1413adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
156rexrd 10482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 iccgelb 12602 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
171, 3, 12, 16syl3anc 1351 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
1817adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
19 fzofzp1 12942 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
218, 20ffvelrnd 6671 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
227, 21sseldi 3852 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2322adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
24 simpr 477 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
25 ioogtlb 41147 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
2614, 23, 24, 25syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
272, 14, 15, 18, 26xrlelttrd 12363 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
28 iooltub 41163 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2914, 23, 24, 28syl3anc 1351 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
30 iccleub 12601 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
311, 3, 21, 30syl3anc 1351 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
3231adantr 473 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
3315, 23, 4, 29, 32xrltletrd 12364 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < 𝐵)
342, 4, 6, 27, 33eliood 41150 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3534ralrimiva 3126 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36 dfss3 3843 . 2 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3735, 36sylibr 226 1 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wcel 2048  wral 3082  wss 3825   class class class wbr 4923  wf 6178  cfv 6182  (class class class)co 6970  cr 10326  0cc0 10327  1c1 10328   + caddc 10330  *cxr 10465   < clt 10466  cle 10467  (,)cioo 12547  [,]cicc 12550  ...cfz 12701  ..^cfzo 12842
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1964  ax-8 2050  ax-9 2057  ax-10 2077  ax-11 2091  ax-12 2104  ax-13 2299  ax-ext 2745  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10383  ax-resscn 10384  ax-1cn 10385  ax-icn 10386  ax-addcl 10387  ax-addrcl 10388  ax-mulcl 10389  ax-mulrcl 10390  ax-mulcom 10391  ax-addass 10392  ax-mulass 10393  ax-distr 10394  ax-i2m1 10395  ax-1ne0 10396  ax-1rid 10397  ax-rnegex 10398  ax-rrecex 10399  ax-cnre 10400  ax-pre-lttri 10401  ax-pre-lttrn 10402  ax-pre-ltadd 10403  ax-pre-mulgt0 10404
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2014  df-mo 2544  df-eu 2580  df-clab 2754  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3678  df-csb 3783  df-dif 3828  df-un 3830  df-in 3832  df-ss 3839  df-pss 3841  df-nul 4174  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5305  df-eprel 5310  df-po 5319  df-so 5320  df-fr 5359  df-we 5361  df-xp 5406  df-rel 5407  df-cnv 5408  df-co 5409  df-dm 5410  df-rn 5411  df-res 5412  df-ima 5413  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-1st 7494  df-2nd 7495  df-wrecs 7743  df-recs 7805  df-rdg 7843  df-er 8081  df-en 8299  df-dom 8300  df-sdom 8301  df-pnf 10468  df-mnf 10469  df-xr 10470  df-ltxr 10471  df-le 10472  df-sub 10664  df-neg 10665  df-nn 11432  df-n0 11701  df-z 11787  df-uz 12052  df-ioo 12551  df-icc 12554  df-fz 12702  df-fzo 12843
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  41870  fourierdlem114  41882
  Copyright terms: Public domain W3C validator