Theorem fourierdlem27 47113

Description: A partition open interval is a subset of the partitioned open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem27.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.q	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem27.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem27	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem27

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem27.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		fourierdlem27.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		elioore 13499	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		iccssxr 13554	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
8		fourierdlem27.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
9		fourierdlem27.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
10		elfzofz 13803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
12	8, 11	ffvelcdmd 7083	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	7, 12	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
15	6	rexrd 11352	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16		iccgelb 13526	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
17	1, 3, 12, 16	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
19		fzofzp1 13892	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
20	9, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
21	8, 20	ffvelcdmd 7083	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	7, 21	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
25		ioogtlb 46476	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) < 𝑥)
26	14, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) < 𝑥)
27	2, 14, 15, 18, 26	xrlelttrd 13282	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
28		iooltub 46491	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
29	14, 23, 24, 28	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
30		iccleub 13525	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
31	1, 3, 21, 30	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
33	15, 23, 4, 29, 32	xrltletrd 13283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < 𝐵)
34	2, 4, 6, 27, 33	eliood 46479	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	34	ralrimiva 3155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36		dfss3 3920	. 2 ⊢ (((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
37	35, 36	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196  ℝ^*cxr 11335   < clt 11336   ≤ cle 11337  (,)cioo 13469  [,]cicc 13472  ...cfz 13632  ..^cfzo 13781

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687  df-uz 12959  df-ioo 13473  df-icc 13476  df-fz 13633  df-fzo 13782

This theorem is used by:  fourierdlem102  47187  fourierdlem114  47199