Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem27 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem27 46154
Description: A partition open interval is a subset of the partitioned open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem27.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.q (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem27.i (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem27 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem27
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem27.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 fourierdlem27.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
43adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5 elioore 13418 . . . . 5 (𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
65adantl 481 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 iccssxr 13471 . . . . . . 7 (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
8 fourierdlem27.q . . . . . . . 8 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
9 fourierdlem27.i . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
10 elfzofz 13716 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
119, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
128, 11ffvelcdmd 7104 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
137, 12sselid 3980 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
1413adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
156rexrd 11312 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16 iccgelb 13444 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
171, 3, 12, 16syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
1817adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄𝐼))
19 fzofzp1 13804 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
209, 19syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
218, 20ffvelcdmd 7104 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
227, 21sselid 3980 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
2322adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
24 simpr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
25 ioogtlb 45513 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
2614, 23, 24, 25syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄𝐼) < 𝑥)
272, 14, 15, 18, 26xrlelttrd 13203 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
28 iooltub 45528 . . . . . 6 (((𝑄𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
2914, 23, 24, 28syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
30 iccleub 13443 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
311, 3, 21, 30syl3anc 1372 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
3231adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
3315, 23, 4, 29, 32xrltletrd 13204 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < 𝐵)
342, 4, 6, 27, 33eliood 45516 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3534ralrimiva 3145 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36 dfss3 3971 . 2 (((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
3735, 36sylibr 234 1 (𝜑 → ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2107  wral 3060  wss 3950   class class class wbr 5142  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-ioo 13392  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696
This theorem is referenced by:  fourierdlem102  46228  fourierdlem114  46240
  Copyright terms: Public domain W3C validator