Theorem fourierdlem27 46962

Description: A partition open interval is a subset of the partitioned open interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem27.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
fourierdlem27.q	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
fourierdlem27.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem27	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

Proof of Theorem fourierdlem27

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem27.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ*)
2	1	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3		fourierdlem27.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
4	3	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
5		elioore 13428	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6	5	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		iccssxr 13483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ*
8		fourierdlem27.q	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶(𝐴[,]𝐵))
9		fourierdlem27.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
10		elfzofz 13731	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
12	8, 11	ffvelcdmd 7078	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵))
13	7, 12	sselid 3929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
14	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
15	6	rexrd 11283	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
16		iccgelb 13455	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝐼) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
17	1, 3, 12, 16	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 ≤ (𝑄‘𝐼))
19		fzofzp1 13820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
20	9, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
21	8, 20	ffvelcdmd 7078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵))
22	7, 21	sselid 3929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
25		ioogtlb 46325	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) < 𝑥)
26	14, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘𝐼) < 𝑥)
27	2, 14, 15, 18, 26	xrlelttrd 13211	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
28		iooltub 46340	. . . . . 6 ⊢ (((𝑄‘𝐼) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
29	14, 23, 24, 28	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
30		iccleub 13454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ (𝐴[,]𝐵)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
31	1, 3, 21, 30	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
32	31	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐵)
33	15, 23, 4, 29, 32	xrltletrd 13212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 < 𝐵)
34	2, 4, 6, 27, 33	eliood 46328	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
35	34	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
36		dfss3 3920	. 2 ⊢ (((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵))
37	35, 36	sylibr 237	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))) ⊆ (𝐴(,)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℝcr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  (,)cioo 13398  [,]cicc 13401  ...cfz 13561  ..^cfzo 13709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-ioo 13402  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fzo 13710

This theorem is used by:  fourierdlem102  47036  fourierdlem114  47048