Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem25 45658
Description: If 𝐶 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem25.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem25.cel (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
fourierdlem25.cnel (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝐶,𝑗   𝑗,𝐼   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,𝑘   𝑄,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
2 ssrab2 4073 . . . 4 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)
3 ltso 11326 . . . . . 6 < Or ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → < Or ℝ)
5 fzofi 13975 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
6 ssfi 9198 . . . . . . 7 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
75, 2, 6mp2an 690 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
9 0zd 12603 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 12618 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1210nngt0d 12294 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
13 fzolb 13673 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
16 elfzofz 13683 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^𝑀) → 0 ∈ (0...𝑀))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
1815, 17ffvelcdmd 7094 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
1910nnnn0d 12565 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
20 nn0uz 12897 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
2119, 20eleqtrdi 2835 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
22 eluzfz2 13544 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
2415, 23ffvelcdmd 7094 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
2518, 24iccssred 13446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ⊆ ℝ)
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
2725, 26sseldd 3977 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2818rexrd 11296 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
2924rexrd 11296 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ*)
30 iccgelb 13415 . . . . . . . . 9 (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
3128, 29, 26, 30syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
33 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 = (𝑄‘0))
3415ffnd 6724 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
3534adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
3617adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 0 ∈ (0...𝑀))
37 fnfvelrn 7089 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
3835, 36, 37syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
3933, 38eqeltrd 2825 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
4032, 39mtand 814 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶 = (𝑄‘0))
4140neqned 2936 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ (𝑄‘0))
4218, 27, 31, 41leneltd 11400 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘0) < 𝐶)
43 fveq2 6896 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
4443breq1d 5159 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘0) < 𝐶))
4544elrab 3679 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) < 𝐶))
4614, 42, 45sylanbrc 581 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
4746ne0d 4335 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
48 fzossfz 13686 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
49 fzssz 13538 . . . . . . . . 9 (0...𝑀) ⊆ ℤ
50 zssre 12598 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
5149, 50sstri 3986 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℝ
5248, 51sstri 3986 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
532, 52sstri 3986 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)
55 fisupcl 9494 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
564, 8, 47, 54, 55syl13anc 1369 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
572, 56sselid 3974 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
581, 57eqeltrid 2829 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
5948, 58sselid 3974 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
6015, 59ffvelcdmd 7094 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
6160rexrd 11296 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
62 fzofzp1 13765 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6358, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6415, 63ffvelcdmd 7094 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
6564rexrd 11296 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
661, 56eqeltrid 2829 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
67 fveq2 6896 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝐼))
6867breq1d 5159 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄𝐼) < 𝐶))
6968elrab 3679 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7066, 69sylib 217 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7170simprd 494 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) < 𝐶)
7252, 58sselid 3974 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
73 ltp1 12087 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
74 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
75 peano2re 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7674, 75ltnled 11393 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
7773, 76mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℝ → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
7872, 77syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
7948, 49sstri 3986 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
802, 79sstri 3986 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ)
82 elrabi 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → ∈ (0..^𝑀))
83 elfzo0le 13711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ (0..^𝑀) → 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → 𝑀)
8584adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}) → 𝑀)
8685ralrimiva 3135 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀)
87 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑀))
8887ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑀 → (∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚 ↔ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀))
8988rspcev 3606 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
9011, 86, 89syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
9190adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
92 elfzuz 13532 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9363, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9511adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℤ)
9651, 63sselid 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9796adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9895zred 12699 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℝ)
99 elfzle2 13540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
10063, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
101100adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
102 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
10364adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
10427adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
105103, 104ltnled 11393 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
106102, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
107 iccleub 13414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
10828, 29, 26, 107syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
110 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
111110adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
112109, 111breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
113112adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114106, 113mtand 814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
115114neqned 2936 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ≠ (𝐼 + 1))
11697, 98, 101, 115leneltd 11400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
117 elfzo2 13670 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
11894, 95, 116, 117syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
119 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
120119breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
121120elrab 3679 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
122118, 102, 121sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
123 suprzub 12956 . . . . . . . . . 10 (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚 ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
12481, 91, 122, 123syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
125124, 1breqtrrdi 5191 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
12678, 125mtand 814 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
127 eqcom 2732 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
128127biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
129128adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
13034adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
13163adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
132 fnfvelrn 7089 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
133130, 131, 132syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
134129, 133eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
13532, 134mtand 814 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)
136126, 135jca 510 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
137 pm4.56 986 . . . . . 6 ((¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
138136, 137sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
13964, 27leloed 11389 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)))
140138, 139mtbird 324 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶)
14127, 64ltnled 11393 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)) ↔ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶))
142140, 141mpbird 256 . . 3 (𝜑𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
14361, 65, 27, 71, 142eliood 45021 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
144 fveq2 6896 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝐼))
145 oveq1 7426 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
146145fveq2d 6900 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
147144, 146oveq12d 7437 . . . 4 (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
148147eleq2d 2811 . . 3 (𝑗 = 𝐼 → (𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
149148rspcev 3606 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
15058, 143, 149syl2anc 582 1 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  wo 845   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  {crab 3418  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149   Or wor 5589  ran crn 5679   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  Fincfn 8964  supcsup 9465  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cn 12245  0cn0 12505  cz 12591  cuz 12855  (,)cioo 13359  [,]cicc 13362  ...cfz 13519  ..^cfzo 13662
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9467  df-inf 9468  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-ioo 13363  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663
This theorem is referenced by:  fourierdlem41  45674  fourierdlem48  45680  fourierdlem49  45681  fourierdlem70  45702  fourierdlem71  45703  fourierdlem103  45735  fourierdlem104  45736
  Copyright terms: Public domain W3C validator