Theorem fourierdlem25 46318

Description: If 𝐶 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem25.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem25.qf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem25.cel	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
fourierdlem25.cnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i	⊢ 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem25	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝐶,𝑗   𝑗,𝐼   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,𝑘   𝑄,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem25

Dummy variables ℎ 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem25.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
2		ssrab2 4030	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)
3		ltso 11211	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
5		fzofi 13895	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
6		ssfi 9095	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
7	5, 2, 6	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
9		0zd 12498	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10		fourierdlem25.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12512	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	10	nngt0d 12192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
13		fzolb 13579	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1344	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
15		fourierdlem25.qf	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
16		elfzofz 13589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) → 0 ∈ (0...𝑀))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
18	15, 17	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
19	10	nnnn0d 12460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		nn0uz 12787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	19, 20	eleqtrdi 2844	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
22		eluzfz2 13446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	15, 23	ffvelcdmd 7028	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ)
25	18, 24	iccssred 13348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) ⊆ ℝ)
26		fourierdlem25.cel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
27	25, 26	sseldd 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	18	rexrd 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
29	24	rexrd 11180	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ*)
30		iccgelb 13316	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
31	28, 29, 26, 30	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
32		fourierdlem25.cnel	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
33		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 = (𝑄‘0))
34	15	ffnd 6661	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
36	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 0 ∈ (0...𝑀))
37		fnfvelrn 7023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
38	35, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
39	33, 38	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
40	32, 39	mtand 815	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = (𝑄‘0))
41	40	neqned 2937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝑄‘0))
42	18, 27, 31, 41	leneltd 11285	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < 𝐶)
43		fveq2 6832	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
44	43	breq1d 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘0) < 𝐶))
45	44	elrab 3644	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) < 𝐶))
46	14, 42, 45	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
47	46	ne0d 4292	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
48		fzossfz 13592	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
49		fzssz 13440	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℤ
50		zssre 12493	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
51	49, 50	sstri 3941	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℝ
52	48, 51	sstri 3941	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℝ
53	2, 52	sstri 3941	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)
55		fisupcl 9371	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
56	4, 8, 47, 54, 55	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
57	2, 56	sselid 3929	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
58	1, 57	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
59	48, 58	sselid 3929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
60	15, 59	ffvelcdmd 7028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ)
61	60	rexrd 11180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
62		fzofzp1 13678	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
63	58, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
64	15, 63	ffvelcdmd 7028	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
65	64	rexrd 11180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
66	1, 56	eqeltrid 2838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
67		fveq2 6832	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝐼))
68	67	breq1d 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
69	68	elrab 3644	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
70	66, 69	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
71	70	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) < 𝐶)
72	52, 58	sselid 3929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
73		ltp1 11979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
74		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
75		peano2re 11304	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
76	74, 75	ltnled 11278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
77	73, 76	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
79	48, 49	sstri 3941	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℤ
80	2, 79	sstri 3941	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ)
82		elrabi 3640	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} → ℎ ∈ (0..^𝑀))
83		elfzo0le 13617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ≤ 𝑀)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} → ℎ ≤ 𝑀)
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}) → ℎ ≤ 𝑀)
86	85	ralrimiva 3126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀)
87		breq2 5100	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (ℎ ≤ 𝑚 ↔ ℎ ≤ 𝑀))
88	87	ralbidv 3157	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚 ↔ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀))
89	88	rspcev 3574	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
90	11, 86, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
92		elfzuz 13434	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
93	63, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
95	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℤ)
96	51, 63	sselid 3929	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
98	95	zred 12594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℝ)
99		elfzle2 13442	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
100	63, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
103	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
104	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
105	103, 104	ltnled 11278	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
106	102, 105	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
107		iccleub 13315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
108	28, 29, 26, 107	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
110		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
112	109, 111	breqtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
113	112	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114	106, 113	mtand 815	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
115	114	neqned 2937	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ≠ (𝐼 + 1))
116	97, 98, 101, 115	leneltd 11285	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
117		elfzo2 13576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
118	94, 95, 116, 117	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
119		fveq2 6832	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
120	119	breq1d 5106	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
121	120	elrab 3644	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
122	118, 102, 121	sylanbrc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
123		suprzub 12850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚 ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
124	81, 91, 122, 123	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
125	124, 1	breqtrrdi 5138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
126	78, 125	mtand 815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
127		eqcom 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶 ↔ 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
128	127	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶 → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
129	128	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
130	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
131	63	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
132		fnfvelrn 7023	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
133	130, 131, 132	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
134	129, 133	eqeltrd 2834	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
135	32, 134	mtand 815	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)
136	126, 135	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
137		pm4.56 990	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
138	136, 137	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
139	64, 27	leloed 11274	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)))
140	138, 139	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶)
141	27, 64	ltnled 11278	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)) ↔ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶))
142	140, 141	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
143	61, 65, 27, 71, 142	eliood 45686	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
144		fveq2 6832	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝐼))
145		oveq1 7363	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
146	145	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
147	144, 146	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
148	147	eleq2d 2820	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
149	148	rspcev 3574	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
150	58, 143, 149	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {crab 3397   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283   class class class wbr 5096   Or wor 5529  ran crn 5623   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Fincfn 8881  supcsup 9341  ℝcr 11023  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027  ℝ^*cxr 11163   < clt 11164   ≤ cle 11165  ℕcn 12143  ℕ₀cn0 12399  ℤcz 12486  ℤ_≥cuz 12749  (,)cioo 13259  [,]cicc 13262  ...cfz 13421  ..^cfzo 13568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-ioo 13263  df-icc 13266  df-fz 13422  df-fzo 13569

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  46334  fourierdlem48  46340  fourierdlem49  46341  fourierdlem70  46362  fourierdlem71  46363  fourierdlem103  46395  fourierdlem104  46396