Theorem fourierdlem25 41143

Description: If 𝐶 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem25.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem25.qf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem25.cel	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
fourierdlem25.cnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i	⊢ 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem25	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝐶,𝑗   𝑗,𝐼   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,𝑘   𝑄,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem25

Dummy variables ℎ 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem25.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
2		ssrab2 3912	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)
3		ltso 10437	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
5		fzofi 13068	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
6		ssfi 8449	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
7	5, 2, 6	mp2an 685	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
9		0zd 11716	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10		fourierdlem25.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 11809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	10	nngt0d 11400	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
13		fzolb 12771	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1449	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
15		fourierdlem25.qf	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
16		elfzofz 12780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) → 0 ∈ (0...𝑀))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
18	15, 17	ffvelrnd 6609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
19	10	nnnn0d 11678	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		nn0uz 12004	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	19, 20	syl6eleq 2916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
22		eluzfz2 12642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	15, 23	ffvelrnd 6609	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ)
25	18, 24	iccssred 40526	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) ⊆ ℝ)
26		fourierdlem25.cel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
27	25, 26	sseldd 3828	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	18	rexrd 10406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
29	24	rexrd 10406	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ*)
30		iccgelb 12518	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
31	28, 29, 26, 30	syl3anc 1496	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
32		fourierdlem25.cnel	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
33		simpr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 = (𝑄‘0))
34	15	ffnd 6279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
35	34	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
36	17	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 0 ∈ (0...𝑀))
37		fnfvelrn 6605	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
38	35, 36, 37	syl2anc 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
39	33, 38	eqeltrd 2906	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
40	32, 39	mtand 852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = (𝑄‘0))
41	40	neqned 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝑄‘0))
42	18, 27, 31, 41	leneltd 10510	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < 𝐶)
43		fveq2 6433	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
44	43	breq1d 4883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘0) < 𝐶))
45	44	elrab 3585	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) < 𝐶))
46	14, 42, 45	sylanbrc 580	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
47	46	ne0d 4151	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
48		fzossfz 12783	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
49		fzssz 12636	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℤ
50		zssre 11711	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
51	49, 50	sstri 3836	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℝ
52	48, 51	sstri 3836	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℝ
53	2, 52	sstri 3836	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)
55		fisupcl 8644	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
56	4, 8, 47, 54, 55	syl13anc 1497	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
57	2, 56	sseldi 3825	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
58	1, 57	syl5eqel 2910	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
59	48, 58	sseldi 3825	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
60	15, 59	ffvelrnd 6609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ)
61	60	rexrd 10406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
62		fzofzp1 12860	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
63	58, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
64	15, 63	ffvelrnd 6609	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
65	64	rexrd 10406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
66	1, 56	syl5eqel 2910	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
67		fveq2 6433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝐼))
68	67	breq1d 4883	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
69	68	elrab 3585	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
70	66, 69	sylib 210	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
71	70	simprd 491	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) < 𝐶)
72	52, 58	sseldi 3825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
73		ltp1 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
74		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
75		peano2re 10528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
76	74, 75	ltnled 10503	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
77	73, 76	mpbid 224	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
79	48, 49	sstri 3836	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℤ
80	2, 79	sstri 3836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ)
82		elrabi 3580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} → ℎ ∈ (0..^𝑀))
83		elfzo0le 12807	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ≤ 𝑀)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} → ℎ ≤ 𝑀)
85	84	adantl 475	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}) → ℎ ≤ 𝑀)
86	85	ralrimiva 3175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀)
87		breq2 4877	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (ℎ ≤ 𝑚 ↔ ℎ ≤ 𝑀))
88	87	ralbidv 3195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚 ↔ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀))
89	88	rspcev 3526	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
90	11, 86, 89	syl2anc 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
91	90	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
92		elfzuz 12631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
93	63, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
94	93	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
95	11	adantr 474	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℤ)
96	51, 63	sseldi 3825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
97	96	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
98	95	zred 11810	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℝ)
99		elfzle2 12638	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
100	63, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
101	100	adantr 474	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
102		simpr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
103	64	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
104	27	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
105	103, 104	ltnled 10503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
106	102, 105	mpbid 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
107		iccleub 12517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
108	28, 29, 26, 107	syl3anc 1496	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
109	108	adantr 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
110		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
111	110	adantl 475	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
112	109, 111	breqtrd 4899	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
113	112	adantlr 708	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114	106, 113	mtand 852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
115	114	neqned 3006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ≠ (𝐼 + 1))
116	97, 98, 101, 115	leneltd 10510	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
117		elfzo2 12768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
118	94, 95, 116, 117	syl3anbrc 1449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
119		fveq2 6433	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
120	119	breq1d 4883	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
121	120	elrab 3585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
122	118, 102, 121	sylanbrc 580	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
123		suprzub 12062	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚 ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
124	81, 91, 122, 123	syl3anc 1496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
125	124, 1	syl6breqr 4915	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
126	78, 125	mtand 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
127		eqcom 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶 ↔ 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
128	127	biimpi 208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶 → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
129	128	adantl 475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
130	34	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
131	63	adantr 474	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
132		fnfvelrn 6605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
133	130, 131, 132	syl2anc 581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
134	129, 133	eqeltrd 2906	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
135	32, 134	mtand 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)
136	126, 135	jca 509	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
137		pm4.56 1018	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
138	136, 137	sylib 210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
139	64, 27	leloed 10499	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)))
140	138, 139	mtbird 317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶)
141	27, 64	ltnled 10503	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)) ↔ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶))
142	140, 141	mpbird 249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
143	61, 65, 27, 71, 142	eliood 40519	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
144		fveq2 6433	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝐼))
145		oveq1 6912	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
146	145	fveq2d 6437	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
147	144, 146	oveq12d 6923	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
148	147	eleq2d 2892	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
149	148	rspcev 3526	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
150	58, 143, 149	syl2anc 581	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∨ wo 880   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2999  ∀wral 3117  ∃wrex 3118  {crab 3121   ⊆ wss 3798  ∅c0 4144   class class class wbr 4873   Or wor 5262  ran crn 5343   Fn wfn 6118  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  supcsup 8615  ℝcr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255  ℝ^*cxr 10390   < clt 10391   ≤ cle 10392  ℕcn 11350  ℕ₀cn0 11618  ℤcz 11704  ℤ_≥cuz 11968  (,)cioo 12463  [,]cicc 12466  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-ioo 12467  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  41159  fourierdlem48  41165  fourierdlem49  41166  fourierdlem70  41187  fourierdlem71  41188  fourierdlem103  41220  fourierdlem104  41221