Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem25 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem25 41143
Description: If 𝐶 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem25.qf (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem25.cel (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
fourierdlem25.cnel (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝐶,𝑗   𝑗,𝐼   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,𝑘   𝑄,𝑗
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
2 ssrab2 3912 . . . 4 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)
3 ltso 10437 . . . . . 6 < Or ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → < Or ℝ)
5 fzofi 13068 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
6 ssfi 8449 . . . . . . 7 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
75, 2, 6mp2an 685 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
9 0zd 11716 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
1110nnzd 11809 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
1210nngt0d 11400 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < 𝑀)
13 fzolb 12771 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1449 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9 (𝜑𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
16 elfzofz 12780 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^𝑀) → 0 ∈ (0...𝑀))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
1815, 17ffvelrnd 6609 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
1910nnnn0d 11678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
20 nn0uz 12004 . . . . . . . . . . . . 13 0 = (ℤ‘0)
2119, 20syl6eleq 2916 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑀 ∈ (ℤ‘0))
22 eluzfz2 12642 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (ℤ‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ (0...𝑀))
2415, 23ffvelrnd 6609 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ)
2518, 24iccssred 40526 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)) ⊆ ℝ)
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀)))
2725, 26sseldd 3828 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
2818rexrd 10406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
2924rexrd 10406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ ℝ*)
30 iccgelb 12518 . . . . . . . . 9 (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
3128, 29, 26, 30syl3anc 1496 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
33 simpr 479 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 = (𝑄‘0))
3415ffnd 6279 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑄 Fn (0...𝑀))
3534adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
3617adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 0 ∈ (0...𝑀))
37 fnfvelrn 6605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
3835, 36, 37syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
3933, 38eqeltrd 2906 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
4032, 39mtand 852 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ¬ 𝐶 = (𝑄‘0))
4140neqned 3006 . . . . . . . 8 (𝜑𝐶 ≠ (𝑄‘0))
4218, 27, 31, 41leneltd 10510 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑄‘0) < 𝐶)
43 fveq2 6433 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 0 → (𝑄𝑘) = (𝑄‘0))
4443breq1d 4883 . . . . . . . 8 (𝑘 = 0 → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘0) < 𝐶))
4544elrab 3585 . . . . . . 7 (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) < 𝐶))
4614, 42, 45sylanbrc 580 . . . . . 6 (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
4746ne0d 4151 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
48 fzossfz 12783 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
49 fzssz 12636 . . . . . . . . 9 (0...𝑀) ⊆ ℤ
50 zssre 11711 . . . . . . . . 9 ℤ ⊆ ℝ
5149, 50sstri 3836 . . . . . . . 8 (0...𝑀) ⊆ ℝ
5248, 51sstri 3836 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ⊆ ℝ
532, 52sstri 3836 . . . . . 6 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)
55 fisupcl 8644 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
564, 8, 47, 54, 55syl13anc 1497 . . . 4 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
572, 56sseldi 3825 . . 3 (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
581, 57syl5eqel 2910 . 2 (𝜑𝐼 ∈ (0..^𝑀))
5948, 58sseldi 3825 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ (0...𝑀))
6015, 59ffvelrnd 6609 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ)
6160rexrd 10406 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) ∈ ℝ*)
62 fzofzp1 12860 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6358, 62syl 17 . . . . 5 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6415, 63ffvelrnd 6609 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
6564rexrd 10406 . . 3 (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
661, 56syl5eqel 2910 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
67 fveq2 6433 . . . . . . 7 (𝑘 = 𝐼 → (𝑄𝑘) = (𝑄𝐼))
6867breq1d 4883 . . . . . 6 (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄𝐼) < 𝐶))
6968elrab 3585 . . . . 5 (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7066, 69sylib 210 . . . 4 (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄𝐼) < 𝐶))
7170simprd 491 . . 3 (𝜑 → (𝑄𝐼) < 𝐶)
7252, 58sseldi 3825 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
73 ltp1 11191 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
74 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
75 peano2re 10528 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7674, 75ltnled 10503 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
7773, 76mpbid 224 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℝ → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
7872, 77syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
7948, 49sstri 3836 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑀) ⊆ ℤ
802, 79sstri 3836 . . . . . . . . . . 11 {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ)
82 elrabi 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → ∈ (0..^𝑀))
83 elfzo0le 12807 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ (0..^𝑀) → 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} → 𝑀)
8584adantl 475 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}) → 𝑀)
8685ralrimiva 3175 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀)
87 breq2 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑀 → (𝑚𝑀))
8887ralbidv 3195 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 = 𝑀 → (∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚 ↔ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀))
8988rspcev 3526 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
9011, 86, 89syl2anc 581 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
9190adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚)
92 elfzuz 12631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9363, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9493adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0))
9511adantr 474 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℤ)
9651, 63sseldi 3825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9796adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9895zred 11810 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℝ)
99 elfzle2 12638 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
10063, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
101100adantr 474 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
102 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
10364adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
10427adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
105103, 104ltnled 10503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
106102, 105mpbid 224 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
107 iccleub 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄𝑀) ∈ ℝ*𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄𝑀))) → 𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
10828, 29, 26, 107syl3anc 1496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
109108adantr 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄𝑀))
110 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
111110adantl 475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → (𝑄𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
112109, 111breqtrd 4899 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
113112adantlr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114106, 113mtand 852 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
115114neqned 3006 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ≠ (𝐼 + 1))
11697, 98, 101, 115leneltd 10510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
117 elfzo2 12768 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
11894, 95, 116, 117syl3anbrc 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
119 fveq2 6433 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
120119breq1d 4883 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
121120elrab 3585 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
122118, 102, 121sylanbrc 580 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶})
123 suprzub 12062 . . . . . . . . . 10 (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}𝑚 ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
12481, 91, 122, 123syl3anc 1496 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
125124, 1syl6breqr 4915 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
12678, 125mtand 852 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
127 eqcom 2832 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
128127biimpi 208 . . . . . . . . . 10 ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
129128adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
13034adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
13163adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
132 fnfvelrn 6605 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
133130, 131, 132syl2anc 581 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
134129, 133eqeltrd 2906 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
13532, 134mtand 852 . . . . . . 7 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)
136126, 135jca 509 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
137 pm4.56 1018 . . . . . 6 ((¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
138136, 137sylib 210 . . . . 5 (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
13964, 27leloed 10499 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)))
140138, 139mtbird 317 . . . 4 (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶)
14127, 64ltnled 10503 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)) ↔ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶))
142140, 141mpbird 249 . . 3 (𝜑𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
14361, 65, 27, 71, 142eliood 40519 . 2 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
144 fveq2 6433 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄𝑗) = (𝑄𝐼))
145 oveq1 6912 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
146145fveq2d 6437 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
147144, 146oveq12d 6923 . . . 4 (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
148147eleq2d 2892 . . 3 (𝑗 = 𝐼 → (𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
149148rspcev 3526 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
15058, 143, 149syl2anc 581 1 (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386  wo 880   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2999  wral 3117  wrex 3118  {crab 3121  wss 3798  c0 4144   class class class wbr 4873   Or wor 5262  ran crn 5343   Fn wfn 6118  wf 6119  cfv 6123  (class class class)co 6905  Fincfn 8222  supcsup 8615  cr 10251  0cc0 10252  1c1 10253   + caddc 10255  *cxr 10390   < clt 10391  cle 10392  cn 11350  0cn0 11618  cz 11704  cuz 11968  (,)cioo 12463  [,]cicc 12466  ...cfz 12619  ..^cfzo 12760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-sup 8617  df-inf 8618  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-ioo 12467  df-icc 12470  df-fz 12620  df-fzo 12761
This theorem is referenced by:  fourierdlem41  41159  fourierdlem48  41165  fourierdlem49  41166  fourierdlem70  41187  fourierdlem71  41188  fourierdlem103  41220  fourierdlem104  41221
  Copyright terms: Public domain W3C validator