Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem25 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fourierdlem25 45148
Description: If 𝐢 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem25.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem25.qf (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
fourierdlem25.cel (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
fourierdlem25.cnel (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i 𝐼 = sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}, ℝ, < )
Assertion
Ref Expression
fourierdlem25 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0..^𝑀)𝐢 ∈ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
Distinct variable groups:   𝐢,π‘˜   𝐢,𝑗   𝑗,𝐼   π‘˜,𝐼   π‘˜,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,π‘˜   𝑄,𝑗
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗,π‘˜)
Proof of Theorem fourierdlem25
Dummy variables β„Ž π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fourierdlem25.i . . 3 𝐼 = sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}, ℝ, < )
2 ssrab2 4078 . . . 4 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} βŠ† (0..^𝑀)
3 ltso 11299 . . . . . 6 < Or ℝ
43a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ < Or ℝ)
5 fzofi 13944 . . . . . . 7 (0..^𝑀) ∈ Fin
6 ssfi 9176 . . . . . . 7 (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} βŠ† (0..^𝑀)) β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} ∈ Fin)
75, 2, 6mp2an 689 . . . . . 6 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} ∈ Fin
87a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} ∈ Fin)
9 0zd 12575 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 ∈ β„€)
10 fourierdlem25.m . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1110nnzd 12590 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
1210nngt0d 12266 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑀)
13 fzolb 13643 . . . . . . . 8 (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 0 < 𝑀))
149, 11, 12, 13syl3anbrc 1342 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0..^𝑀))
15 fourierdlem25.qf . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
16 elfzofz 13653 . . . . . . . . . 10 (0 ∈ (0..^𝑀) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
1714, 16syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
1815, 17ffvelcdmd 7088 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ)
1910nnnn0d 12537 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•0)
20 nn0uz 12869 . . . . . . . . . . . . 13 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
2119, 20eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
22 eluzfz2 13514 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (β„€β‰₯β€˜0) β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ (0...𝑀))
2415, 23ffvelcdmd 7088 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ)
2518, 24iccssred 13416 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)) βŠ† ℝ)
26 fourierdlem25.cel . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
2725, 26sseldd 3984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
2818rexrd 11269 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ℝ*)
2924rexrd 11269 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ*)
30 iccgelb 13385 . . . . . . . . 9 (((π‘„β€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ (π‘„β€˜0) ≀ 𝐢)
3128, 29, 26, 30syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) ≀ 𝐢)
32 fourierdlem25.cnel . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 ∈ ran 𝑄)
33 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘„β€˜0)) β†’ 𝐢 = (π‘„β€˜0))
3415ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
3534adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘„β€˜0)) β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
3617adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘„β€˜0)) β†’ 0 ∈ (0...𝑀))
37 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ran 𝑄)
3835, 36, 37syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘„β€˜0)) β†’ (π‘„β€˜0) ∈ ran 𝑄)
3933, 38eqeltrd 2832 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝐢 = (π‘„β€˜0)) β†’ 𝐢 ∈ ran 𝑄)
4032, 39mtand 813 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝐢 = (π‘„β€˜0))
4140neqned 2946 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐢 β‰  (π‘„β€˜0))
4218, 27, 31, 41leneltd 11373 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) < 𝐢)
43 fveq2 6892 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 0 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜0))
4443breq1d 5159 . . . . . . . 8 (π‘˜ = 0 β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢 ↔ (π‘„β€˜0) < 𝐢))
4544elrab 3684 . . . . . . 7 (0 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (π‘„β€˜0) < 𝐢))
4614, 42, 45sylanbrc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢})
4746ne0d 4336 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} β‰  βˆ…)
48 fzossfz 13656 . . . . . . . 8 (0..^𝑀) βŠ† (0...𝑀)
49 fzssz 13508 . . . . . . . . 9 (0...𝑀) βŠ† β„€
50 zssre 12570 . . . . . . . . 9 β„€ βŠ† ℝ
5149, 50sstri 3992 . . . . . . . 8 (0...𝑀) βŠ† ℝ
5248, 51sstri 3992 . . . . . . 7 (0..^𝑀) βŠ† ℝ
532, 52sstri 3992 . . . . . 6 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} βŠ† ℝ
5453a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} βŠ† ℝ)
55 fisupcl 9467 . . . . 5 (( < Or ℝ ∧ ({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} ∈ Fin ∧ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} β‰  βˆ… ∧ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} βŠ† ℝ)) β†’ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}, ℝ, < ) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢})
564, 8, 47, 54, 55syl13anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}, ℝ, < ) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢})
572, 56sselid 3981 . . 3 (πœ‘ β†’ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
581, 57eqeltrid 2836 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
5948, 58sselid 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ (0...𝑀))
6015, 59ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΌ) ∈ ℝ)
6160rexrd 11269 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΌ) ∈ ℝ*)
62 fzofzp1 13734 . . . . . 6 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6358, 62syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
6415, 63ffvelcdmd 7088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
6564rexrd 11269 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
661, 56eqeltrid 2836 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢})
67 fveq2 6892 . . . . . . 7 (π‘˜ = 𝐼 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜πΌ))
6867breq1d 5159 . . . . . 6 (π‘˜ = 𝐼 β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢 ↔ (π‘„β€˜πΌ) < 𝐢))
6968elrab 3684 . . . . 5 (𝐼 ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (π‘„β€˜πΌ) < 𝐢))
7066, 69sylib 217 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (π‘„β€˜πΌ) < 𝐢))
7170simprd 495 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜πΌ) < 𝐢)
7252, 58sselid 3981 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
73 ltp1 12059 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ β†’ 𝐼 < (𝐼 + 1))
74 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ β†’ 𝐼 ∈ ℝ)
75 peano2re 11392 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ ℝ β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
7674, 75ltnled 11366 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ ℝ β†’ (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ Β¬ (𝐼 + 1) ≀ 𝐼))
7773, 76mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝐼 ∈ ℝ β†’ Β¬ (𝐼 + 1) ≀ 𝐼)
7872, 77syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝐼 + 1) ≀ 𝐼)
7948, 49sstri 3992 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑀) βŠ† β„€
802, 79sstri 3992 . . . . . . . . . . 11 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} βŠ† β„€
8180a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} βŠ† β„€)
82 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} β†’ β„Ž ∈ (0..^𝑀))
83 elfzo0le 13681 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž ∈ (0..^𝑀) β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
8584adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}) β†’ β„Ž ≀ 𝑀)
8685ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ βˆ€β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}β„Ž ≀ 𝑀)
87 breq2 5153 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑀 β†’ (β„Ž ≀ π‘š ↔ β„Ž ≀ 𝑀))
8887ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘š = 𝑀 β†’ (βˆ€β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}β„Ž ≀ π‘š ↔ βˆ€β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}β„Ž ≀ 𝑀))
8988rspcev 3613 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ βˆ€β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}β„Ž ≀ 𝑀) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ βˆ€β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}β„Ž ≀ π‘š)
9011, 86, 89syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ βˆ€β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}β„Ž ≀ π‘š)
9190adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ βˆƒπ‘š ∈ β„€ βˆ€β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}β„Ž ≀ π‘š)
92 elfzuz 13502 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
9363, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0))
9511adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
9651, 63sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9796adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
9895zred 12671 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
99 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝑀)
10063, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝑀)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝑀)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢)
10364adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
10427adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
105103, 104ltnled 11366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢 ↔ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1))))
106102, 105mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ Β¬ 𝐢 ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
107 iccleub 13384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘„β€˜0) ∈ ℝ* ∧ (π‘„β€˜π‘€) ∈ ℝ* ∧ 𝐢 ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€))) β†’ 𝐢 ≀ (π‘„β€˜π‘€))
10828, 29, 26, 107syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐢 ≀ (π‘„β€˜π‘€))
109108adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) β†’ 𝐢 ≀ (π‘„β€˜π‘€))
110 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
111110adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) β†’ (π‘„β€˜π‘€) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
112109, 111breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) β†’ 𝐢 ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
113112adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) β†’ 𝐢 ≀ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
114106, 113mtand 813 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ Β¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
115114neqned 2946 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ 𝑀 β‰  (𝐼 + 1))
11697, 98, 101, 115leneltd 11373 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) < 𝑀)
117 elfzo2 13640 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜0) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
11894, 95, 116, 117syl3anbrc 1342 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
119 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = (𝐼 + 1) β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
120119breq1d 5159 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢 ↔ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢))
121120elrab 3684 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 + 1) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢))
122118, 102, 121sylanbrc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢})
123 suprzub 12928 . . . . . . . . . 10 (({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢} βŠ† β„€ ∧ βˆƒπ‘š ∈ β„€ βˆ€β„Ž ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}β„Ž ≀ π‘š ∧ (𝐼 + 1) ∈ {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}) β†’ (𝐼 + 1) ≀ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}, ℝ, < ))
12481, 91, 122, 123syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) ≀ sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝐢}, ℝ, < ))
125124, 1breqtrrdi 5191 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐼)
12678, 125mtand 813 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢)
127 eqcom 2738 . . . . . . . . . . 11 ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢 ↔ 𝐢 = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
128127biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢 β†’ 𝐢 = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
129128adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢) β†’ 𝐢 = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
13034adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢) β†’ 𝑄 Fn (0...𝑀))
13163adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
132 fnfvelrn 7083 . . . . . . . . . 10 ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
133130, 131, 132syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢) β†’ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
134129, 133eqeltrd 2832 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢) β†’ 𝐢 ∈ ran 𝑄)
13532, 134mtand 813 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢)
136126, 135jca 511 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢 ∧ Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢))
137 pm4.56 986 . . . . . 6 ((Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢 ∧ Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢) ↔ Β¬ ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢 ∨ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢))
138136, 137sylib 217 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Β¬ ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢 ∨ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢))
13964, 27leloed 11362 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ 𝐢 ↔ ((π‘„β€˜(𝐼 + 1)) < 𝐢 ∨ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) = 𝐢)))
140138, 139mtbird 324 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ 𝐢)
14127, 64ltnled 11366 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 < (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ↔ Β¬ (π‘„β€˜(𝐼 + 1)) ≀ 𝐢))
142140, 141mpbird 256 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 < (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
14361, 65, 27, 71, 142eliood 44511 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1))))
144 fveq2 6892 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 β†’ (π‘„β€˜π‘—) = (π‘„β€˜πΌ))
145 oveq1 7419 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐼 β†’ (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
146145fveq2d 6896 . . . . 5 (𝑗 = 𝐼 β†’ (π‘„β€˜(𝑗 + 1)) = (π‘„β€˜(𝐼 + 1)))
147144, 146oveq12d 7430 . . . 4 (𝑗 = 𝐼 β†’ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1))) = ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1))))
148147eleq2d 2818 . . 3 (𝑗 = 𝐼 β†’ (𝐢 ∈ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1))) ↔ 𝐢 ∈ ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1)))))
149148rspcev 3613 . 2 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐢 ∈ ((π‘„β€˜πΌ)(,)(π‘„β€˜(𝐼 + 1)))) β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0..^𝑀)𝐢 ∈ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
15058, 143, 149syl2anc 583 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘— ∈ (0..^𝑀)𝐢 ∈ ((π‘„β€˜π‘—)(,)(π‘„β€˜(𝑗 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3431   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5149   Or wor 5588  ran crn 5678   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  Fincfn 8942  supcsup 9438  β„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116  β„*cxr 11252   < clt 11253   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  β„€cz 12563  β„€β‰₯cuz 12827  (,)cioo 13329  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  ..^cfzo 13632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633
This theorem is referenced by:  fourierdlem41  45164  fourierdlem48  45170  fourierdlem49  45171  fourierdlem70  45192  fourierdlem71  45193  fourierdlem103  45225  fourierdlem104  45226
  Copyright terms: Public domain W3C validator