Theorem fourierdlem25 46703

Description: If 𝐶 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem25.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem25.qf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem25.cel	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
fourierdlem25.cnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i	⊢ 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem25	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝐶,𝑗   𝑗,𝐼   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,𝑘   𝑄,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem25

Dummy variables ℎ 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem25.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
2		ssrab2 4033	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)
3		ltso 11263	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
5		fzofi 13987	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
6		ssfi 9141	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
7	5, 2, 6	mp2an 702	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
9		0zd 12580	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10		fourierdlem25.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	10	nngt0d 12262	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
13		fzolb 13671	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1357	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
15		fourierdlem25.qf	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
16		elfzofz 13681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) → 0 ∈ (0...𝑀))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
18	15, 17	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
19	10	nnnn0d 12542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		nn0uz 12877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	19, 20	eleqtrdi 2872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
22		eluzfz2 13537	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	15, 23	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ)
25	18, 24	iccssred 13438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) ⊆ ℝ)
26		fourierdlem25.cel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
27	25, 26	sseldd 3937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	18	rexrd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
29	24	rexrd 11232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ*)
30		iccgelb 13406	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
31	28, 29, 26, 30	syl3anc 1390	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
32		fourierdlem25.cnel	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
33		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 = (𝑄‘0))
34	15	ffnd 6692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
35	34	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
36	17	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 0 ∈ (0...𝑀))
37		fnfvelrn 7061	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
38	35, 36, 37	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
39	33, 38	eqeltrd 2862	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
40	32, 39	mtand 825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = (𝑄‘0))
41	40	neqned 2964	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝑄‘0))
42	18, 27, 31, 41	leneltd 11337	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < 𝐶)
43		fveq2 6867	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
44	43	breq1d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘0) < 𝐶))
45	44	elrab 3650	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) < 𝐶))
46	14, 42, 45	sylanbrc 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
47	46	ne0d 4294	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
48		fzossfz 13684	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
49		fzssz 13531	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℤ
50		zssre 12575	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
51	49, 50	sstri 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℝ
52	48, 51	sstri 3945	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℝ
53	2, 52	sstri 3945	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)
55		fisupcl 9416	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
56	4, 8, 47, 54, 55	syl13anc 1391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
57	2, 56	sselid 3934	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
58	1, 57	eqeltrid 2866	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
59	48, 58	sselid 3934	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
60	15, 59	ffvelcdmd 7066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ)
61	60	rexrd 11232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
62		fzofzp1 13770	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
63	58, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
64	15, 63	ffvelcdmd 7066	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
65	64	rexrd 11232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
66	1, 56	eqeltrid 2866	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
67		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝐼))
68	67	breq1d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
69	68	elrab 3650	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
70	66, 69	sylib 220	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
71	70	simprd 499	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) < 𝐶)
72	52, 58	sselid 3934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
73		ltp1 12031	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
74		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
75		peano2re 11356	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
76	74, 75	ltnled 11330	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
77	73, 76	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
79	48, 49	sstri 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℤ
80	2, 79	sstri 3945	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ)
82		elrabi 3646	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} → ℎ ∈ (0..^𝑀))
83		elfzo0le 13709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ≤ 𝑀)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} → ℎ ≤ 𝑀)
85	84	adantl 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}) → ℎ ≤ 𝑀)
86	85	ralrimiva 3154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀)
87		breq2 5104	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (ℎ ≤ 𝑚 ↔ ℎ ≤ 𝑀))
88	87	ralbidv 3185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚 ↔ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀))
89	88	rspcev 3581	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
90	11, 86, 89	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
91	90	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
92		elfzuz 13525	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
93	63, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
94	93	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
95	11	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℤ)
96	51, 63	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
97	96	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
98	95	zred 12677	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℝ)
99		elfzle2 13533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
100	63, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
101	100	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
102		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
103	64	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
104	27	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
105	103, 104	ltnled 11330	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
106	102, 105	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
107		iccleub 13405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
108	28, 29, 26, 107	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
109	108	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
110		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
111	110	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
112	109, 111	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
113	112	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114	106, 113	mtand 825	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
115	114	neqned 2964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ≠ (𝐼 + 1))
116	97, 98, 101, 115	leneltd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
117		elfzo2 13667	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
118	94, 95, 116, 117	syl3anbrc 1357	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
119		fveq2 6867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
120	119	breq1d 5110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
121	120	elrab 3650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
122	118, 102, 121	sylanbrc 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
123		suprzub 12940	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚 ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
124	81, 91, 122, 123	syl3anc 1390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
125	124, 1	breqtrrdi 5142	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
126	78, 125	mtand 825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
127		eqcom 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶 ↔ 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
128	127	bilani 508	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
129	34	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
130	63	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
131		fnfvelrn 7061	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
132	129, 130, 131	syl2anc 593	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
133	128, 132	eqeltrd 2862	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
134	32, 133	mtand 825	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)
135	126, 134	jca 519	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
136		pm4.56 1002	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
137	135, 136	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
138	64, 27	leloed 11326	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)))
139	137, 138	mtbird 327	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶)
140	27, 64	ltnled 11330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)) ↔ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶))
141	139, 140	mpbird 259	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
142	61, 65, 27, 71, 141	eliood 46071	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
143		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝐼))
144		oveq1 7403	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
145	144	fveq2d 6871	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
146	143, 145	oveq12d 7414	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
147	146	eleq2d 2848	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
148	147	rspcev 3581	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
149	58, 142, 148	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {crab 3414   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285   class class class wbr 5100   Or wor 5554  ran crn 5648   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Fincfn 8927  supcsup 9386  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217  ℕcn 12210  ℕ₀cn0 12481  ℤcz 12568  ℤ_≥cuz 12839  (,)cioo 13349  [,]cicc 13352  ...cfz 13512  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-n0 12482  df-z 12569  df-uz 12840  df-ioo 13353  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  46719  fourierdlem48  46725  fourierdlem49  46726  fourierdlem70  46747  fourierdlem71  46748  fourierdlem103  46780  fourierdlem104  46781