Theorem fourierdlem25 46560

Description: If 𝐶 is not in the range of the partition, then it is in an open interval induced by the partition. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem25.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
fourierdlem25.qf	⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
fourierdlem25.cel	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
fourierdlem25.cnel	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
fourierdlem25.i	⊢ 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem25	⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))

Distinct variable groups:   𝐶,𝑘   𝐶,𝑗   𝑗,𝐼   𝑘,𝐼   𝑘,𝑀   𝑗,𝑀   𝑄,𝑘   𝑄,𝑗

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑘)

Proof of Theorem fourierdlem25

Dummy variables ℎ 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem25.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < )
2		ssrab2 4020	. . . 4 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)
3		ltso 11226	. . . . . 6 ⊢ < Or ℝ
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → < Or ℝ)
5		fzofi 13936	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ∈ Fin
6		ssfi 9107	. . . . . . 7 ⊢ (((0..^𝑀) ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ (0..^𝑀)) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
7	5, 2, 6	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin)
9		0zd 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℤ)
10		fourierdlem25.m	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
11	10	nnzd 12550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12	10	nngt0d 12226	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑀)
13		fzolb 13620	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) ↔ (0 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
14	9, 11, 12, 13	syl3anbrc 1345	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0..^𝑀))
15		fourierdlem25.qf	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑄:(0...𝑀)⟶ℝ)
16		elfzofz 13630	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 ∈ (0..^𝑀) → 0 ∈ (0...𝑀))
17	14, 16	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0...𝑀))
18	15, 17	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ)
19	10	nnnn0d 12498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ0)
20		nn0uz 12826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
21	19, 20	eleqtrdi 2846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘0))
22		eluzfz2 13486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘0) → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (0...𝑀))
24	15, 23	ffvelcdmd 7037	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ)
25	18, 24	iccssred 13387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)) ⊆ ℝ)
26		fourierdlem25.cel	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀)))
27	25, 26	sseldd 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
28	18	rexrd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ∈ ℝ*)
29	24	rexrd 11195	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ*)
30		iccgelb 13355	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
31	28, 29, 26, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) ≤ 𝐶)
32		fourierdlem25.cnel	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 ∈ ran 𝑄)
33		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 = (𝑄‘0))
34	15	ffnd 6669	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑄 Fn (0...𝑀))
35	34	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
36	17	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 0 ∈ (0...𝑀))
37		fnfvelrn 7032	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ 0 ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
38	35, 36, 37	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → (𝑄‘0) ∈ ran 𝑄)
39	33, 38	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 = (𝑄‘0)) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
40	32, 39	mtand 816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐶 = (𝑄‘0))
41	40	neqned 2939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ (𝑄‘0))
42	18, 27, 31, 41	leneltd 11300	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘0) < 𝐶)
43		fveq2 6840	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 0 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘0))
44	43	breq1d 5095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 = 0 → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘0) < 𝐶))
45	44	elrab 3634	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ (0 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘0) < 𝐶))
46	14, 42, 45	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
47	46	ne0d 4282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ≠ ∅)
48		fzossfz 13633	. . . . . . . 8 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ (0...𝑀)
49		fzssz 13480	. . . . . . . . 9 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℤ
50		zssre 12531	. . . . . . . . 9 ⊢ ℤ ⊆ ℝ
51	49, 50	sstri 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (0...𝑀) ⊆ ℝ
52	48, 51	sstri 3931	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℝ
53	2, 52	sstri 3931	. . . . . 6 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)
55		fisupcl 9383	. . . . 5 ⊢ (( < Or ℝ ∧ ({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ∈ Fin ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ≠ ∅ ∧ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℝ)) → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
56	4, 8, 47, 54, 55	syl13anc 1375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
57	2, 56	sselid 3919	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ) ∈ (0..^𝑀))
58	1, 57	eqeltrid 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0..^𝑀))
59	48, 58	sselid 3919	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (0...𝑀))
60	15, 59	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ)
61	60	rexrd 11195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) ∈ ℝ*)
62		fzofzp1 13719	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
63	58, 62	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
64	15, 63	ffvelcdmd 7037	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
65	64	rexrd 11195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
66	1, 56	eqeltrid 2840	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
67		fveq2 6840	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘𝐼))
68	67	breq1d 5095	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 = 𝐼 → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
69	68	elrab 3634	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
70	66, 69	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘𝐼) < 𝐶))
71	70	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝐼) < 𝐶)
72	52, 58	sselid 3919	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
73		ltp1 11995	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 < (𝐼 + 1))
74		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → 𝐼 ∈ ℝ)
75		peano2re 11319	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
76	74, 75	ltnled 11293	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → (𝐼 < (𝐼 + 1) ↔ ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼))
77	73, 76	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐼 ∈ ℝ → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
78	72, 77	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
79	48, 49	sstri 3931	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0..^𝑀) ⊆ ℤ
80	2, 79	sstri 3931	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ
81	80	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ)
82		elrabi 3630	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} → ℎ ∈ (0..^𝑀))
83		elfzo0le 13658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ (0..^𝑀) → ℎ ≤ 𝑀)
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} → ℎ ≤ 𝑀)
85	84	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}) → ℎ ≤ 𝑀)
86	85	ralrimiva 3129	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀)
87		breq2 5089	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (ℎ ≤ 𝑚 ↔ ℎ ≤ 𝑀))
88	87	ralbidv 3160	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚 ↔ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀))
89	88	rspcev 3564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑀) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
90	11, 86, 89	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
91	90	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚)
92		elfzuz 13474	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
93	63, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0))
95	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℤ)
96	51, 63	sselid 3919	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
97	96	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
98	95	zred 12633	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ∈ ℝ)
99		elfzle2 13482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
100	63, 99	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
101	100	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑀)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
103	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ)
104	27	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℝ)
105	103, 104	ltnled 11293	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ↔ ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1))))
106	102, 105	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
107		iccleub 13354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑄‘0) ∈ ℝ* ∧ (𝑄‘𝑀) ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘0)[,](𝑄‘𝑀))) → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
108	28, 29, 26, 107	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
109	108	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘𝑀))
110		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
111	110	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → (𝑄‘𝑀) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
112	109, 111	breqtrd 5111	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
113	112	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) ∧ 𝑀 = (𝐼 + 1)) → 𝐶 ≤ (𝑄‘(𝐼 + 1)))
114	106, 113	mtand 816	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → ¬ 𝑀 = (𝐼 + 1))
115	114	neqned 2939	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → 𝑀 ≠ (𝐼 + 1))
116	97, 98, 101, 115	leneltd 11300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) < 𝑀)
117		elfzo2 13616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (ℤ≥‘0) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐼 + 1) < 𝑀))
118	94, 95, 116, 117	syl3anbrc 1345	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀))
119		fveq2 6840	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → (𝑄‘𝑘) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
120	119	breq1d 5095	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝐼 + 1) → ((𝑄‘𝑘) < 𝐶 ↔ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
121	120	elrab 3634	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ↔ ((𝐼 + 1) ∈ (0..^𝑀) ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶))
122	118, 102, 121	sylanbrc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶})
123		suprzub 12889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶} ⊆ ℤ ∧ ∃𝑚 ∈ ℤ ∀ℎ ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}ℎ ≤ 𝑚 ∧ (𝐼 + 1) ∈ {𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
124	81, 91, 122, 123	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ sup({𝑘 ∈ (0..^𝑀) ∣ (𝑄‘𝑘) < 𝐶}, ℝ, < ))
125	124, 1	breqtrrdi 5127	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐼)
126	78, 125	mtand 816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶)
127		eqcom 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶 ↔ 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
128	127	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶 → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
129	128	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
130	34	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝑄 Fn (0...𝑀))
131	63	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
132		fnfvelrn 7032	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑄 Fn (0...𝑀) ∧ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀)) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
133	130, 131, 132	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → (𝑄‘(𝐼 + 1)) ∈ ran 𝑄)
134	129, 133	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) → 𝐶 ∈ ran 𝑄)
135	32, 134	mtand 816	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)
136	126, 135	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
137		pm4.56 991	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∧ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶) ↔ ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
138	136, 137	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ¬ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶))
139	64, 27	leloed 11289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶 ↔ ((𝑄‘(𝐼 + 1)) < 𝐶 ∨ (𝑄‘(𝐼 + 1)) = 𝐶)))
140	138, 139	mtbird 325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶)
141	27, 64	ltnled 11293	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)) ↔ ¬ (𝑄‘(𝐼 + 1)) ≤ 𝐶))
142	140, 141	mpbird 257	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 < (𝑄‘(𝐼 + 1)))
143	61, 65, 27, 71, 142	eliood 45928	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
144		fveq2 6840	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘𝑗) = (𝑄‘𝐼))
145		oveq1 7374	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑗 + 1) = (𝐼 + 1))
146	145	fveq2d 6844	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝑄‘(𝑗 + 1)) = (𝑄‘(𝐼 + 1)))
147	144, 146	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) = ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1))))
148	147	eleq2d 2822	. . 3 ⊢ (𝑗 = 𝐼 → (𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))) ↔ 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))))
149	148	rspcev 3564	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐶 ∈ ((𝑄‘𝐼)(,)(𝑄‘(𝐼 + 1)))) → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))
150	58, 143, 149	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑗 ∈ (0..^𝑀)𝐶 ∈ ((𝑄‘𝑗)(,)(𝑄‘(𝑗 + 1))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389   ⊆ wss 3889  ∅c0 4273   class class class wbr 5085   Or wor 5538  ran crn 5632   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Fincfn 8893  supcsup 9353  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  (,)cioo 13298  [,]cicc 13301  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  fourierdlem41  46576  fourierdlem48  46582  fourierdlem49  46583  fourierdlem70  46604  fourierdlem71  46605  fourierdlem103  46637  fourierdlem104  46638