Theorem imsdval2 28097

Description: Value of the distance function of the induced metric of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval2.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdval2.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
imsdval2.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
imsdval2.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
imsdval2.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsdval2	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Proof of Theorem imsdval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval2.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2825	. . 3 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		imsdval2.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		imsdval2.8	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	imsdval 28096	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
6		imsdval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		imsdval2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8	1, 6, 7, 2	nvmval 28052	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
9	8	fveq2d 6437	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
10	5, 9	eqtrd 2861	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  1c1 10253  -cneg 10586  NrmCVeccnv 27994   +_𝑣 cpv 27995  BaseSetcba 27996   ·_𝑠OLD cns 27997   −_𝑣 cnsb 27999  norm_CVcnmcv 28000  IndMetcims 28001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-po 5263  df-so 5264  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-er 8009  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-ltxr 10396  df-sub 10587  df-neg 10588  df-grpo 27903  df-gid 27904  df-ginv 27905  df-gdiv 27906  df-ablo 27955  df-vc 27969  df-nv 28002  df-va 28005  df-ba 28006  df-sm 28007  df-0v 28008  df-vs 28009  df-nmcv 28010  df-ims 28011

This theorem is referenced by:  imsmetlem  28100  nmcvcn  28105  smcnlem  28107