Theorem imsdval2 30623

Description: Value of the distance function of the induced metric of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval2.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdval2.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
imsdval2.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
imsdval2.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
imsdval2.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsdval2	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Proof of Theorem imsdval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval2.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		imsdval2.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		imsdval2.8	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	imsdval 30622	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
6		imsdval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		imsdval2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8	1, 6, 7, 2	nvmval 30578	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
9	8	fveq2d 6865	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
10	5, 9	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  1c1 11076  -cneg 11413  NrmCVeccnv 30520   +_𝑣 cpv 30521  BaseSetcba 30522   ·_𝑠OLD cns 30523   −_𝑣 cnsb 30525  norm_CVcnmcv 30526  IndMetcims 30527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537

This theorem is referenced by:  imsmetlem  30626  nmcvcn  30631  smcnlem  30633