Theorem imsdval2 28950

Description: Value of the distance function of the induced metric of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval2.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
imsdval2.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
imsdval2.4	⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
imsdval2.6	⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
imsdval2.8	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
imsdval2	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Proof of Theorem imsdval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval2.1	. . 3 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
2		eqid 2738	. . 3 ⊢ ( −𝑣 ‘𝑈) = ( −𝑣 ‘𝑈)
3		imsdval2.6	. . 3 ⊢ 𝑁 = (normCV‘𝑈)
4		imsdval2.8	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑈)
5	1, 2, 3, 4	imsdval 28949	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)))
6		imsdval2.2	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
7		imsdval2.4	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
8	1, 6, 7, 2	nvmval 28905	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐵)))
9	8	fveq2d 6760	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑁‘(𝐴( −𝑣 ‘𝑈)𝐵)) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))
10	5, 9	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐷𝐵) = (𝑁‘(𝐴𝐺(-1𝑆𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1c1 10803  -cneg 11136  NrmCVeccnv 28847   +_𝑣 cpv 28848  BaseSetcba 28849   ·_𝑠OLD cns 28850   −_𝑣 cnsb 28852  norm_CVcnmcv 28853  IndMetcims 28854

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138  df-grpo 28756  df-gid 28757  df-ginv 28758  df-gdiv 28759  df-ablo 28808  df-vc 28822  df-nv 28855  df-va 28858  df-ba 28859  df-sm 28860  df-0v 28861  df-vs 28862  df-nmcv 28863  df-ims 28864

This theorem is referenced by:  imsmetlem  28953  nmcvcn  28958  smcnlem  28960