MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsdval2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem imsdval2 30525
Description: Value of the distance function of the induced metric of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsdval2.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
imsdval2.2 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
imsdval2.4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
imsdval2.6 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
imsdval2.8 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
imsdval2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
Proof of Theorem imsdval2
StepHypRef Expression
1 imsdval2.1 . . 3 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
2 eqid 2728 . . 3 ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ) = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
3 imsdval2.6 . . 3 𝑁 = (normCVβ€˜π‘ˆ)
4 imsdval2.8 . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
51, 2, 3, 4imsdval 30524 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)))
6 imsdval2.2 . . . 4 𝐺 = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
7 imsdval2.4 . . . 4 𝑆 = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
81, 6, 7, 2nvmval 30480 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡) = (𝐴𝐺(-1𝑆𝐡)))
98fveq2d 6906 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘β€˜(𝐴( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)𝐡)) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
105, 9eqtrd 2768 1 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝐷𝐡) = (π‘β€˜(𝐴𝐺(-1𝑆𝐡))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  1c1 11149  -cneg 11485  NrmCVeccnv 30422   +𝑣 cpv 30423  BaseSetcba 30424   ·𝑠OLD cns 30425   βˆ’π‘£ cnsb 30427  normCVcnmcv 30428  IndMetcims 30429
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-ltxr 11293  df-sub 11486  df-neg 11487  df-grpo 30331  df-gid 30332  df-ginv 30333  df-gdiv 30334  df-ablo 30383  df-vc 30397  df-nv 30430  df-va 30433  df-ba 30434  df-sm 30435  df-0v 30436  df-vs 30437  df-nmcv 30438  df-ims 30439
This theorem is referenced by:  imsmetlem  30528  nmcvcn  30533  smcnlem  30535
  Copyright terms: Public domain W3C validator