Theorem ipcnval 15142

Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ipcnval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Proof of Theorem ipcnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 15104	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
2		remul 15128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
3	1, 2	sylan2 601	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
4		recj 15123	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
5	4	adantl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
6	5	oveq2d 7397	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))
7		imcj 15131	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
8	7	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
9	8	oveq2d 7397	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)))
10		imcl 15110	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11196	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12		imcl 15110	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11196	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 11610	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2an 604	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
16	9, 15	eqtrd 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
17	6, 16	oveq12d 7399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
18		recl 15109	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11196	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
20		recl 15109	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11196	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
22		mulcl 11143	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	syl2an 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
24		mulcl 11143	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
25	11, 13, 24	syl2an 604	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
26	23, 25	subnegd 11535	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
27	3, 17, 26	3eqtrd 2791	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1550   ∈ wcel 2132  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  ℂcc 11057   + caddc 11062   · cmul 11064   − cmin 11400  -cneg 11401  ∗ccj 15095  ℜcre 15096  ℑcim 15097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100

This theorem is referenced by:  cjmulval  15144  ipcni  15189  ipcnd  15221