MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnval 15093
Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ipcnval ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))

Proof of Theorem ipcnval
StepHypRef Expression
1 cjcl 15055 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2 remul 15079 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)))))
31, 2sylan2 592 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)))))
4 recj 15074 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = (โ„œโ€˜๐ต))
54adantl 481 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = (โ„œโ€˜๐ต))
65oveq2d 7420 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))
7 imcj 15082 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = -(โ„‘โ€˜๐ต))
87adantl 481 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = -(โ„‘โ€˜๐ต))
98oveq2d 7420 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท -(โ„‘โ€˜๐ต)))
10 imcl 15061 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1110recnd 11243 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
12 imcl 15061 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1312recnd 11243 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
14 mulneg2 11652 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท -(โ„‘โ€˜๐ต)) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
1511, 13, 14syl2an 595 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท -(โ„‘โ€˜๐ต)) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
169, 15eqtrd 2766 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
176, 16oveq12d 7422 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
18 recl 15060 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1918recnd 11243 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 recl 15060 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2120recnd 11243 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
22 mulcl 11193 . . . 4 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2319, 21, 22syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
24 mulcl 11193 . . . 4 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2511, 13, 24syl2an 595 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2623, 25subnegd 11579 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
273, 17, 263eqtrd 2770 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  -cneg 11446  โˆ—ccj 15046  โ„œcre 15047  โ„‘cim 15048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-2 12276  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051
This theorem is referenced by:  cjmulval  15095  ipcni  15140  ipcnd  15172
  Copyright terms: Public domain W3C validator