MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ipcnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ipcnval 15130
Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
ipcnval ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))

Proof of Theorem ipcnval
StepHypRef Expression
1 cjcl 15092 . . 3 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
2 remul 15116 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (โˆ—โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)))))
31, 2sylan2 591 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)))))
4 recj 15111 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = (โ„œโ€˜๐ต))
54adantl 480 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = (โ„œโ€˜๐ต))
65oveq2d 7442 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)))
7 imcj 15119 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = -(โ„‘โ€˜๐ต))
87adantl 480 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)) = -(โ„‘โ€˜๐ต))
98oveq2d 7442 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท -(โ„‘โ€˜๐ต)))
10 imcl 15098 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1110recnd 11280 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
12 imcl 15098 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
1312recnd 11280 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
14 mulneg2 11689 . . . . 5 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท -(โ„‘โ€˜๐ต)) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
1511, 13, 14syl2an 594 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท -(โ„‘โ€˜๐ต)) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
169, 15eqtrd 2768 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) = -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)))
176, 16oveq12d 7444 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜(โˆ—โ€˜๐ต))) โˆ’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜(โˆ—โ€˜๐ต)))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
18 recl 15097 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1918recnd 11280 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 recl 15097 . . . . 5 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„)
2120recnd 11280 . . . 4 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚)
22 mulcl 11230 . . . 4 (((โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2319, 21, 22syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
24 mulcl 11230 . . . 4 (((โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2511, 13, 24syl2an 594 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‚)
2623, 25subnegd 11616 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) โˆ’ -((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
273, 17, 263eqtrd 2772 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (โ„œโ€˜(๐ด ยท (โˆ—โ€˜๐ต))) = (((โ„œโ€˜๐ด) ยท (โ„œโ€˜๐ต)) + ((โ„‘โ€˜๐ด) ยท (โ„‘โ€˜๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482  -cneg 11483  โˆ—ccj 15083  โ„œcre 15084  โ„‘cim 15085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-po 5594  df-so 5595  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-2 12313  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088
This theorem is referenced by:  cjmulval  15132  ipcni  15177  ipcnd  15209
  Copyright terms: Public domain W3C validator