Theorem ipcnval 14835

Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ipcnval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Proof of Theorem ipcnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 14797	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
2		remul 14821	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
3	1, 2	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
4		recj 14816	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
6	5	oveq2d 7284	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))
7		imcj 14824	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
9	8	oveq2d 7284	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)))
10		imcl 14803	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 10987	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12		imcl 14803	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 10987	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 11395	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2an 595	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
16	9, 15	eqtrd 2779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
17	6, 16	oveq12d 7286	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
18		recl 14802	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	recnd 10987	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
20		recl 14802	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 10987	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
22		mulcl 10939	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
24		mulcl 10939	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
25	11, 13, 24	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
26	23, 25	subnegd 11322	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
27	3, 17, 26	3eqtrd 2783	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℂcc 10853   + caddc 10858   · cmul 10860   − cmin 11188  -cneg 11189  ∗ccj 14788  ℜcre 14789  ℑcim 14790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-po 5502  df-so 5503  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-2 12019  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793

This theorem is referenced by:  cjmulval  14837  ipcni  14882  ipcnd  14914