Theorem ipcnval 15050

Description: Standard inner product on complex numbers. (Contributed by NM, 29-Jul-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ipcnval	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Proof of Theorem ipcnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cjcl 15012	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (∗‘𝐵) ∈ ℂ)
2		remul 15036	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (∗‘𝐵) ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
3	1, 2	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))))
4		recj 15031	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
5	4	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(∗‘𝐵)) = (ℜ‘𝐵))
6	5	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)))
7		imcj 15039	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
8	7	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℑ‘(∗‘𝐵)) = -(ℑ‘𝐵))
9	8	oveq2d 7362	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)))
10		imcl 15018	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11140	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
12		imcl 15018	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℝ)
13	12	recnd 11140	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ)
14		mulneg2 11554	. . . . 5 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
15	11, 13, 14	syl2an 596	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · -(ℑ‘𝐵)) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
16	9, 15	eqtrd 2766	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵))) = -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)))
17	6, 16	oveq12d 7364	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘(∗‘𝐵))) − ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘(∗‘𝐵)))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
18		recl 15017	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
19	18	recnd 11140	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
20		recl 15017	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℝ)
21	20	recnd 11140	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ)
22		mulcl 11090	. . . 4 ⊢ (((ℜ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
23	19, 21, 22	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) ∈ ℂ)
24		mulcl 11090	. . . 4 ⊢ (((ℑ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐵) ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
25	11, 13, 24	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵)) ∈ ℂ)
26	23, 25	subnegd 11479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) − -((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))
27	3, 17, 26	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐵))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐵)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℂcc 11004   + caddc 11009   · cmul 11011   − cmin 11344  -cneg 11345  ∗ccj 15003  ℜcre 15004  ℑcim 15005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008

This theorem is referenced by:  cjmulval  15052  ipcni  15097  ipcnd  15129