Theorem cjmulval 15215

Description: A complex number times its conjugate. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjmulval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem cjmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15180	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3	2	sqvald 14192	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
4		imcl 15181	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	sqvald 14192	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
7	3, 6	oveq12d 7434	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
8		ipcnval 15213	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
9	8	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
10		cjmulrcl 15214	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		rere 15192	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
13	7, 9, 12	3eqtr2rd 2807	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110   + caddc 11114   · cmul 11116  2c2 12306  ↑cexp 14110  ∗ccj 15166  ℜcre 15167  ℑcim 15168

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-seq 14051  df-exp 14111  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171

This theorem is used by:  cjmulge0  15216  cjmulvali  15248  cjmulvald  15277  absvalsq2  15351  absval2  15354