Theorem cjmulval 15098

Description: A complex number times its conjugate. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
cjmulval	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem cjmulval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recl 15063	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
3	2	sqvald 14113	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
4		imcl 15064	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5	4	recnd 11246	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
6	5	sqvald 14113	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
7	3, 6	oveq12d 7423	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
8		ipcnval 15096	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
9	8	anidms 566	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
10		cjmulrcl 15097	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
11		rere 15075	. . 3 ⊢ ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
12	10, 11	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
13	7, 9, 12	3eqtr2rd 2773	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  ℂcc 11110  ℝcr 11111   + caddc 11115   · cmul 11117  2c2 12271  ↑cexp 14032  ∗ccj 15049  ℜcre 15050  ℑcim 15051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054

This theorem is referenced by:  cjmulge0  15099  cjmulvali  15131  cjmulvald  15160  absvalsq2  15234  absval2  15237