MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cjmulval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cjmulval 14499
Description: A complex number times its conjugate. (Contributed by NM, 1-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
cjmulval (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))

Proof of Theorem cjmulval
StepHypRef Expression
1 recl 14464 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
21recnd 10663 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
32sqvald 13502 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℜ‘𝐴)↑2) = ((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)))
4 imcl 14465 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
54recnd 10663 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
65sqvald 13502 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴)↑2) = ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴)))
73, 6oveq12d 7168 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
8 ipcnval 14497 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
98anidms 567 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (((ℜ‘𝐴) · (ℜ‘𝐴)) + ((ℑ‘𝐴) · (ℑ‘𝐴))))
10 cjmulrcl 14498 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ)
11 rere 14476 . . 3 ((𝐴 · (∗‘𝐴)) ∈ ℝ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
1210, 11syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(𝐴 · (∗‘𝐴))) = (𝐴 · (∗‘𝐴)))
137, 9, 123eqtr2rd 2868 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · (∗‘𝐴)) = (((ℜ‘𝐴)↑2) + ((ℑ‘𝐴)↑2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530   + caddc 10534   · cmul 10536  2c2 11686  cexp 13424  ccj 14450  cre 14451  cim 14452
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8284  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-seq 13365  df-exp 13425  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455
This theorem is referenced by:  cjmulge0  14500  cjmulvali  14532  cjmulvald  14561  absvalsq2  14636  absval2  14639
  Copyright terms: Public domain W3C validator