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Theorem iunconnlem 22578
Description: Lemma for iunconn 22579. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconn.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
iunconn.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
iunconn.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
iunconn.6 (𝜑𝑈𝐽)
iunconn.7 (𝜑𝑉𝐽)
iunconn.8 (𝜑 → (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
iunconn.9 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
iunconn.10 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈𝑉))
iunconn.11 𝑘𝜑
Assertion
Ref Expression
iunconnlem (𝜑 → ¬ 𝑃𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunconnlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconn.8 . . 3 (𝜑 → (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
2 n0 4280 . . 3 ((𝑉 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵))
31, 2sylib 217 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵))
4 elin 3903 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) ↔ (𝑥𝑉𝑥 𝑘𝐴 𝐵))
5 eliun 4928 . . . . . 6 (𝑥 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑥𝐵)
6 iunconn.11 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
7 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥𝑉
86, 7nfan 1902 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥𝑉)
9 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑘 ¬ 𝑃𝑈
10 iunconn.5 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥𝐵)) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
12 iunconn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1312ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 iunconn.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝐵𝑋)
16 iunconn.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝐽)
1716ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑈𝐽)
18 iunconn.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉𝐽)
1918ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑉𝐽)
20 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑃𝑈)
21 iunconn.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑃𝐵)
23 inelcm 4398 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃𝑈𝑃𝐵) → (𝑈𝐵) ≠ ∅)
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑈𝐵) ≠ ∅)
25 inelcm 4398 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑉𝑥𝐵) → (𝑉𝐵) ≠ ∅)
2625ad2antrl 725 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑉𝐵) ≠ ∅)
27 iunconn.9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
2827ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
29 ssiun2 4977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝐴𝐵 𝑘𝐴 𝐵)
3029ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝐵 𝑘𝐴 𝐵)
3130sscond 4076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) ⊆ (𝑋𝐵))
3228, 31sstrd 3931 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋𝐵))
33 inss1 4162 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈𝑉) ⊆ 𝑈
34 toponss 22076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑈𝐽) → 𝑈𝑋)
3513, 17, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑈𝑋)
3633, 35sstrid 3932 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑈𝑉) ⊆ 𝑋)
37 reldisj 4385 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈𝑉) ⊆ 𝑋 → (((𝑈𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋𝐵)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋𝐵)))
3932, 38mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → ((𝑈𝑉) ∩ 𝐵) = ∅)
40 iunconn.10 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈𝑉))
4140ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈𝑉))
4230, 41sstrd 3931 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝐵 ⊆ (𝑈𝑉))
4313, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42nconnsubb 22574 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → ¬ (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
4443expr 457 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥𝐵)) → (𝑃𝑈 → ¬ (𝐽t 𝐵) ∈ Conn))
4511, 44mt2d 136 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥𝐵)) → ¬ 𝑃𝑈)
4645an4s 657 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → ¬ 𝑃𝑈)
4746exp32 421 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑘𝐴 → (𝑥𝐵 → ¬ 𝑃𝑈)))
488, 9, 47rexlimd 3250 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → (∃𝑘𝐴 𝑥𝐵 → ¬ 𝑃𝑈))
495, 48syl5bi 241 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 𝑘𝐴 𝐵 → ¬ 𝑃𝑈))
5049expimpd 454 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑉𝑥 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃𝑈))
514, 50syl5bi 241 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃𝑈))
5251exlimdv 1936 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃𝑈))
533, 52mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1539  wex 1782  wnf 1786  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  cdif 3884  cun 3885  cin 3886  wss 3887  c0 4256   ciun 4924  cfv 6433  (class class class)co 7275  t crest 17131  TopOnctopon 22059  Conncconn 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-en 8734  df-fin 8737  df-fi 9170  df-rest 17133  df-topgen 17154  df-top 22043  df-topon 22060  df-bases 22096  df-cld 22170  df-conn 22563
This theorem is referenced by:  iunconn  22579  iunconnlem2  42555
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