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Theorem iunconnlem 23435
Description: Lemma for iunconn 23436. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconn.2 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconn.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
iunconn.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
iunconn.5 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
iunconn.6 (𝜑𝑈𝐽)
iunconn.7 (𝜑𝑉𝐽)
iunconn.8 (𝜑 → (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
iunconn.9 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
iunconn.10 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈𝑉))
iunconn.11 𝑘𝜑
Assertion
Ref Expression
iunconnlem (𝜑 → ¬ 𝑃𝑈)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunconnlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconn.8 . . 3 (𝜑 → (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅)
2 n0 4353 . . 3 ((𝑉 𝑘𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵))
31, 2sylib 218 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵))
4 elin 3967 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) ↔ (𝑥𝑉𝑥 𝑘𝐴 𝐵))
5 eliun 4995 . . . . . 6 (𝑥 𝑘𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘𝐴 𝑥𝐵)
6 iunconn.11 . . . . . . . 8 𝑘𝜑
7 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑘 𝑥𝑉
86, 7nfan 1899 . . . . . . 7 𝑘(𝜑𝑥𝑉)
9 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑘 ¬ 𝑃𝑈
10 iunconn.5 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑘𝐴) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
1110adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥𝐵)) → (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
12 iunconn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
1312ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14 iunconn.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝑋)
1514adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝐵𝑋)
16 iunconn.6 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈𝐽)
1716ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑈𝐽)
18 iunconn.7 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉𝐽)
1918ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑉𝐽)
20 simprr 773 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑃𝑈)
21 iunconn.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑃𝐵)
2221adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑃𝐵)
23 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃𝑈𝑃𝐵) → (𝑈𝐵) ≠ ∅)
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑈𝐵) ≠ ∅)
25 inelcm 4465 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑉𝑥𝐵) → (𝑉𝐵) ≠ ∅)
2625ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑉𝐵) ≠ ∅)
27 iunconn.9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
2827ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋 𝑘𝐴 𝐵))
29 ssiun2 5047 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘𝐴𝐵 𝑘𝐴 𝐵)
3029ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝐵 𝑘𝐴 𝐵)
3130sscond 4146 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑋 𝑘𝐴 𝐵) ⊆ (𝑋𝐵))
3228, 31sstrd 3994 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋𝐵))
33 inss1 4237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑈𝑉) ⊆ 𝑈
34 toponss 22933 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑈𝐽) → 𝑈𝑋)
3513, 17, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑈𝑋)
3633, 35sstrid 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (𝑈𝑉) ⊆ 𝑋)
37 reldisj 4453 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑈𝑉) ⊆ 𝑋 → (((𝑈𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋𝐵)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → (((𝑈𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈𝑉) ⊆ (𝑋𝐵)))
3932, 38mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → ((𝑈𝑉) ∩ 𝐵) = ∅)
40 iunconn.10 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈𝑉))
4140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝑘𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈𝑉))
4230, 41sstrd 3994 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → 𝐵 ⊆ (𝑈𝑉))
4313, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42nconnsubb 23431 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ ((𝑥𝑉𝑥𝐵) ∧ 𝑃𝑈)) → ¬ (𝐽t 𝐵) ∈ Conn)
4443expr 456 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥𝐵)) → (𝑃𝑈 → ¬ (𝐽t 𝐵) ∈ Conn))
4511, 44mt2d 136 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑘𝐴) ∧ (𝑥𝑉𝑥𝐵)) → ¬ 𝑃𝑈)
4645an4s 660 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝑉) ∧ (𝑘𝐴𝑥𝐵)) → ¬ 𝑃𝑈)
4746exp32 420 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑘𝐴 → (𝑥𝐵 → ¬ 𝑃𝑈)))
488, 9, 47rexlimd 3266 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑉) → (∃𝑘𝐴 𝑥𝐵 → ¬ 𝑃𝑈))
495, 48biimtrid 242 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑉) → (𝑥 𝑘𝐴 𝐵 → ¬ 𝑃𝑈))
5049expimpd 453 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥𝑉𝑥 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃𝑈))
514, 50biimtrid 242 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃𝑈))
5251exlimdv 1933 . 2 (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 𝑘𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃𝑈))
533, 52mpd 15 1 (𝜑 → ¬ 𝑃𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wnf 1783  wcel 2108  wne 2940  wrex 3070  cdif 3948  cun 3949  cin 3950  wss 3951  c0 4333   ciun 4991  cfv 6561  (class class class)co 7431  t crest 17465  TopOnctopon 22916  Conncconn 23419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-en 8986  df-fin 8989  df-fi 9451  df-rest 17467  df-topgen 17488  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953  df-cld 23027  df-conn 23420
This theorem is referenced by:  iunconn  23436  iunconnlem2  44955
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