Theorem iunconnlem 23375

Description: Lemma for iunconn 23376. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconn.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
iunconn.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
iunconn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
iunconn.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
iunconn.7	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
iunconn.8	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
iunconn.9	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
iunconn.10	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
iunconn.11	⊢ Ⅎ𝑘𝜑

Assertion

Ref	Expression
iunconnlem	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunconnlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunconn.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
2		n0 4306	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
3	1, 2	sylib 218	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
4		elin 3918	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
5		eliun 4951	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
6		iunconn.11	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ 𝑉
8	6, 7	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)
9		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑃 ∈ 𝑈
10		iunconn.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
12		iunconn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13	12	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14		iunconn.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
16		iunconn.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
18		iunconn.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝐽)
20		simprr 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ 𝑈)
21		iunconn.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
23		inelcm 4418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑈 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
24	20, 22, 23	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
25		inelcm 4418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑉 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
26	25	ad2antrl 729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑉 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
27		iunconn.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
28	27	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
29		ssiun2 5004	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
30	29	ad2antlr 728	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
31	30	sscond 4099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵))
32	28, 31	sstrd 3945	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵))
33		inss1 4190	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑈
34		toponss 22875	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑈 ⊆ 𝑋)
35	13, 17, 34	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑋)
36	33, 35	sstrid 3946	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑋)
37		reldisj 4406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑋 → (((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵)))
39	32, 38	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅)
40		iunconn.10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
41	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
42	30, 41	sstrd 3945	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
43	13, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42	nconnsubb 23371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
44	43	expr 456	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ∈ 𝑈 → ¬ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn))
45	11, 44	mt2d 136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)
46	45	an4s 661	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)
47	46	exp32 420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)))
48	8, 9, 47	rexlimd 3244	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
49	5, 48	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
50	49	expimpd 453	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
51	4, 50	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
52	51	exlimdv 1935	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
53	3, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ∪ ciun 4947  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ↾_t crest 17344  TopOnctopon 22858  Conncconn 23359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-en 8888  df-fin 8891  df-fi 9318  df-rest 17346  df-topgen 17367  df-top 22842  df-topon 22859  df-bases 22894  df-cld 22967  df-conn 23360

This theorem is referenced by:  iunconn  23376  iunconnlem2  45242