Theorem iunconnlem 22922

Description: Lemma for iunconn 22923. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconn.2	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
iunconn.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
iunconn.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
iunconn.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
iunconn.6	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
iunconn.7	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
iunconn.8	⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
iunconn.9	⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
iunconn.10	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
iunconn.11	⊢ Ⅎ𝑘𝜑

Assertion

Ref	Expression
iunconnlem	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐽   𝑃,𝑘   𝑘,𝑋   𝑈,𝑘   𝑘,𝑉

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem iunconnlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunconn.8	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅)
2		n0 4345	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
3	1, 2	sylib 217	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
4		elin 3963	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
5		eliun 5000	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵)
6		iunconn.11	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
7		nfv 1917	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ 𝑉
8	6, 7	nfan 1902	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉)
9		nfv 1917	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑘 ¬ 𝑃 ∈ 𝑈
10		iunconn.5	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
12		iunconn.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
13	12	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
14		iunconn.3	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
15	14	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝑋)
16		iunconn.6	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽)
17	16	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐽)
18		iunconn.7	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽)
19	18	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝐽)
20		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ 𝑈)
21		iunconn.4	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
23		inelcm 4463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑈 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
24	20, 22, 23	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
25		inelcm 4463	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑉 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
26	25	ad2antrl 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑉 ∩ 𝐵) ≠ ∅)
27		iunconn.9	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
28	27	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
29		ssiun2 5049	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
30	29	ad2antlr 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)
31	30	sscond 4140	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∖ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵))
32	28, 31	sstrd 3991	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵))
33		inss1 4227	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑈
34		toponss 22420	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑈 ⊆ 𝑋)
35	13, 17, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑋)
36	33, 35	sstrid 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑋)
37		reldisj 4450	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑋 → (((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵)))
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵)))
39	32, 38	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅)
40		iunconn.10	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
42	30, 41	sstrd 3991	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉))
43	13, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42	nconnsubb 22918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)
44	43	expr 457	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ∈ 𝑈 → ¬ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn))
45	11, 44	mt2d 136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)
46	45	an4s 658	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)
47	46	exp32 421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)))
48	8, 9, 47	rexlimd 3263	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
49	5, 48	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
50	49	expimpd 454	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
51	4, 50	biimtrid 241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
52	51	exlimdv 1936	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))
53	3, 52	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  ∃wex 1781  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  ∪ ciun 4996  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ↾_t crest 17362  TopOnctopon 22403  Conncconn 22906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-en 8936  df-fin 8939  df-fi 9402  df-rest 17364  df-topgen 17385  df-top 22387  df-topon 22404  df-bases 22440  df-cld 22514  df-conn 22907

This theorem is referenced by:  iunconn  22923  iunconnlem2  43681