Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | iunconn.8 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑉 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅) |
2 | | n0 4245 |
. . 3
⊢ ((𝑉 ∩ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
3 | 1, 2 | sylib 221 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
4 | | elin 3869 |
. . . 4
⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
5 | | eliun 4895 |
. . . . . 6
⊢ (𝑥 ∈ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ↔ ∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵) |
6 | | iunconn.11 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘𝜑 |
7 | | nfv 1921 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑘 𝑥 ∈ 𝑉 |
8 | 6, 7 | nfan 1906 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) |
9 | | nfv 1921 |
. . . . . . 7
⊢
Ⅎ𝑘 ¬ 𝑃 ∈ 𝑈 |
10 | | iunconn.5 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn) |
11 | 10 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn) |
12 | | iunconn.2 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
13 | 12 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋)) |
14 | | iunconn.3 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝑋) |
15 | 14 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ 𝑋) |
16 | | iunconn.6 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐽) |
17 | 16 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ∈ 𝐽) |
18 | | iunconn.7 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ 𝐽) |
19 | 18 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑉 ∈ 𝐽) |
20 | | simprr 773 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ 𝑈) |
21 | | iunconn.4 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝑃 ∈ 𝐵) |
22 | 21 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑃 ∈ 𝐵) |
23 | | inelcm 4364 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑃 ∈ 𝑈 ∧ 𝑃 ∈ 𝐵) → (𝑈 ∩ 𝐵) ≠ ∅) |
24 | 20, 22, 23 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝐵) ≠ ∅) |
25 | | inelcm 4364 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (𝑉 ∩ 𝐵) ≠ ∅) |
26 | 25 | ad2antrl 728 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑉 ∩ 𝐵) ≠ ∅) |
27 | | iunconn.9 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
28 | 27 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)) |
29 | | ssiun2 4943 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑘 ∈ 𝐴 → 𝐵 ⊆ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
30 | 29 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) |
31 | 30 | sscond 4042 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑋 ∖ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵)) |
32 | 28, 31 | sstrd 3897 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵)) |
33 | | inss1 4129 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑈 |
34 | | toponss 21690 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑈 ⊆ 𝑋) |
35 | 13, 17, 34 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑋) |
36 | 33, 35 | sstrid 3898 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑋) |
37 | | reldisj 4351 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ 𝑋 → (((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵))) |
38 | 36, 37 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → (((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅ ↔ (𝑈 ∩ 𝑉) ⊆ (𝑋 ∖ 𝐵))) |
39 | 32, 38 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ((𝑈 ∩ 𝑉) ∩ 𝐵) = ∅) |
40 | | iunconn.10 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)) |
41 | 40 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)) |
42 | 30, 41 | sstrd 3897 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → 𝐵 ⊆ (𝑈 ∪ 𝑉)) |
43 | 13, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42 | nconnsubb 22186 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑃 ∈ 𝑈)) → ¬ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn) |
44 | 43 | expr 460 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (𝑃 ∈ 𝑈 → ¬ (𝐽 ↾t 𝐵) ∈ Conn)) |
45 | 11, 44 | mt2d 138 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈) |
46 | 45 | an4s 660 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) ∧ (𝑘 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈) |
47 | 46 | exp32 424 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈))) |
48 | 8, 9, 47 | rexlimd 3228 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (∃𝑘 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)) |
49 | 5, 48 | syl5bi 245 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → (𝑥 ∈ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)) |
50 | 49 | expimpd 457 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)) |
51 | 4, 50 | syl5bi 245 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)) |
52 | 51 | exlimdv 1940 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝑉 ∩ ∪
𝑘 ∈ 𝐴 𝐵) → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈)) |
53 | 3, 52 | mpd 15 |
1
⊢ (𝜑 → ¬ 𝑃 ∈ 𝑈) |