MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunconnlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iunconnlem 22930
Description: Lemma for iunconn 22931. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconn.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
iunconn.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
iunconn.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
iunconn.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
iunconn.6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
iunconn.7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
iunconn.8 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
iunconn.9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
iunconn.10 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
iunconn.11 β„²π‘˜πœ‘
Assertion
Ref Expression
iunconnlem (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐽   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem iunconnlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconn.8 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
2 n0 4346 . . 3 ((𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
31, 2sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
4 elin 3964 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
5 eliun 5001 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ 𝐡)
6 iunconn.11 . . . . . . . 8 β„²π‘˜πœ‘
7 nfv 1917 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ 𝑉
86, 7nfan 1902 . . . . . . 7 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)
9 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘˜ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ
10 iunconn.5 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
12 iunconn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1312ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
14 iunconn.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
1514adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
16 iunconn.6 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
1716ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
18 iunconn.7 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
1918ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
20 simprr 771 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
21 iunconn.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2221adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
23 inelcm 4464 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
2420, 22, 23syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
25 inelcm 4464 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑉 ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
2625ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑉 ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
27 iunconn.9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
2827ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
29 ssiun2 5050 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
3029ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
3130sscond 4141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐡))
3228, 31sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐡))
33 inss1 4228 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† π‘ˆ
34 toponss 22428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑋)
3513, 17, 34syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑋)
3633, 35sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† 𝑋)
37 reldisj 4451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† 𝑋 β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐡) = βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐡)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐡) = βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐡)))
3932, 38mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐡) = βˆ…)
40 iunconn.10 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
4230, 41sstrd 3992 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
4313, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42nconnsubb 22926 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
4443expr 457 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ∈ π‘ˆ β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn))
4511, 44mt2d 136 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
4645an4s 658 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
4746exp32 421 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)))
488, 9, 47rexlimd 3263 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
495, 48biimtrid 241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
5049expimpd 454 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
514, 50biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
5251exlimdv 1936 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
533, 52mpd 15 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781  β„²wnf 1785   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  βˆͺ ciun 4997  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β†Ύt crest 17365  TopOnctopon 22411  Conncconn 22914
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-en 8939  df-fin 8942  df-fi 9405  df-rest 17367  df-topgen 17388  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448  df-cld 22522  df-conn 22915
This theorem is referenced by:  iunconn  22931  iunconnlem2  43686
  Copyright terms: Public domain W3C validator