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Theorem iunconnlem 23151
Description: Lemma for iunconn 23152. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
iunconn.2 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
iunconn.3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
iunconn.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
iunconn.5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
iunconn.6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
iunconn.7 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
iunconn.8 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
iunconn.9 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
iunconn.10 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
iunconn.11 β„²π‘˜πœ‘
Assertion
Ref Expression
iunconnlem (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐽   𝑃,π‘˜   π‘˜,𝑋   π‘ˆ,π‘˜   π‘˜,𝑉
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘˜)   𝐡(π‘˜)
Proof of Theorem iunconnlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunconn.8 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ…)
2 n0 4345 . . 3 ((𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
31, 2sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
4 elin 3963 . . . 4 (π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
5 eliun 5000 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ 𝐡)
6 iunconn.11 . . . . . . . 8 β„²π‘˜πœ‘
7 nfv 1915 . . . . . . . 8 β„²π‘˜ π‘₯ ∈ 𝑉
86, 7nfan 1900 . . . . . . 7 β„²π‘˜(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉)
9 nfv 1915 . . . . . . 7 β„²π‘˜ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ
10 iunconn.5 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
12 iunconn.2 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1312ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
14 iunconn.3 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† 𝑋)
16 iunconn.6 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
1716ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝐽)
18 iunconn.7 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
1918ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑉 ∈ 𝐽)
20 simprr 769 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
21 iunconn.4 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
2221adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
23 inelcm 4463 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑃 ∈ π‘ˆ ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
2420, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
25 inelcm 4463 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) β†’ (𝑉 ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
2625ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑉 ∩ 𝐡) β‰  βˆ…)
27 iunconn.9 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
2827ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡))
29 ssiun2 5049 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
3029ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡)
3130sscond 4140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (𝑋 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐡))
3228, 31sstrd 3991 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐡))
33 inss1 4227 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† π‘ˆ
34 toponss 22649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ π‘ˆ ∈ 𝐽) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑋)
3513, 17, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑋)
3633, 35sstrid 3992 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† 𝑋)
37 reldisj 4450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† 𝑋 β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐡) = βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐡)))
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ (((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐡) = βˆ… ↔ (π‘ˆ ∩ 𝑉) βŠ† (𝑋 βˆ– 𝐡)))
3932, 38mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘ˆ ∩ 𝑉) ∩ 𝐡) = βˆ…)
40 iunconn.10 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
4230, 41sstrd 3991 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐡 βŠ† (π‘ˆ βˆͺ 𝑉))
4313, 15, 17, 19, 24, 26, 39, 42nconnsubb 23147 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ∈ π‘ˆ)) β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn)
4443expr 455 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ (𝑃 ∈ π‘ˆ β†’ Β¬ (𝐽 β†Ύt 𝐡) ∈ Conn))
4511, 44mt2d 136 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝐴) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
4645an4s 656 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐴 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
4746exp32 419 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐴 β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)))
488, 9, 47rexlimd 3261 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ 𝐴 π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
495, 48biimtrid 241 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡 β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
5049expimpd 452 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
514, 50biimtrid 241 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
5251exlimdv 1934 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ (𝑉 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ 𝐴 𝐡) β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ))
533, 52mpd 15 1 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑃 ∈ π‘ˆ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1539  βˆƒwex 1779  β„²wnf 1783   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆƒwrex 3068   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  βˆͺ ciun 4996  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   β†Ύt crest 17370  TopOnctopon 22632  Conncconn 23135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-conn 23136
This theorem is referenced by:  iunconn  23152  iunconnlem2  43998
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