Theorem uzneg 12806

Description: Contraposition law for upper integers. (Contributed by NM, 28-Nov-2005.)

Assertion

Ref	Expression
uzneg	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → -𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝑁))

Proof of Theorem uzneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzle 12799	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
2		eluzel2 12791	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		eluzelz 12796	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		zre 12526	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
5		zre 12526	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
6		leneg 11651	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ -𝑀))
7	4, 5, 6	syl2an 602	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ -𝑀))
8	2, 3, 7	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 ≤ 𝑁 ↔ -𝑁 ≤ -𝑀))
9	1, 8	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → -𝑁 ≤ -𝑀)
10		znegcl 12560	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
11		znegcl 12560	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → -𝑀 ∈ ℤ)
12		eluz 12800	. . . 4 ⊢ ((-𝑁 ∈ ℤ ∧ -𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝑁) ↔ -𝑁 ≤ -𝑀))
13	10, 11, 12	syl2an 602	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝑁) ↔ -𝑁 ≤ -𝑀))
14	3, 2, 13	syl2anc 590	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (-𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝑁) ↔ -𝑁 ≤ -𝑀))
15	9, 14	mpbird 258	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → -𝑀 ∈ (ℤ≥‘-𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  ℝcr 11035   ≤ cle 11178  -cneg 11376  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-z 12523  df-uz 12787

This theorem is referenced by:  fsum2dsub  34798