Theorem limsupcld 40716

Description: Closure of the superior limit. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Oct-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
limsupcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
limsupcld	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

Proof of Theorem limsupcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		limsupcl 14580	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ∈ ℝ*)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2166  ‘cfv 6122  ℝ^*cxr 10389  lim supclsp 14577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-limsup 14578

This theorem is referenced by:  limsuppnflem  40736  limsupre2lem  40750  limsupgtlem  40803  liminfgelimsup  40808  liminfgelimsupuz  40814  liminflimsupclim  40833  climliminflimsup  40834