Theorem liminfval4 46620

Description: Alternate definition of lim inf when the given function is eventually real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfval4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
liminfval4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfval4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfval4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
liminfval4	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfval4.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		liminfval4.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴)
5	2, 4	ssexd 5289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V)
6		liminfval4.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11286	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	1, 5, 7	liminfvalxrmpt 46617	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
9	6	rexnegd 45978	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
10	1, 9	mpteq2da 5197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵))
11	10	fveq2d 6883	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
12	11	xnegeqd 46268	. . 3 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
13	8, 12	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
14		liminfval4.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
15		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
16	14, 15, 2	liminfresicompt 46611	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	16	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
18	2, 14, 15	limsupresicompt 46587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
19	18	xnegeqd 46268	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
20	13, 17, 19	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570  Ⅎwnf 1816   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  +∞cpnf 11267  -cneg 11469  -_𝑒cxne 13163  [,)cico 13403  lim supclsp 15560  lim infclsi 46582

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-xneg 13166  df-ico 13407  df-limsup 15561  df-liminf 46583

This theorem is used by:  smfliminflem  47661