Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval4 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval4 41535
Description: Alternate definition of lim inf when the given function is eventually real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfval4.x 𝑥𝜑
liminfval4.a (𝜑𝐴𝑉)
liminfval4.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
liminfval4.b ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
liminfval4 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfval4
StepHypRef Expression
1 liminfval4.x . . . 4 𝑥𝜑
2 liminfval4.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑉)
3 inss1 4086 . . . . . 6 (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴
43a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴)
52, 4ssexd 5080 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V)
6 liminfval4.b . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ)
76rexrd 10488 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
81, 5, 7liminfvalxrmpt 41532 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
96rexnegd 40870 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -𝑒𝐵 = -𝐵)
101, 9mpteq2da 5017 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵))
1110fveq2d 6500 . . . 4 (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
1211xnegeqd 41176 . . 3 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
138, 12eqtrd 2807 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
14 liminfval4.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
15 eqid 2771 . . . 4 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
1614, 15, 2liminfresicompt 41526 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)))
1716eqcomd 2777 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
182, 14, 15limsupresicompt 41502 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
1918xnegeqd 41176 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
2013, 17, 193eqtr4d 2817 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wnf 1747  wcel 2051  Vcvv 3408  cin 3821  wss 3822  cmpt 5004  cfv 6185  (class class class)co 6974  cr 10332  +∞cpnf 10469  -cneg 10669  -𝑒cxne 12319  [,)cico 12554  lim supclsp 14686  lim infclsi 41497
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-n0 11706  df-z 11792  df-uz 12057  df-q 12161  df-xneg 12322  df-ico 12558  df-limsup 14687  df-liminf 41498
This theorem is referenced by:  smfliminflem  42569
  Copyright terms: Public domain W3C validator