Theorem liminfval4 46938

Description: Alternate definition of lim inf when the given function is eventually real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfval4.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
liminfval4.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfval4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfval4.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
liminfval4	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfval4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfval4.x	. . . 4 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		liminfval4.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inss1 4135	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴)
5	2, 4	ssexd 5289	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V)
6		liminfval4.b	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ)
7	6	rexrd 11369	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
8	1, 5, 7	liminfvalxrmpt 46935	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -e𝐵)))
9	6	rexnegd 46297	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → -e𝐵 = -𝐵)
10	1, 9	mpteq2da 5199	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -e𝐵) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵))
11	10	fveq2d 6897	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -e𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
12	11	xnegeqd 46586	. . 3 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -e𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
13	8, 12	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
14		liminfval4.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
15		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
16	14, 15, 2	liminfresicompt 46929	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
17	16	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
18	2, 14, 15	limsupresicompt 46905	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
19	18	xnegeqd 46586	. 2 ⊢ (𝜑 → -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝐵)))
20	13, 17, 19	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -e(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569  Ⅎwnf 1815   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ⊆ wss 3899   ∩ cin 4091   ↦ cmpt 5188  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  ℝcr 11209  +∞cpnf 11350   -cneg 11552   -_ecxne 13248  [,)cico 13488  lim supclsp 15649  lim infclsi 46900

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9444  df-inf 9445  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-n0 12617  df-z 12704  df-uz 12976  df-q 13086  df-xneg 13251  df-ico 13492  df-limsup 15650  df-liminf 46901

This theorem is used by:  smfliminflem  47979