Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval3 45078
Description: Alternate definition of lim inf when the given function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfval3.x β„²π‘₯πœ‘
liminfval3.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfval3.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
liminfval3.b ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfval3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝑀
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯)   𝐡(π‘₯)   𝑉(π‘₯)

Proof of Theorem liminfval3
StepHypRef Expression
1 liminfval3.x . . 3 β„²π‘₯πœ‘
2 liminfval3.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝑉)
3 inss1 4223 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) βŠ† 𝐴
43a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) βŠ† 𝐴)
52, 4ssexd 5317 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V)
6 liminfval3.b . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
71, 5, 6liminfvalxrmpt 45074 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐡)))
8 liminfval3.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
9 eqid 2726 . . . 4 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
108, 9, 2liminfresicompt 45068 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)) = (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)))
1110eqcomd 2732 . 2 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐡)))
122, 8, 9limsupresicompt 45044 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)) = (lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐡)))
1312xnegeqd 44719 . 2 (πœ‘ β†’ -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐡)))
147, 11, 133eqtr4d 2776 1 (πœ‘ β†’ (lim infβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝐡)) = -𝑒(lim supβ€˜(π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251  -𝑒cxne 13095  [,)cico 13332  lim supclsp 15420  lim infclsi 45039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-xneg 13098  df-ico 13336  df-limsup 15421  df-liminf 45040
This theorem is referenced by:  liminfvaluz  45080  liminf0  45081  limsupval4  45082
  Copyright terms: Public domain W3C validator