Theorem liminfval3 43221

Description: Alternate definition of lim inf when the given function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfval3.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
liminfval3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfval3.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfval3	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfval3.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		liminfval3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inss1 4159	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴)
5	2, 4	ssexd 5243	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V)
6		liminfval3.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	1, 5, 6	liminfvalxrmpt 43217	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
8		liminfval3.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
10	8, 9, 2	liminfresicompt 43211	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
11	10	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
12	2, 8, 9	limsupresicompt 43187	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
13	12	xnegeqd 42867	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
14	7, 11, 13	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422   ∩ cin 3882   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939  -_𝑒cxne 12774  [,)cico 13010  lim supclsp 15107  lim infclsi 43182

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-xneg 12777  df-ico 13014  df-limsup 15108  df-liminf 43183

This theorem is referenced by:  liminfvaluz  43223  liminf0  43224  limsupval4  43225