Theorem liminfval3 46218

Description: Alternate definition of lim inf when the given function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
liminfval3.x	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
liminfval3.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
liminfval3.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
liminfval3.b	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)

Assertion

Ref	Expression
liminfval3	⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		liminfval3.x	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
2		liminfval3.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inss1 4177	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴)
5	2, 4	ssexd 5265	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V)
6		liminfval3.b	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7	1, 5, 6	liminfvalxrmpt 46214	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
8		liminfval3.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
9		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
10	8, 9, 2	liminfresicompt 46208	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
11	10	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
12	2, 8, 9	limsupresicompt 46184	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
13	12	xnegeqd 45865	. 2 ⊢ (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
14	7, 11, 13	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889   ↦ cmpt 5166  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  +∞cpnf 11176  ℝ^*cxr 11178  -_𝑒cxne 13060  [,)cico 13300  lim supclsp 15432  lim infclsi 46179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-xneg 13063  df-ico 13304  df-limsup 15433  df-liminf 46180

This theorem is referenced by:  liminfvaluz  46220  liminf0  46221  limsupval4  46222