Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  liminfval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem liminfval3 44441
Description: Alternate definition of lim inf when the given function is eventually extended real-valued. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
liminfval3.x 𝑥𝜑
liminfval3.a (𝜑𝐴𝑉)
liminfval3.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
liminfval3.b ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
Assertion
Ref Expression
liminfval3 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑀
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem liminfval3
StepHypRef Expression
1 liminfval3.x . . 3 𝑥𝜑
2 liminfval3.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
3 inss1 4227 . . . . 5 (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ⊆ 𝐴)
52, 4ssexd 5323 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ∈ V)
6 liminfval3.b . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
71, 5, 6liminfvalxrmpt 44437 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
8 liminfval3.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
9 eqid 2733 . . . 4 (𝑀[,)+∞) = (𝑀[,)+∞)
108, 9, 2liminfresicompt 44431 . . 3 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)) = (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)))
1110eqcomd 2739 . 2 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = (lim inf‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ 𝐵)))
122, 8, 9limsupresicompt 44407 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
1312xnegeqd 44082 . 2 (𝜑 → -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ (𝑀[,)+∞)) ↦ -𝑒𝐵)))
147, 11, 133eqtr4d 2783 1 (𝜑 → (lim inf‘(𝑥𝐴𝐵)) = -𝑒(lim sup‘(𝑥𝐴 ↦ -𝑒𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wnf 1786  wcel 2107  Vcvv 3475  cin 3946  wss 3947  cmpt 5230  cfv 6540  (class class class)co 7404  cr 11105  +∞cpnf 11241  *cxr 11243  -𝑒cxne 13085  [,)cico 13322  lim supclsp 15410  lim infclsi 44402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-xneg 13088  df-ico 13326  df-limsup 15411  df-liminf 44403
This theorem is referenced by:  liminfvaluz  44443  liminf0  44444  limsupval4  44445
  Copyright terms: Public domain W3C validator