Theorem limsupub2 45810

Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupub2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupub2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupub2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub2.5	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupub2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupub2.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ ℝ
3	1, 2	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
4		nfv 1914	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ ℝ
5	3, 4	nfan 1899	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
6		limsupub2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7	6	ffvelcdmda 7056	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
8	7	ad5ant14 757	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
9		rexr 11220	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
10	9	ad4antlr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		pnfxr 11228	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
14		ltpnf 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
15	14	ad4antlr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
16	8, 10, 12, 13, 15	xrlelttrd 13120	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
18	17	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
19	5, 18	ralimdaa 3238	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
20	19	reximdva 3146	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
21	20	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
22		limsupub2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
23		limsupub2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
24		limsupub2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
25	1, 22, 23, 6, 24	limsupub 45702	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
26	21, 25	r19.29a 3141	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1783   ∈ wcel 2109  Ⅎwnfc 2876   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  ℝcr 11067  +∞cpnf 11205  ℝ^*cxr 11207   < clt 11208   ≤ cle 11209  lim supclsp 15436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-ico 13312  df-limsup 15437

This theorem is referenced by:  limsupubuz2  45811