Theorem limsupub2 45832

Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupub2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupub2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupub2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub2.5	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupub2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupub2.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1913	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ ℝ
3	1, 2	nfan 1898	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
4		nfv 1913	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ ℝ
5	3, 4	nfan 1898	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
6		limsupub2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7	6	ffvelcdmda 7103	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
8	7	ad5ant14 757	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
9		rexr 11308	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
10	9	ad4antlr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		pnfxr 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
14		ltpnf 13163	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
15	14	ad4antlr 733	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
16	8, 10, 12, 13, 15	xrlelttrd 13203	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
18	17	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
19	5, 18	ralimdaa 3259	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
20	19	reximdva 3167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
21	20	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
22		limsupub2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
23		limsupub2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
24		limsupub2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
25	1, 22, 23, 6, 24	limsupub 45724	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
26	21, 25	r19.29a 3161	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1782   ∈ wcel 2107  Ⅎwnfc 2889   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950   class class class wbr 5142  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  ℝcr 11155  +∞cpnf 11293  ℝ^*cxr 11295   < clt 11296   ≤ cle 11297  lim supclsp 15507

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-po 5591  df-so 5592  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-ico 13394  df-limsup 15508

This theorem is referenced by:  limsupubuz2  45833