Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub2 45100
Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub2.1 β„²π‘—πœ‘
limsupub2.2 Ⅎ𝑗𝐹
limsupub2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupub2.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
limsupub2.5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupub2.1 . . . . . . 7 β„²π‘—πœ‘
2 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗 π‘₯ ∈ ℝ
31, 2nfan 1894 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
4 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ ℝ
53, 4nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ)
6 limsupub2.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
76ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
87ad5ant14 755 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
9 rexr 11264 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
109ad4antlr 730 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 pnfxr 11272 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
14 ltpnf 13106 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
1514ad4antlr 730 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < +∞)
168, 10, 12, 13, 15xrlelttrd 13145 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)
1716ex 412 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
1817imim2d 57 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
195, 18ralimdaa 3251 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
2019reximdva 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
2120imp 406 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
22 limsupub2.2 . . 3 Ⅎ𝑗𝐹
23 limsupub2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
24 limsupub2.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
251, 22, 23, 6, 24limsupub 44992 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2621, 25r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2877   β‰  wne 2934  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064   βŠ† wss 3943   class class class wbr 5141  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  β„cr 11111  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  lim supclsp 15420
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-ico 13336  df-limsup 15421
This theorem is referenced by:  limsupubuz2  45101
  Copyright terms: Public domain W3C validator