Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub2 44139
Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub2.1 β„²π‘—πœ‘
limsupub2.2 Ⅎ𝑗𝐹
limsupub2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupub2.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
limsupub2.5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupub2.1 . . . . . . 7 β„²π‘—πœ‘
2 nfv 1918 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗 π‘₯ ∈ ℝ
31, 2nfan 1903 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
4 nfv 1918 . . . . . 6 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ ℝ
53, 4nfan 1903 . . . . 5 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ)
6 limsupub2.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
76ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
87ad5ant14 757 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
9 rexr 11206 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
109ad4antlr 732 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 pnfxr 11214 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 486 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
14 ltpnf 13046 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
1514ad4antlr 732 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < +∞)
168, 10, 12, 13, 15xrlelttrd 13085 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)
1716ex 414 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
1817imim2d 57 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
195, 18ralimdaa 3242 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
2019reximdva 3162 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
2120imp 408 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
22 limsupub2.2 . . 3 Ⅎ𝑗𝐹
23 limsupub2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
24 limsupub2.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
251, 22, 23, 6, 24limsupub 44031 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2621, 25r19.29a 3156 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397  β„²wnf 1786   ∈ wcel 2107  β„²wnfc 2884   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3911   class class class wbr 5106  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  β„cr 11055  +∞cpnf 11191  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195  lim supclsp 15358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9383  df-inf 9384  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-ico 13276  df-limsup 15359
This theorem is referenced by:  limsupubuz2  44140
  Copyright terms: Public domain W3C validator