Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub2 43028
Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub2.1 𝑗𝜑
limsupub2.2 𝑗𝐹
limsupub2.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub2.4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub2.5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupub2.1 . . . . . . 7 𝑗𝜑
2 nfv 1922 . . . . . . 7 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
31, 2nfan 1907 . . . . . 6 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
4 nfv 1922 . . . . . 6 𝑗 𝑘 ∈ ℝ
53, 4nfan 1907 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
6 limsupub2.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
76ffvelrnda 6904 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
87ad5ant14 758 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
9 rexr 10879 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109ad4antlr 733 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11 pnfxr 10887 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 488 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
14 ltpnf 12712 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
1514ad4antlr 733 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
168, 10, 12, 13, 15xrlelttrd 12750 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) < +∞)
1716ex 416 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑗) < +∞))
1817imim2d 57 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
195, 18ralimdaa 3138 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
2019reximdva 3193 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
2120imp 410 . 2 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
22 limsupub2.2 . . 3 𝑗𝐹
23 limsupub2.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
24 limsupub2.5 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
251, 22, 23, 6, 24limsupub 42920 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2621, 25r19.29a 3208 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wnf 1791  wcel 2110  wnfc 2884  wne 2940  wral 3061  wrex 3062  wss 3866   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  cr 10728  +∞cpnf 10864  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868  lim supclsp 15031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-id 5455  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-ico 12941  df-limsup 15032
This theorem is referenced by:  limsupubuz2  43029
  Copyright terms: Public domain W3C validator