Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub2 41558
Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub2.1 𝑗𝜑
limsupub2.2 𝑗𝐹
limsupub2.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub2.4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub2.5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupub2.1 . . . . . . 7 𝑗𝜑
2 nfv 1874 . . . . . . 7 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
31, 2nfan 1863 . . . . . 6 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
4 nfv 1874 . . . . . 6 𝑗 𝑘 ∈ ℝ
53, 4nfan 1863 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
6 limsupub2.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
76ffvelrnda 6674 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
87ad5ant14 746 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
9 rexr 10484 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109ad4antlr 721 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11 pnfxr 10492 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 477 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
14 ltpnf 12330 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
1514ad4antlr 721 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
168, 10, 12, 13, 15xrlelttrd 12368 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) < +∞)
1716ex 405 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑗) < +∞))
1817imim2d 57 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
195, 18ralimdaa 3160 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
2019reximdva 3212 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
2120imp 398 . 2 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
22 limsupub2.2 . . 3 𝑗𝐹
23 limsupub2.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
24 limsupub2.5 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
251, 22, 23, 6, 24limsupub 41450 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2621, 25r19.29a 3227 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wnf 1747  wcel 2051  wnfc 2909  wne 2960  wral 3081  wrex 3082  wss 3822   class class class wbr 4925  wf 6181  cfv 6185  cr 10332  +∞cpnf 10469  *cxr 10471   < clt 10472  cle 10473  lim supclsp 14686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-sup 8699  df-inf 8700  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-ico 12558  df-limsup 14687
This theorem is referenced by:  limsupubuz2  41559
  Copyright terms: Public domain W3C validator