Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub2 45263
Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub2.1 β„²π‘—πœ‘
limsupub2.2 Ⅎ𝑗𝐹
limsupub2.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
limsupub2.4 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
limsupub2.5 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐹   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupub2.1 . . . . . . 7 β„²π‘—πœ‘
2 nfv 1909 . . . . . . 7 Ⅎ𝑗 π‘₯ ∈ ℝ
31, 2nfan 1894 . . . . . 6 Ⅎ𝑗(πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)
4 nfv 1909 . . . . . 6 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ ℝ
53, 4nfan 1894 . . . . 5 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ)
6 limsupub2.4 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„*)
76ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
87ad5ant14 756 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ∈ ℝ*)
9 rexr 11290 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
109ad4antlr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
11 pnfxr 11298 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 483 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)
14 ltpnf 13132 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ < +∞)
1514ad4antlr 731 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ < +∞)
168, 10, 12, 13, 15xrlelttrd 13171 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)
1716ex 411 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯ β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
1817imim2d 57 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) β†’ ((π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
195, 18ralimdaa 3248 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
2019reximdva 3158 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞)))
2120imp 405 . 2 (((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
22 limsupub2.2 . . 3 Ⅎ𝑗𝐹
23 limsupub2.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
24 limsupub2.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (lim supβ€˜πΉ) β‰  +∞)
251, 22, 23, 6, 24limsupub 45155 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) ≀ π‘₯))
2621, 25r19.29a 3152 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ ℝ βˆ€π‘— ∈ 𝐴 (π‘˜ ≀ 𝑗 β†’ (πΉβ€˜π‘—) < +∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394  β„²wnf 1777   ∈ wcel 2098  β„²wnfc 2875   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060   βŠ† wss 3939   class class class wbr 5143  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  β„cr 11137  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  lim supclsp 15446
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-ico 13362  df-limsup 15447
This theorem is referenced by:  limsupubuz2  45264
  Copyright terms: Public domain W3C validator