Theorem limsupub2 43243

Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupub2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupub2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupub2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub2.5	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupub2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupub2.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1918	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ ℝ
3	1, 2	nfan 1903	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
4		nfv 1918	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ ℝ
5	3, 4	nfan 1903	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
6		limsupub2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7	6	ffvelrnda 6943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
8	7	ad5ant14 754	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
9		rexr 10952	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
10	9	ad4antlr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		pnfxr 10960	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
14		ltpnf 12785	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
15	14	ad4antlr 729	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
16	8, 10, 12, 13, 15	xrlelttrd 12823	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
17	16	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
18	17	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
19	5, 18	ralimdaa 3140	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
20	19	reximdva 3202	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
21	20	imp 406	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
22		limsupub2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
23		limsupub2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
24		limsupub2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
25	1, 22, 23, 6, 24	limsupub 43135	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
26	21, 25	r19.29a 3217	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395  Ⅎwnf 1787   ∈ wcel 2108  Ⅎwnfc 2886   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070  ⟶wf 6414  ‘cfv 6418  ℝcr 10801  +∞cpnf 10937  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  lim supclsp 15107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-ico 13014  df-limsup 15108

This theorem is referenced by:  limsupubuz2  43244