Theorem limsupub2 45263

Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupub2.1	⊢ Ⅎ𝑗𝜑
limsupub2.2	⊢ Ⅎ𝑗𝐹
limsupub2.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub2.4	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub2.5	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupub2	⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupub2.1	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗𝜑
2		nfv 1909	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑥 ∈ ℝ
3	1, 2	nfan 1894	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗(𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)
4		nfv 1909	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ ℝ
5	3, 4	nfan 1894	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
6		limsupub2.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℝ*)
7	6	ffvelcdmda 7089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
8	7	ad5ant14 756	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ∈ ℝ*)
9		rexr 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
10	9	ad4antlr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11		pnfxr 11298	. . . . . . . . 9 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
12	11	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
13		simpr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)
14		ltpnf 13132	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
15	14	ad4antlr 731	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
16	8, 10, 12, 13, 15	xrlelttrd 13171	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) ∧ (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹‘𝑗) < +∞)
17	16	ex 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
18	17	imim2d 57	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐴) → ((𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
19	5, 18	ralimdaa 3248	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
20	19	reximdva 3158	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞)))
21	20	imp 405	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))
22		limsupub2.2	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑗𝐹
23		limsupub2.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℝ)
24		limsupub2.5	. . 3 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
25	1, 22, 23, 6, 24	limsupub 45155	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) ≤ 𝑥))
26	21, 25	r19.29a 3152	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ 𝐴 (𝑘 ≤ 𝑗 → (𝐹‘𝑗) < +∞))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394  Ⅎwnf 1777   ∈ wcel 2098  Ⅎwnfc 2875   ≠ wne 2930  ∀wral 3051  ∃wrex 3060   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5143  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  ℝcr 11137  +∞cpnf 11275  ℝ^*cxr 11277   < clt 11278   ≤ cle 11279  lim supclsp 15446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-ico 13362  df-limsup 15447

This theorem is referenced by:  limsupubuz2  45264