Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupub2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupub2 42622
 Description: A extended real valued function, with limsup that is not +∞, is eventually less than +∞. (Contributed by Glauco Siliprandi, 23-Apr-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupub2.1 𝑗𝜑
limsupub2.2 𝑗𝐹
limsupub2.3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
limsupub2.4 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
limsupub2.5 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
Assertion
Ref Expression
limsupub2 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑘   𝑘,𝐹   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗)   𝐹(𝑗)

Proof of Theorem limsupub2
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limsupub2.1 . . . . . . 7 𝑗𝜑
2 nfv 1915 . . . . . . 7 𝑗 𝑥 ∈ ℝ
31, 2nfan 1900 . . . . . 6 𝑗(𝜑𝑥 ∈ ℝ)
4 nfv 1915 . . . . . 6 𝑗 𝑘 ∈ ℝ
53, 4nfan 1900 . . . . 5 𝑗((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ)
6 limsupub2.4 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℝ*)
76ffvelrnda 6838 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗𝐴) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
87ad5ant14 757 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ∈ ℝ*)
9 rexr 10694 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
109ad4antlr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
11 pnfxr 10702 . . . . . . . . 9 +∞ ∈ ℝ*
1211a1i 11 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → +∞ ∈ ℝ*)
13 simpr 488 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)
14 ltpnf 12523 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 < +∞)
1514ad4antlr 732 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → 𝑥 < +∞)
168, 10, 12, 13, 15xrlelttrd 12561 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) ∧ (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑗) < +∞)
1716ex 416 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝐹𝑗) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑗) < +∞))
1817imim2d 57 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) ∧ 𝑗𝐴) → ((𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
195, 18ralimdaa 3181 . . . 4 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
2019reximdva 3234 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞)))
2120imp 410 . 2 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ) ∧ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
22 limsupub2.2 . . 3 𝑗𝐹
23 limsupub2.3 . . 3 (𝜑𝐴 ⊆ ℝ)
24 limsupub2.5 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝐹) ≠ +∞)
251, 22, 23, 6, 24limsupub 42514 . 2 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) ≤ 𝑥))
2621, 25r19.29a 3249 1 (𝜑 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗𝐴 (𝑘𝑗 → (𝐹𝑗) < +∞))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399  Ⅎwnf 1785   ∈ wcel 2111  Ⅎwnfc 2936   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5034  ⟶wf 6328  ‘cfv 6332  ℝcr 10543  +∞cpnf 10679  ℝ*cxr 10681   < clt 10682   ≤ cle 10683  lim supclsp 14839 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-id 5429  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-sup 8908  df-inf 8909  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-ico 12752  df-limsup 14840 This theorem is referenced by:  limsupubuz2  42623
 Copyright terms: Public domain W3C validator