Theorem lmodvsubcl 20994

Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 31274 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20954	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvsubcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4	2, 3	grpsubcl 19074	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1179	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  Grpcgrp 18988  -_gcsg 18990  LModclmod 20947

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-0g 17482  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-lmod 20949

This theorem is referenced by:  lspsnsub  21094  lvecvscan  21201  ip2subdi  21751  ip2eq  21760  ipcau2  25350  nmparlem  25355  minveclem1  25540  minveclem2  25542  minveclem4  25548  minveclem6  25550  pjthlem1  25553  pjthlem2  25554  eqlkr  39730  lkrlsp  39733  mapdpglem1  42303  mapdpglem2  42304  mapdpglem5N  42308  mapdpglem8  42310  mapdpglem9  42311  mapdpglem13  42315  mapdpglem14  42316  mapdpglem27  42330  baerlem3lem2  42341  baerlem5alem2  42342  baerlem5blem2  42343  mapdheq4lem  42362  mapdh6lem1N  42364  mapdh6lem2N  42365  hdmap1l6lem1  42438  hdmap1l6lem2  42439  hdmap11  42479  hdmapinvlem4  42552