Theorem lmodvsubcl 20149

Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 29358 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20111	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvsubcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4	2, 3	grpsubcl 18636	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1161	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  Grpcgrp 18558  -_gcsg 18560  LModclmod 20104

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-lmod 20106

This theorem is referenced by:  lspsnsub  20250  lvecvscan  20354  ip2subdi  20830  ip2eq  20839  ipcau2  24379  nmparlem  24384  minveclem1  24569  minveclem2  24571  minveclem4  24577  minveclem6  24579  pjthlem1  24582  pjthlem2  24583  eqlkr  37092  lkrlsp  37095  mapdpglem1  39665  mapdpglem2  39666  mapdpglem5N  39670  mapdpglem8  39672  mapdpglem9  39673  mapdpglem13  39677  mapdpglem14  39678  mapdpglem27  39692  baerlem3lem2  39703  baerlem5alem2  39704  baerlem5blem2  39705  mapdheq4lem  39724  mapdh6lem1N  39726  mapdh6lem2N  39727  hdmap1l6lem1  39800  hdmap1l6lem2  39801  hdmap11  39841  hdmapinvlem4  39914