Theorem lmodvsubcl 20898

Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 31107 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20858	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvsubcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4	2, 3	grpsubcl 18988	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1169	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  Basecbs 17171  Grpcgrp 18901  -_gcsg 18903  LModclmod 20851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-sbg 18906  df-lmod 20853

This theorem is referenced by:  lspsnsub  20998  lvecvscan  21105  ip2subdi  21620  ip2eq  21629  ipcau2  25220  nmparlem  25225  minveclem1  25410  minveclem2  25412  minveclem4  25418  minveclem6  25420  pjthlem1  25423  pjthlem2  25424  eqlkr  39600  lkrlsp  39603  mapdpglem1  42173  mapdpglem2  42174  mapdpglem5N  42178  mapdpglem8  42180  mapdpglem9  42181  mapdpglem13  42185  mapdpglem14  42186  mapdpglem27  42200  baerlem3lem2  42211  baerlem5alem2  42212  baerlem5blem2  42213  mapdheq4lem  42232  mapdh6lem1N  42234  mapdh6lem2N  42235  hdmap1l6lem1  42308  hdmap1l6lem2  42309  hdmap11  42349  hdmapinvlem4  42422