Theorem lmodvsubcl 20869

Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 31003 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20829	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvsubcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4	2, 3	grpsubcl 19008	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923  LModclmod 20822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-lmod 20824

This theorem is referenced by:  lspsnsub  20969  lvecvscan  21077  ip2subdi  21609  ip2eq  21618  ipcau2  25191  nmparlem  25196  minveclem1  25381  minveclem2  25383  minveclem4  25389  minveclem6  25391  pjthlem1  25394  pjthlem2  25395  eqlkr  39122  lkrlsp  39125  mapdpglem1  41696  mapdpglem2  41697  mapdpglem5N  41701  mapdpglem8  41703  mapdpglem9  41704  mapdpglem13  41708  mapdpglem14  41709  mapdpglem27  41723  baerlem3lem2  41734  baerlem5alem2  41735  baerlem5blem2  41736  mapdheq4lem  41755  mapdh6lem1N  41757  mapdh6lem2N  41758  hdmap1l6lem1  41831  hdmap1l6lem2  41832  hdmap11  41872  hdmapinvlem4  41945