Theorem lmodvsubcl 20893

Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 31103 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodvsubcl.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodvsubcl	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodgrp 20853	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2		lmodvsubcl.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
3		lmodvsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑊)
4	2, 3	grpsubcl 18987	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
5	1, 4	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902  LModclmod 20846

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-lmod 20848

This theorem is referenced by:  lspsnsub  20993  lvecvscan  21101  ip2subdi  21634  ip2eq  21643  ipcau2  25211  nmparlem  25216  minveclem1  25401  minveclem2  25403  minveclem4  25409  minveclem6  25411  pjthlem1  25414  pjthlem2  25415  eqlkr  39559  lkrlsp  39562  mapdpglem1  42132  mapdpglem2  42133  mapdpglem5N  42137  mapdpglem8  42139  mapdpglem9  42140  mapdpglem13  42144  mapdpglem14  42145  mapdpglem27  42159  baerlem3lem2  42170  baerlem5alem2  42171  baerlem5blem2  42172  mapdheq4lem  42191  mapdh6lem1N  42193  mapdh6lem2N  42194  hdmap1l6lem1  42267  hdmap1l6lem2  42268  hdmap11  42308  hdmapinvlem4  42381