MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmodvsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmodvsubcl 19671
Description: Closure of vector subtraction. (hvsubcl 28786 analog.) (Contributed by NM, 31-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lmodvsubcl.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lmodvsubcl.m = (-g𝑊)
Assertion
Ref Expression
lmodvsubcl ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)

Proof of Theorem lmodvsubcl
StepHypRef Expression
1 lmodgrp 19633 . 2 (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
2 lmodvsubcl.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
3 lmodvsubcl.m . . 3 = (-g𝑊)
42, 3grpsubcl 18171 . 2 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
51, 4syl3an1 1157 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097  LModclmod 19626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-lmod 19628
This theorem is referenced by:  lspsnsub  19771  lvecvscan  19875  ip2subdi  20780  ip2eq  20789  ipcau2  23829  nmparlem  23834  minveclem1  24019  minveclem2  24021  minveclem4  24027  minveclem6  24029  pjthlem1  24032  pjthlem2  24033  eqlkr  36222  lkrlsp  36225  mapdpglem1  38795  mapdpglem2  38796  mapdpglem5N  38800  mapdpglem8  38802  mapdpglem9  38803  mapdpglem13  38807  mapdpglem14  38808  mapdpglem27  38822  baerlem3lem2  38833  baerlem5alem2  38834  baerlem5blem2  38835  mapdheq4lem  38854  mapdh6lem1N  38856  mapdh6lem2N  38857  hdmap1l6lem1  38930  hdmap1l6lem2  38931  hdmap11  38971  hdmapinvlem4  39044
  Copyright terms: Public domain W3C validator