Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem9 41209
Description: Lemma for mapdpg 41235. Baer p. 45, line 4: "...so that x would consequently belong to Fy." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpglem3.te (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpglem3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdpglem4.jt (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
mapdpglem4.z 0 = (0gβ€˜π΄)
mapdpglem4.g4 (πœ‘ β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
mapdpglem4.z4 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))
mapdpglem4.t4 (πœ‘ β†’ 𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝑄)
mapdpglem4.g0 (πœ‘ β†’ 𝑔 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem9 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
Distinct variable groups:   𝑑, βˆ’   𝑑,𝐢   𝑑,𝐽   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ   𝐡,𝑔   𝑧,𝑔,𝐢   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   Β· ,𝑔,𝑧   𝑔,π‘Œ,𝑧,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐡(𝑧,𝑑)   βŠ• (𝑧,𝑑,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑑,𝑔)   𝑅(𝑑)   Β· (𝑑)   π‘ˆ(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐻(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑑,𝑔)   βˆ’ (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑑,𝑔)   π‘Š(𝑧,𝑑,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑑,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem9
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdpglem.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdpglem.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40639 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 mapdpglem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 mapdpglem.y . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
8 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘ˆ) = (+gβ€˜π‘ˆ)
9 mapdpglem.s . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
107, 8, 9lmodvnpcan 20803 . . 3 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ)(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = 𝑋)
114, 5, 6, 10syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ)(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) = 𝑋)
12 eqid 2725 . . . . 5 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
13 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
147, 12, 13lspsncl 20865 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
154, 6, 14syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
16 mapdpglem.m . . . . 5 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
17 mapdpglem.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 mapdpglem1.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
19 mapdpglem2.j . . . . 5 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
20 mapdpglem3.f . . . . 5 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
21 mapdpglem3.te . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
22 mapdpglem3.a . . . . 5 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
23 mapdpglem3.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
24 mapdpglem3.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
25 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
26 mapdpglem3.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
27 mapdpglem3.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
28 mapdpglem4.q . . . . 5 𝑄 = (0gβ€˜π‘ˆ)
29 mapdpglem.ne . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
30 mapdpglem4.jt . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
31 mapdpglem4.z . . . . 5 0 = (0gβ€˜π΄)
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
35 mapdpglem4.xn . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝑄)
36 mapdpglem4.g0 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑔 = 0 )
371, 16, 2, 7, 9, 13, 17, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem8 41208 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ† (π‘β€˜{π‘Œ}))
387, 9lmodvsubcl 20794 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
394, 5, 6, 38syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
407, 13lspsnid 20881 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}))
414, 39, 40syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}))
4237, 41sseldd 3973 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
437, 13lspsnid 20881 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
444, 6, 43syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
458, 12lssvacl 20831 . . 3 (((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) ∧ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∧ π‘Œ ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))) β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ)(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
464, 15, 42, 44, 45syl22anc 837 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ π‘Œ)(+gβ€˜π‘ˆ)π‘Œ) ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
4711, 46eqeltrrd 2826 1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π‘β€˜{π‘Œ}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  -gcsg 18896  LSSumclsm 19593  LModclmod 20747  LSubSpclss 20819  LSpanclspn 20859  HLchlt 38878  LHypclh 39513  DVecHcdvh 40607  LCDualclcd 41115  mapdcmpd 41153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-riotaBAD 38481
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-undef 8277  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-0g 17422  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-p1 18417  df-lat 18423  df-clat 18490  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-oppg 19301  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-dvr 20344  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-lvec 20992  df-lsatoms 38504  df-lshyp 38505  df-lcv 38547  df-lfl 38586  df-lkr 38614  df-ldual 38652  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-llines 39027  df-lplanes 39028  df-lvols 39029  df-lines 39030  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325  df-lhyp 39517  df-laut 39518  df-ldil 39633  df-ltrn 39634  df-trl 39688  df-tgrp 40272  df-tendo 40284  df-edring 40286  df-dveca 40532  df-disoa 40558  df-dvech 40608  df-dib 40668  df-dic 40702  df-dih 40758  df-doch 40877  df-djh 40924  df-lcdual 41116  df-mapd 41154
This theorem is referenced by:  mapdpglem10  41210
  Copyright terms: Public domain W3C validator