Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem9 41153
Description: Lemma for mapdpg 41179. Baer p. 45, line 4: "...so that x would consequently belong to Fy." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem4.g0 (𝜑𝑔 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem9
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40583 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
6 mapdpglem.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
7 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2728 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
9 mapdpglem.s . . . 4 = (-g𝑈)
107, 8, 9lmodvnpcan 20799 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 𝑌)(+g𝑈)𝑌) = 𝑋)
114, 5, 6, 10syl3anc 1369 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌)(+g𝑈)𝑌) = 𝑋)
12 eqid 2728 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
147, 12, 13lspsncl 20861 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
154, 6, 14syl2anc 583 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16 mapdpglem.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
17 mapdpglem.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
18 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
19 mapdpglem2.j . . . . 5 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20 mapdpglem3.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
21 mapdpglem3.te . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22 mapdpglem3.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
23 mapdpglem3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
24 mapdpglem3.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
25 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
26 mapdpglem3.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
27 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
28 mapdpglem4.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑈)
29 mapdpglem.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 mapdpglem4.jt . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
31 mapdpglem4.z . . . . 5 0 = (0g𝐴)
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
35 mapdpglem4.xn . . . . 5 (𝜑𝑋𝑄)
36 mapdpglem4.g0 . . . . 5 (𝜑𝑔 = 0 )
371, 16, 2, 7, 9, 13, 17, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem8 41152 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
387, 9lmodvsubcl 20790 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
394, 5, 6, 38syl3anc 1369 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
407, 13lspsnid 20877 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
414, 39, 40syl2anc 583 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
4237, 41sseldd 3981 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
437, 13lspsnid 20877 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
444, 6, 43syl2anc 583 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
458, 12lssvacl 20827 . . 3 (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → ((𝑋 𝑌)(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
464, 15, 42, 44, 45syl22anc 838 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌)(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
4711, 46eqeltrrd 2830 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  {csn 4629  cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17180  +gcplusg 17233  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237  0gc0g 17421  -gcsg 18892  LSSumclsm 19589  LModclmod 20743  LSubSpclss 20815  LSpanclspn 20855  HLchlt 38822  LHypclh 39457  DVecHcdvh 40551  LCDualclcd 41059  mapdcmpd 41097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-riotaBAD 38425
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-0g 17423  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-proset 18287  df-poset 18305  df-plt 18322  df-lub 18338  df-glb 18339  df-join 18340  df-meet 18341  df-p0 18417  df-p1 18418  df-lat 18424  df-clat 18491  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-subg 19078  df-cntz 19268  df-oppg 19297  df-lsm 19591  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-ring 20175  df-oppr 20273  df-dvdsr 20296  df-unit 20297  df-invr 20327  df-dvr 20340  df-drng 20626  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-lvec 20988  df-lsatoms 38448  df-lshyp 38449  df-lcv 38491  df-lfl 38530  df-lkr 38558  df-ldual 38596  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-llines 38971  df-lplanes 38972  df-lvols 38973  df-lines 38974  df-psubsp 38976  df-pmap 38977  df-padd 39269  df-lhyp 39461  df-laut 39462  df-ldil 39577  df-ltrn 39578  df-trl 39632  df-tgrp 40216  df-tendo 40228  df-edring 40230  df-dveca 40476  df-disoa 40502  df-dvech 40552  df-dib 40612  df-dic 40646  df-dih 40702  df-doch 40821  df-djh 40868  df-lcdual 41060  df-mapd 41098
This theorem is referenced by:  mapdpglem10  41154
  Copyright terms: Public domain W3C validator