Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem9 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem9 38683
Description: Lemma for mapdpg 38709. Baer p. 45, line 4: "...so that x would consequently belong to Fy." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem4.g0 (𝜑𝑔 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem9 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem9
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 38113 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
6 mapdpglem.y . . 3 (𝜑𝑌𝑉)
7 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 eqid 2826 . . . 4 (+g𝑈) = (+g𝑈)
9 mapdpglem.s . . . 4 = (-g𝑈)
107, 8, 9lmodvnpcan 19608 . . 3 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → ((𝑋 𝑌)(+g𝑈)𝑌) = 𝑋)
114, 5, 6, 10syl3anc 1365 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌)(+g𝑈)𝑌) = 𝑋)
12 eqid 2826 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
13 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
147, 12, 13lspsncl 19669 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
154, 6, 14syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16 mapdpglem.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
17 mapdpglem.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
18 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
19 mapdpglem2.j . . . . 5 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
20 mapdpglem3.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
21 mapdpglem3.te . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
22 mapdpglem3.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
23 mapdpglem3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
24 mapdpglem3.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
25 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
26 mapdpglem3.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
27 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
28 mapdpglem4.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑈)
29 mapdpglem.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
30 mapdpglem4.jt . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
31 mapdpglem4.z . . . . 5 0 = (0g𝐴)
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
35 mapdpglem4.xn . . . . 5 (𝜑𝑋𝑄)
36 mapdpglem4.g0 . . . . 5 (𝜑𝑔 = 0 )
371, 16, 2, 7, 9, 13, 17, 3, 5, 6, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem8 38682 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
387, 9lmodvsubcl 19599 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
394, 5, 6, 38syl3anc 1365 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
407, 13lspsnid 19685 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
414, 39, 40syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))
4237, 41sseldd 3972 . . 3 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
437, 13lspsnid 19685 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
444, 6, 43syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
458, 12lssvacl 19646 . . 3 (((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}) ∧ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑌}))) → ((𝑋 𝑌)(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
464, 15, 42, 44, 45syl22anc 836 . 2 (𝜑 → ((𝑋 𝑌)(+g𝑈)𝑌) ∈ (𝑁‘{𝑌}))
4711, 46eqeltrrd 2919 1 (𝜑𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  {csn 4564  cfv 6352  (class class class)co 7148  Basecbs 16473  +gcplusg 16555  Scalarcsca 16558   ·𝑠 cvsca 16559  0gc0g 16703  -gcsg 18035  LSSumclsm 18679  LModclmod 19554  LSubSpclss 19623  LSpanclspn 19663  HLchlt 36353  LHypclh 36987  DVecHcdvh 38081  LCDualclcd 38589  mapdcmpd 38627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-riotaBAD 35956
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-tpos 7883  df-undef 7930  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-5 11692  df-6 11693  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-struct 16475  df-ndx 16476  df-slot 16477  df-base 16479  df-sets 16480  df-ress 16481  df-plusg 16568  df-mulr 16569  df-sca 16571  df-vsca 16572  df-0g 16705  df-mre 16847  df-mrc 16848  df-acs 16850  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-p1 17640  df-lat 17646  df-clat 17708  df-mgm 17842  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-submnd 17945  df-grp 18036  df-minusg 18037  df-sbg 18038  df-subg 18206  df-cntz 18377  df-oppg 18404  df-lsm 18681  df-cmn 18828  df-abl 18829  df-mgp 19160  df-ur 19172  df-ring 19219  df-oppr 19293  df-dvdsr 19311  df-unit 19312  df-invr 19342  df-dvr 19353  df-drng 19424  df-lmod 19556  df-lss 19624  df-lsp 19664  df-lvec 19795  df-lsatoms 35979  df-lshyp 35980  df-lcv 36022  df-lfl 36061  df-lkr 36089  df-ldual 36127  df-oposet 36179  df-ol 36181  df-oml 36182  df-covers 36269  df-ats 36270  df-atl 36301  df-cvlat 36325  df-hlat 36354  df-llines 36501  df-lplanes 36502  df-lvols 36503  df-lines 36504  df-psubsp 36506  df-pmap 36507  df-padd 36799  df-lhyp 36991  df-laut 36992  df-ldil 37107  df-ltrn 37108  df-trl 37162  df-tgrp 37746  df-tendo 37758  df-edring 37760  df-dveca 38006  df-disoa 38032  df-dvech 38082  df-dib 38142  df-dic 38176  df-dih 38232  df-doch 38351  df-djh 38398  df-lcdual 38590  df-mapd 38628
This theorem is referenced by:  mapdpglem10  38684
  Copyright terms: Public domain W3C validator