Theorem mapdpglem13 41189

Description: Lemma for mapdpg 41211. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.g0	⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem13	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem13

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem4.jt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3		mapdpglem2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
4		mapdpglem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdpglem.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdpglem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	lcdlmod 41097	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
8		mapdpglem.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
11	4, 9, 6	dvhlmod 40615	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
12		mapdpglem.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
13		mapdpglem.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
14		mapdpglem.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	13, 10, 14	lspsncl 20868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	11, 12, 15	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	4, 8, 9, 10, 5, 2, 6, 16	mapdcl2 41161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
18		mapdpglem.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
19		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
20		mapdpglem1.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
21		mapdpglem3.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
22		mapdpglem3.te	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
23		mapdpglem3.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
24		mapdpglem3.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
25		mapdpglem3.t	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
26		mapdpglem3.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
27		mapdpglem3.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
28		mapdpglem3.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
29		mapdpglem4.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
30		mapdpglem.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
31		mapdpglem4.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
32		mapdpglem4.g4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
33		mapdpglem4.z4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
34		mapdpglem4.t4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
35		mapdpglem4.xn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
36		mapdpglem12.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
37		mapdpglem12.g0	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑧 = (0g‘𝐶))
38	4, 8, 9, 13, 18, 14, 5, 6, 12, 19, 20, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 1, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	mapdpglem12 41188	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
39	2, 3, 7, 17, 38	lspsnel5a 20887	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝑡}) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
40	1, 39	eqsstrd 4020	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
41	13, 18	lmodvsubcl 20797	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
42	11, 12, 19, 41	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
43	13, 10, 14	lspsncl 20868	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
44	11, 42, 43	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
45	4, 9, 10, 8, 6, 44, 16	mapdord 41143	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
46	40, 45	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937   ⊆ wss 3949  {csn 4632  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243   ·_𝑠 cvsca 17244  0_gc0g 17428  -_gcsg 18899  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  LCDualclcd 41091  mapdcmpd 41129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lshyp 38481  df-lcv 38523  df-lfl 38562  df-lkr 38590  df-ldual 38628  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tgrp 40248  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-dveca 40508  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853  df-djh 40900  df-lcdual 41092  df-mapd 41130

This theorem is referenced by:  mapdpglem14  41190