Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem13 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem13 40079
Description: Lemma for mapdpg 40101. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem12.g0 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem13 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem13
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 eqid 2738 . . . 4 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3 mapdpglem2.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
4 mapdpglem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 mapdpglem.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdpglem.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6lcdlmod 39987 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
8 mapdpglem.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpglem.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2738 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
114, 9, 6dvhlmod 39505 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
13 mapdpglem.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
14 mapdpglem.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1513, 10, 14lspsncl 20391 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1611, 12, 15syl2anc 585 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
174, 8, 9, 10, 5, 2, 6, 16mapdcl2 40051 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
18 mapdpglem.s . . . . 5 = (-g𝑈)
19 mapdpglem.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
20 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
21 mapdpglem3.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
22 mapdpglem3.te . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
23 mapdpglem3.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
24 mapdpglem3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
25 mapdpglem3.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
26 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
27 mapdpglem3.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
28 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
29 mapdpglem4.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑈)
30 mapdpglem.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
31 mapdpglem4.z . . . . 5 0 = (0g𝐴)
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
35 mapdpglem4.xn . . . . 5 (𝜑𝑋𝑄)
36 mapdpglem12.yn . . . . 5 (𝜑𝑌𝑄)
37 mapdpglem12.g0 . . . . 5 (𝜑𝑧 = (0g𝐶))
384, 8, 9, 13, 18, 14, 5, 6, 12, 19, 20, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 1, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37mapdpglem12 40078 . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
392, 3, 7, 17, 38lspsnel5a 20410 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝑡}) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
401, 39eqsstrd 3981 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})))
4113, 18lmodvsubcl 20320 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
4211, 12, 19, 41syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
4313, 10, 14lspsncl 20391 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4411, 42, 43syl2anc 585 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
454, 9, 10, 8, 6, 44, 16mapdord 40033 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ↔ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋})))
4640, 45mpbid 231 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wss 3909  {csn 4585  cfv 6494  (class class class)co 7352  Basecbs 17043  Scalarcsca 17096   ·𝑠 cvsca 17097  0gc0g 17281  -gcsg 18710  LSSumclsm 19375  LModclmod 20275  LSubSpclss 20345  LSpanclspn 20385  HLchlt 37744  LHypclh 38379  DVecHcdvh 39473  LCDualclcd 39981  mapdcmpd 40019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087  ax-riotaBAD 37347
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-tpos 8150  df-undef 8197  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8607  df-map 8726  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-fin 8846  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-4 12177  df-5 12178  df-6 12179  df-n0 12373  df-z 12459  df-uz 12723  df-fz 13380  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-0g 17283  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-proset 18144  df-poset 18162  df-plt 18179  df-lub 18195  df-glb 18196  df-join 18197  df-meet 18198  df-p0 18274  df-p1 18275  df-lat 18281  df-clat 18348  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-submnd 18562  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-subg 18884  df-cntz 19056  df-oppg 19083  df-lsm 19377  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-drng 20140  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lvec 20517  df-lsatoms 37370  df-lshyp 37371  df-lcv 37413  df-lfl 37452  df-lkr 37480  df-ldual 37518  df-oposet 37570  df-ol 37572  df-oml 37573  df-covers 37660  df-ats 37661  df-atl 37692  df-cvlat 37716  df-hlat 37745  df-llines 37893  df-lplanes 37894  df-lvols 37895  df-lines 37896  df-psubsp 37898  df-pmap 37899  df-padd 38191  df-lhyp 38383  df-laut 38384  df-ldil 38499  df-ltrn 38500  df-trl 38554  df-tgrp 39138  df-tendo 39150  df-edring 39152  df-dveca 39398  df-disoa 39424  df-dvech 39474  df-dib 39534  df-dic 39568  df-dih 39624  df-doch 39743  df-djh 39790  df-lcdual 39982  df-mapd 40020
This theorem is referenced by:  mapdpglem14  40080
  Copyright terms: Public domain W3C validator