Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6lem1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6lem1N 38863
Description: Lemma for mapdh6N 38877. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 16-18. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdhe6.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh6lem1N (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥   ,𝐸   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼   + ,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   (𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6lem1N
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2821 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdh.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 38240 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 mapdhcl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3948 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
9 mapdhe6.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
109eldifad 3948 . . . . . . 7 (𝜑𝑌𝑉)
11 mapdh.v . . . . . . . 8 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdh.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
1311, 12lmodvsubcl 19673 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
146, 8, 10, 13syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
15 mapdh.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1611, 4, 15lspsncl 19743 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
176, 14, 16syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18 mapdhe6.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1918eldifad 3948 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
2011, 4, 15lspsncl 19743 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
216, 19, 20syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22 eqid 2821 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
234, 22lsmcl 19849 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
246, 17, 21, 23syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2511, 12lmodvsubcl 19673 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
266, 8, 19, 25syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
2711, 4, 15lspsncl 19743 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
286, 26, 27syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2911, 4, 15lspsncl 19743 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
306, 10, 29syl2anc 586 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
314, 22lsmcl 19849 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
326, 28, 30, 31syl3anc 1367 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
331, 2, 3, 4, 5, 24, 32mapdin 38792 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
34 mapdh.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35 eqid 2821 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
361, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 17, 21mapdlsm 38794 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
371, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 28, 30mapdlsm 38794 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
3836, 37ineq12d 4190 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
39 mapdh6.fg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
40 mapdh.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (0g𝐶)
41 mapdh.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
42 mapdhc.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
43 mapdh.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
44 mapdh.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
45 mapdh.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
46 mapdhc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
47 mapdh.mn . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
481, 3, 5dvhlvec 38239 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
49 mapdh6.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50 mapdhe6.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
5111, 42, 15, 48, 10, 18, 8, 49, 50lspindp2 19901 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5251simpld 497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5340, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 10, 52mapdhcl 38857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5439, 53eqeltrrd 2914 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
5540, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 9, 54, 52mapdheq 38858 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5639, 55mpbid 234 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5756simprd 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
58 mapdh6.fe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
5911, 42, 15, 48, 9, 19, 8, 49, 50lspindp1 19899 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
6059simpld 497 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
6140, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 19, 60mapdhcl 38857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6258, 61eqeltrrd 2914 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
6340, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 18, 62, 60mapdheq 38858 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6458, 63mpbid 234 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6564simpld 497 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
6657, 65oveq12d 7168 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
6764simprd 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
6856simpld 497 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
6967, 68oveq12d 7168 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺})))
7066, 69ineq12d 4190 . . . 4 (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
7138, 70eqtrd 2856 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
7233, 71eqtrd 2856 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
73 mapdh.p . . . 4 + = (+g𝑈)
7411, 12, 42, 22, 15, 48, 8, 50, 49, 9, 18, 73baerlem5a 38844 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
7574fveq2d 6669 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
761, 34, 5lcdlvec 38721 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 46, 47, 8, 10, 54, 68, 19, 62, 65, 50mapdindp 38801 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 10, 19, 62, 65, 49mapdncol 38800 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
791, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 42, 40, 9mapdn0 38799 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
801, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 62, 65, 42, 40, 18mapdn0 38799 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81 mapdh.a . . 3 = (+g𝐶)
8243, 44, 40, 35, 45, 76, 46, 77, 78, 79, 80, 81baerlem5a 38844 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
8372, 75, 823eqtr4d 2866 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  Vcvv 3495  cdif 3933  cin 3935  ifcif 4467  {csn 4561  {cpr 4563  cotp 4569  cmpt 5139  cfv 6350  crio 7107  (class class class)co 7150  1st c1st 7681  2nd c2nd 7682  Basecbs 16477  +gcplusg 16559  0gc0g 16707  -gcsg 18099  LSSumclsm 18753  LModclmod 19628  LSubSpclss 19697  LSpanclspn 19737  HLchlt 36480  LHypclh 37114  DVecHcdvh 38208  LCDualclcd 38716  mapdcmpd 38754
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-riotaBAD 36083
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-ot 4570  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-undef 7933  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-sca 16575  df-vsca 16576  df-0g 16709  df-mre 16851  df-mrc 16852  df-acs 16854  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-p1 17644  df-lat 17650  df-clat 17712  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-subg 18270  df-cntz 18441  df-oppg 18468  df-lsm 18755  df-cmn 18902  df-abl 18903  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-drng 19498  df-lmod 19630  df-lss 19698  df-lsp 19738  df-lvec 19869  df-lsatoms 36106  df-lshyp 36107  df-lcv 36149  df-lfl 36188  df-lkr 36216  df-ldual 36254  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481  df-llines 36628  df-lplanes 36629  df-lvols 36630  df-lines 36631  df-psubsp 36633  df-pmap 36634  df-padd 36926  df-lhyp 37118  df-laut 37119  df-ldil 37234  df-ltrn 37235  df-trl 37289  df-tgrp 37873  df-tendo 37885  df-edring 37887  df-dveca 38133  df-disoa 38159  df-dvech 38209  df-dib 38269  df-dic 38303  df-dih 38359  df-doch 38478  df-djh 38525  df-lcdual 38717  df-mapd 38755
This theorem is referenced by:  mapdh6lem2N  38864  mapdh6aN  38865
  Copyright terms: Public domain W3C validator