Theorem mapdh6lem1N 41238

Description: Lemma for mapdh6N 41252. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 16-18. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdhe6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh6lem1N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐸   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼   + ,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   ✚ (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh6lem1N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdh.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 40615	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		mapdhcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9		mapdhe6.y	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
10	9	eldifad 3961	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
11		mapdh.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdh.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
13	11, 12	lmodvsubcl 20797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
14	6, 8, 10, 13	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
15		mapdh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
16	11, 4, 15	lspsncl 20868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17	6, 14, 16	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18		mapdhe6.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	18	eldifad 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
20	11, 4, 15	lspsncl 20868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	6, 19, 20	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
23	4, 22	lsmcl 20975	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
24	6, 17, 21, 23	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
25	11, 12	lmodvsubcl 20797	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
26	6, 8, 19, 25	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
27	11, 4, 15	lspsncl 20868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
28	6, 26, 27	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	11, 4, 15	lspsncl 20868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	6, 10, 29	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	4, 22	lsmcl 20975	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	6, 28, 30, 31	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	1, 2, 3, 4, 5, 24, 32	mapdin 41167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
34		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
36	1, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 17, 21	mapdlsm 41169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
37	1, 2, 3, 4, 22, 34, 35, 5, 28, 30	mapdlsm 41169	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
38	36, 37	ineq12d 4215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
39		mapdh6.fg	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
40		mapdh.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
41		mapdh.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
42		mapdhc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
43		mapdh.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
44		mapdh.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
45		mapdh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
46		mapdhc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
47		mapdh.mn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
48	1, 3, 5	dvhlvec 40614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
49		mapdh6.yz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
50		mapdhe6.xn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
51	11, 42, 15, 48, 10, 18, 8, 49, 50	lspindp2 21030	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
52	51	simpld 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
53	40, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 10, 52	mapdhcl 41232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
54	39, 53	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
55	40, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 9, 54, 52	mapdheq 41233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
56	39, 55	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
57	56	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
58		mapdh6.fe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
59	11, 42, 15, 48, 9, 19, 8, 49, 50	lspindp1 21028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
60	59	simpld 493	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
61	40, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 19, 60	mapdhcl 41232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
62	58, 61	eqeltrrd 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷)
63	40, 41, 1, 2, 3, 11, 12, 42, 15, 34, 43, 44, 45, 5, 46, 47, 7, 18, 62, 60	mapdheq 41233	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
64	58, 63	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
65	64	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
66	57, 65	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
67	64	simprd 494	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
68	56	simpld 493	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
69	67, 68	oveq12d 7444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺})))
70	66, 69	ineq12d 4215	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) ∩ ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
71	38, 70	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
72	33, 71	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
73		mapdh.p	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑈)
74	11, 12, 42, 22, 15, 48, 8, 50, 49, 9, 18, 73	baerlem5a 41219	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) = (((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
75	74	fveq2d 6906	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝑀‘(((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))))
76	1, 34, 5	lcdlvec 41096	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
77	1, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 46, 47, 8, 10, 54, 68, 19, 62, 65, 50	mapdindp 41176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
78	1, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 10, 19, 62, 65, 49	mapdncol 41175	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
79	1, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 54, 68, 42, 40, 9	mapdn0 41174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
80	1, 2, 3, 11, 15, 34, 43, 45, 5, 62, 65, 42, 40, 18	mapdn0 41174	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81		mapdh.a	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
82	43, 44, 40, 35, 45, 76, 46, 77, 78, 79, 80, 81	baerlem5a 41219	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}) = (((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐺}))))
83	72, 75, 82	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948  ifcif 4532  {csn 4632  {cpr 4634  ⟨cotp 4640   ↦ cmpt 5235  ‘cfv 6553  ℩crio 7381  (class class class)co 7426  1^st c1st 7997  2^nd c2nd 7998  Basecbs 17187  +_gcplusg 17240  0_gc0g 17428  -_gcsg 18899  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  LCDualclcd 41091  mapdcmpd 41129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lshyp 38481  df-lcv 38523  df-lfl 38562  df-lkr 38590  df-ldual 38628  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tgrp 40248  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-dveca 40508  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853  df-djh 40900  df-lcdual 41092  df-mapd 41130

This theorem is referenced by:  mapdh6lem2N  41239  mapdh6aN  41240