Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmap1l6lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmap1l6lem2 41408
Description: Lemma for hdmap1l6 41421. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 20-22. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmap1l6.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap1l6.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap1l6.p + = (+g𝑈)
hdmap1l6.s = (-g𝑈)
hdmap1l6c.o 0 = (0g𝑈)
hdmap1l6.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmap1l6.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmap1l6.a = (+g𝐶)
hdmap1l6.r 𝑅 = (-g𝐶)
hdmap1l6.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmap1l6.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmap1l6.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.i 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
hdmap1l6.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmap1l6.f (𝜑𝐹𝐷)
hdmap1l6cl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
hdmap1l6e.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
hdmap1l6e.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
hdmap1l6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
hdmap1l6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
hdmap1l6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
hdmap1l6lem2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}))

Proof of Theorem hdmap1l6lem2
StepHypRef Expression
1 hdmap1l6.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 hdmap1l6.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 hdmap1l6.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2725 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 hdmap1l6.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 40710 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 hdmap1l6e.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3956 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
9 hdmap1l6.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 hdmap1l6.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
119, 4, 10lspsncl 20873 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
126, 8, 11syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 hdmap1l6e.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3956 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
159, 4, 10lspsncl 20873 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
166, 14, 15syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17 eqid 2725 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
184, 17lsmcl 20980 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
196, 12, 16, 18syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20 hdmap1l6cl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120eldifad 3956 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
22 hdmap1l6.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝑈)
239, 22lmodvacl 20770 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
246, 8, 14, 23syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
25 hdmap1l6.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
269, 25lmodvsubcl 20802 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
276, 21, 24, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
289, 4, 10lspsncl 20873 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
296, 27, 28syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
309, 4, 10lspsncl 20873 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
316, 21, 30syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
324, 17lsmcl 20980 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
336, 29, 31, 32syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 19, 33mapdin 41262 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
35 hdmap1l6.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
36 eqid 2725 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
371, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 12, 16mapdlsm 41264 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
38 hdmap1l6.fg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
39 hdmap1l6c.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
40 hdmap1l6.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
41 hdmap1l6.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
42 hdmap1l6.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
43 hdmap1l6.i . . . . . . . . 9 𝐼 = ((HDMap1‘𝐾)‘𝑊)
44 hdmap1l6.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
45 hdmap1l6.mn . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐿‘{𝐹}))
461, 3, 5dvhlvec 40709 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
47 hdmap1l6.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48 hdmap1l6e.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
499, 39, 10, 46, 8, 13, 21, 47, 48lspindp2 21035 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5049simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
511, 3, 9, 39, 10, 35, 40, 42, 2, 43, 5, 44, 45, 50, 20, 8hdmap1cl 41404 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5238, 51eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
531, 3, 9, 25, 39, 10, 35, 40, 41, 42, 2, 43, 5, 20, 44, 7, 52, 50, 45hdmap1eq 41401 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5438, 53mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5554simpld 493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐿‘{𝐺}))
56 hdmap1l6.fe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
579, 39, 10, 46, 7, 14, 21, 47, 48lspindp1 21033 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5857simpld 493 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
591, 3, 9, 39, 10, 35, 40, 42, 2, 43, 5, 44, 45, 58, 20, 14hdmap1cl 41404 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6056, 59eqeltrrd 2826 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
611, 3, 9, 25, 39, 10, 35, 40, 41, 42, 2, 43, 5, 20, 44, 13, 60, 58, 45hdmap1eq 41401 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6256, 61mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6362simpld 493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐿‘{𝐸}))
6455, 63oveq12d 7437 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})))
6537, 64eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})))
661, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 29, 31mapdlsm 41264 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))))
67 hdmap1l6.a . . . . . . 7 = (+g𝐶)
68 hdmap1l6.q . . . . . . 7 𝑄 = (0g𝐶)
691, 3, 9, 22, 25, 39, 10, 35, 40, 67, 41, 68, 42, 2, 43, 5, 44, 20, 45, 7, 13, 48, 47, 38, 56hdmap1l6lem1 41407 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
7069, 45oveq12d 7437 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹})))
7166, 70eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹})))
7265, 71ineq12d 4211 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹}))))
7334, 72eqtrd 2765 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹}))))
749, 25, 39, 17, 10, 46, 21, 48, 47, 7, 13, 22baerlem5b 41315 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))))
7574fveq2d 6900 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
761, 35, 5lcdlvec 41191 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 9, 10, 35, 40, 42, 5, 44, 45, 21, 8, 52, 55, 14, 60, 63, 48mapdindp 41271 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐿‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 9, 10, 35, 40, 42, 5, 52, 55, 8, 14, 60, 63, 47mapdncol 41270 . . 3 (𝜑 → (𝐿‘{𝐺}) ≠ (𝐿‘{𝐸}))
791, 2, 3, 9, 10, 35, 40, 42, 5, 52, 55, 39, 68, 7mapdn0 41269 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
801, 2, 3, 9, 10, 35, 40, 42, 5, 60, 63, 39, 68, 13mapdn0 41269 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
8140, 41, 68, 36, 42, 76, 44, 77, 78, 79, 80, 67baerlem5b 41315 . 2 (𝜑 → (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}) = (((𝐿‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐸})) ∩ ((𝐿‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐿‘{𝐹}))))
8273, 75, 813eqtr4d 2775 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐿‘{(𝐺 𝐸)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  cdif 3941  cin 3943  {csn 4630  {cpr 4632  cotp 4638  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  0gc0g 17424  -gcsg 18900  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867  HLchlt 38949  LHypclh 39584  DVecHcdvh 40678  LCDualclcd 41186  mapdcmpd 41224  HDMap1chdma1 41391
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38552
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lsatoms 38575  df-lshyp 38576  df-lcv 38618  df-lfl 38657  df-lkr 38685  df-ldual 38723  df-oposet 38775  df-ol 38777  df-oml 38778  df-covers 38865  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-llines 39098  df-lplanes 39099  df-lvols 39100  df-lines 39101  df-psubsp 39103  df-pmap 39104  df-padd 39396  df-lhyp 39588  df-laut 39589  df-ldil 39704  df-ltrn 39705  df-trl 39759  df-tgrp 40343  df-tendo 40355  df-edring 40357  df-dveca 40603  df-disoa 40629  df-dvech 40679  df-dib 40739  df-dic 40773  df-dih 40829  df-doch 40948  df-djh 40995  df-lcdual 41187  df-mapd 41225  df-hdmap1 41393
This theorem is referenced by:  hdmap1l6a  41409
  Copyright terms: Public domain W3C validator