Theorem mapdh6lem2N 39360

Description: Lemma for mapdh6N 39373. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 20-22. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdhe6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh6lem2N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺 ✚ 𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐸   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼   + ,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   ✚ (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdh6lem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdh.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 38736	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		mapdhe6.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3853	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
9		mapdh.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11	9, 4, 10	lspsncl 19861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	6, 8, 11	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		mapdhe6.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3853	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	9, 4, 10	lspsncl 19861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 14, 15	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
18	4, 17	lsmcl 19967	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	6, 12, 16, 18	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20		mapdhcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3853	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		mapdh.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑈)
23	9, 22	lmodvacl 19760	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
24	6, 8, 14, 23	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
25		mapdh.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
26	9, 25	lmodvsubcl 19791	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
27	6, 21, 24, 26	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
28	9, 4, 10	lspsncl 19861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	6, 27, 28	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	9, 4, 10	lspsncl 19861	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	6, 21, 30	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	4, 17	lsmcl 19967	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	6, 29, 31, 32	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	1, 2, 3, 4, 5, 19, 33	mapdin 39288	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
35		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
36		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
37	1, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 12, 16	mapdlsm 39290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
38		mapdh6.fg	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
39		mapdh.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
40		mapdh.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
41		mapdhc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
42		mapdh.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
43		mapdh.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
44		mapdh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
45		mapdhc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
46		mapdh.mn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
47	1, 3, 5	dvhlvec 38735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48		mapdh6.yz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49		mapdhe6.xn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
50	9, 41, 10, 47, 8, 13, 21, 48, 49	lspindp2 20019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
51	50	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
52	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 8, 51	mapdhcl 39353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
53	38, 52	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
54	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 7, 53, 51	mapdheq 39354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
55	38, 54	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
56	55	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
57		mapdh6.fe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
58	9, 41, 10, 47, 7, 14, 21, 48, 49	lspindp1 20017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
59	58	simpld 498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
60	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 14, 59	mapdhcl 39353	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
61	57, 60	eqeltrrd 2834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷)
62	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 13, 61, 59	mapdheq 39354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
63	57, 62	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
64	63	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
65	56, 64	oveq12d 7182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
66	37, 65	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
67	1, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 29, 31	mapdlsm 39290	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))))
68		mapdh.a	. . . . . . 7 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
69	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 22, 68, 7, 13, 49, 48, 38, 57	mapdh6lem1N 39359	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))
70	69, 46	oveq12d 7182	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹})))
71	67, 70	eqtrd 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹})))
72	66, 71	ineq12d 4102	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
73	34, 72	eqtrd 2773	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
74	9, 25, 41, 17, 10, 47, 21, 49, 48, 7, 13, 22	baerlem5b 39341	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))))
75	74	fveq2d 6672	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
76	1, 35, 5	lcdlvec 39217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
77	1, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 45, 46, 21, 8, 53, 56, 14, 61, 64, 49	mapdindp 39297	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
78	1, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 53, 56, 8, 14, 61, 64, 48	mapdncol 39296	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
79	1, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 53, 56, 41, 39, 7	mapdn0 39295	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
80	1, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 61, 64, 41, 39, 13	mapdn0 39295	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81	42, 43, 39, 36, 44, 76, 45, 77, 78, 79, 80, 68	baerlem5b 39341	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺 ✚ 𝐸)}) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
82	73, 75, 81	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺 ✚ 𝐸)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2934  Vcvv 3397   ∖ cdif 3838   ∩ cin 3840  ifcif 4411  {csn 4513  {cpr 4515  ⟨cotp 4521   ↦ cmpt 5107  ‘cfv 6333  ℩crio 7120  (class class class)co 7164  1^st c1st 7705  2^nd c2nd 7706  Basecbs 16579  +_gcplusg 16661  0_gc0g 16809  -_gcsg 18214  LSSumclsm 18870  LModclmod 19746  LSubSpclss 19815  LSpanclspn 19855  HLchlt 36976  LHypclh 37610  DVecHcdvh 38704  LCDualclcd 39212  mapdcmpd 39250

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-riotaBAD 36579

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-ot 4522  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-undef 7961  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-0g 16811  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-proset 17647  df-poset 17665  df-plt 17677  df-lub 17693  df-glb 17694  df-join 17695  df-meet 17696  df-p0 17758  df-p1 17759  df-lat 17765  df-clat 17827  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-lsm 18872  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-lvec 19987  df-lsatoms 36602  df-lshyp 36603  df-lcv 36645  df-lfl 36684  df-lkr 36712  df-ldual 36750  df-oposet 36802  df-ol 36804  df-oml 36805  df-covers 36892  df-ats 36893  df-atl 36924  df-cvlat 36948  df-hlat 36977  df-llines 37124  df-lplanes 37125  df-lvols 37126  df-lines 37127  df-psubsp 37129  df-pmap 37130  df-padd 37422  df-lhyp 37614  df-laut 37615  df-ldil 37730  df-ltrn 37731  df-trl 37785  df-tgrp 38369  df-tendo 38381  df-edring 38383  df-dveca 38629  df-disoa 38655  df-dvech 38705  df-dib 38765  df-dic 38799  df-dih 38855  df-doch 38974  df-djh 39021  df-lcdual 39213  df-mapd 39251

This theorem is referenced by:  mapdh6aN  39361