Theorem mapdh6lem2N 42566

Description: Lemma for mapdh6N 42579. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 20-22. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
mapdh.a	⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
mapdhe6.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdh6lem2N	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺 ✚ 𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐸   ℎ,𝑍,𝑥   ✚ ,ℎ   ℎ,𝐼   + ,ℎ,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   ✚ (𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥, ℎ)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥, ℎ)   𝑉(𝑥, ℎ)   𝑊(𝑥, ℎ)

Proof of Theorem mapdh6lem2N

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdh.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 41942	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		mapdhe6.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
9		mapdh.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11	9, 4, 10	lspsncl 21148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	6, 8, 11	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		mapdhe6.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	9, 4, 10	lspsncl 21148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 14, 15	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
18	4, 17	lsmcl 21254	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	6, 12, 16, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20		mapdhcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		mapdh.p	. . . . . . . . 9 ⊢ + = (+g‘𝑈)
23	9, 22	lmodvacl 21046	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
24	6, 8, 14, 23	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
25		mapdh.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
26	9, 25	lmodvsubcl 21078	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
27	6, 21, 24, 26	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
28	9, 4, 10	lspsncl 21148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
29	6, 27, 28	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	9, 4, 10	lspsncl 21148	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	6, 21, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	4, 17	lsmcl 21254	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	6, 29, 31, 32	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
34	1, 2, 3, 4, 5, 19, 33	mapdin 42494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
35		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
36		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
37	1, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 12, 16	mapdlsm 42496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
38		mapdh6.fg	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
39		mapdh.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
40		mapdh.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
41		mapdhc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
42		mapdh.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
43		mapdh.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
44		mapdh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
45		mapdhc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
46		mapdh.mn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
47	1, 3, 5	dvhlvec 41941	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
48		mapdh6.yz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49		mapdhe6.xn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
50	9, 41, 10, 47, 8, 13, 21, 48, 49	lspindp2 21309	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
51	50	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
52	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 8, 51	mapdhcl 42559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
53	38, 52	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
54	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 7, 53, 51	mapdheq 42560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
55	38, 54	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
56	55	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
57		mapdh6.fe	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
58	9, 41, 10, 47, 7, 14, 21, 48, 49	lspindp1 21307	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
59	58	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
60	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 14, 59	mapdhcl 42559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
61	57, 60	eqeltrrd 2866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷)
62	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 13, 61, 59	mapdheq 42560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
63	57, 62	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
64	63	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
65	56, 64	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
66	37, 65	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
67	1, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 29, 31	mapdlsm 42496	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))))
68		mapdh.a	. . . . . . 7 ⊢ ✚ = (+g‘𝐶)
69	39, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 22, 68, 7, 13, 49, 48, 38, 57	mapdh6lem1N 42565	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))}))
70	69, 46	oveq12d 7437	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹})))
71	67, 70	eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹})))
72	66, 71	ineq12d 4174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
73	34, 72	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
74	9, 25, 41, 17, 10, 47, 21, 49, 48, 7, 13, 22	baerlem5b 42547	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))))
75	74	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
76	1, 35, 5	lcdlvec 42423	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
77	1, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 45, 46, 21, 8, 53, 56, 14, 61, 64, 49	mapdindp 42503	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
78	1, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 53, 56, 8, 14, 61, 64, 48	mapdncol 42502	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
79	1, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 53, 56, 41, 39, 7	mapdn0 42501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
80	1, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 61, 64, 41, 39, 13	mapdn0 42501	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
81	42, 43, 39, 36, 44, 76, 45, 77, 78, 79, 80, 68	baerlem5b 42547	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺 ✚ 𝐸)}) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 ✚ 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
82	73, 75, 81	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺 ✚ 𝐸)}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  ifcif 4489  {csn 4591  {cpr 4593  ⟨cotp 4599   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  ℩crio 7375  (class class class)co 7419  1^st c1st 7990  2^nd c2nd 7991  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514  -_gcsg 19046  LSSumclsm 19748  LModclmod 21031  LSubSpclss 21102  LSpanclspn 21142  HLchlt 40182  LHypclh 40816  DVecHcdvh 41910  LCDualclcd 42418  mapdcmpd 42456

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192  ax-riotaBAD 39785

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-mulr 17346  df-sca 17348  df-vsca 17349  df-0g 17516  df-mre 17660  df-mrc 17661  df-acs 17663  df-proset 18372  df-poset 18391  df-plt 18406  df-lub 18422  df-glb 18423  df-join 18424  df-meet 18425  df-p0 18501  df-p1 18502  df-lat 18510  df-clat 18577  df-mgm 18720  df-sgrp 18809  df-mnd 18825  df-submnd 18879  df-grp 19047  df-minusg 19048  df-sbg 19049  df-subg 19233  df-cntz 19431  df-oppg 19460  df-lsm 19750  df-cmn 19896  df-abl 19897  df-mgp 20261  df-rng 20275  df-ur 20308  df-ring 20361  df-oppr 20465  df-dvdsr 20485  df-unit 20486  df-invr 20516  df-dvr 20529  df-nzr 20660  df-rlreg 20843  df-domn 20844  df-drng 20879  df-lmod 21033  df-lss 21103  df-lsp 21143  df-lvec 21274  df-lsatoms 39808  df-lshyp 39809  df-lcv 39851  df-lfl 39890  df-lkr 39918  df-ldual 39956  df-oposet 40008  df-ol 40010  df-oml 40011  df-covers 40098  df-ats 40099  df-atl 40130  df-cvlat 40154  df-hlat 40183  df-llines 40330  df-lplanes 40331  df-lvols 40332  df-lines 40333  df-psubsp 40335  df-pmap 40336  df-padd 40628  df-lhyp 40820  df-laut 40821  df-ldil 40936  df-ltrn 40937  df-trl 40991  df-tgrp 41575  df-tendo 41587  df-edring 41589  df-dveca 41835  df-disoa 41861  df-dvech 41911  df-dib 41971  df-dic 42005  df-dih 42061  df-doch 42180  df-djh 42227  df-lcdual 42419  df-mapd 42457

This theorem is used by:  mapdh6aN  42567