Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdh6lem2N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdh6lem2N 41736
Description: Lemma for mapdh6N 41749. Part (6) in [Baer] p. 47, lines 20-22. (Contributed by NM, 13-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.p + = (+g𝑈)
mapdh.a = (+g𝐶)
mapdhe6.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe6.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh6.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh6.fg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh6.fe (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdh6lem2N (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺 𝐸)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥   ,𝐸   ,𝑍,𝑥   ,   ,𝐼   + ,,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   (𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdh6lem2N
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2737 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdh.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 41112 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 mapdhe6.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3963 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
9 mapdh.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 mapdh.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
119, 4, 10lspsncl 20975 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
126, 8, 11syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 mapdhe6.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3963 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
159, 4, 10lspsncl 20975 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
166, 14, 15syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17 eqid 2737 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
184, 17lsmcl 21082 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
196, 12, 16, 18syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20 mapdhcl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120eldifad 3963 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
22 mapdh.p . . . . . . . . 9 + = (+g𝑈)
239, 22lmodvacl 20873 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉𝑍𝑉) → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
246, 8, 14, 23syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉)
25 mapdh.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
269, 25lmodvsubcl 20905 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑌 + 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
276, 21, 24, 26syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉)
289, 4, 10lspsncl 20975 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 (𝑌 + 𝑍)) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
296, 27, 28syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
309, 4, 10lspsncl 20975 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
316, 21, 30syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
324, 17lsmcl 21082 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
336, 29, 31, 32syl3anc 1373 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
341, 2, 3, 4, 5, 19, 33mapdin 41664 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
35 mapdh.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
36 eqid 2737 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
371, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 12, 16mapdlsm 41666 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
38 mapdh6.fg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
39 mapdh.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (0g𝐶)
40 mapdh.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
41 mapdhc.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
42 mapdh.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
43 mapdh.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
44 mapdh.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
45 mapdhc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
46 mapdh.mn . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
471, 3, 5dvhlvec 41111 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
48 mapdh6.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
49 mapdhe6.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
509, 41, 10, 47, 8, 13, 21, 48, 49lspindp2 21137 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5150simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5239, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 8, 51mapdhcl 41729 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5338, 52eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
5439, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 7, 53, 51mapdheq 41730 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5538, 54mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5655simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
57 mapdh6.fe . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
589, 41, 10, 47, 7, 14, 21, 48, 49lspindp1 21135 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5958simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
6039, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 14, 59mapdhcl 41729 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6157, 60eqeltrrd 2842 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
6239, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 13, 61, 59mapdheq 41730 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6357, 62mpbid 232 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6463simpld 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
6556, 64oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
6637, 65eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
671, 2, 3, 4, 17, 35, 36, 5, 29, 31mapdlsm 41666 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))))
68 mapdh.a . . . . . . 7 = (+g𝐶)
6939, 40, 1, 2, 3, 9, 25, 41, 10, 35, 42, 43, 44, 5, 45, 46, 20, 22, 68, 7, 13, 49, 48, 38, 57mapdh6lem1N 41735 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))}))
7069, 46oveq12d 7449 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹})))
7167, 70eqtrd 2777 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹})))
7266, 71ineq12d 4221 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
7334, 72eqtrd 2777 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
749, 25, 41, 17, 10, 47, 21, 49, 48, 7, 13, 22baerlem5b 41717 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋}))))
7574fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 (𝑌 + 𝑍))})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑋})))))
761, 35, 5lcdlvec 41593 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 45, 46, 21, 8, 53, 56, 14, 61, 64, 49mapdindp 41673 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 53, 56, 8, 14, 61, 64, 48mapdncol 41672 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
791, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 53, 56, 41, 39, 7mapdn0 41671 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
801, 2, 3, 9, 10, 35, 42, 44, 5, 61, 64, 41, 39, 13mapdn0 41671 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
8142, 43, 39, 36, 44, 76, 45, 77, 78, 79, 80, 68baerlem5b 41717 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺 𝐸)}) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅(𝐺 𝐸))})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐹}))))
8273, 75, 813eqtr4d 2787 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 + 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺 𝐸)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  Vcvv 3480  cdif 3948  cin 3950  ifcif 4525  {csn 4626  {cpr 4628  cotp 4634  cmpt 5225  cfv 6561  crio 7387  (class class class)co 7431  1st c1st 8012  2nd c2nd 8013  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  -gcsg 18953  LSSumclsm 19652  LModclmod 20858  LSubSpclss 20929  LSpanclspn 20969  HLchlt 39351  LHypclh 39986  DVecHcdvh 41080  LCDualclcd 41588  mapdcmpd 41626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-riotaBAD 38954
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-undef 8298  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-p0 18470  df-p1 18471  df-lat 18477  df-clat 18544  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-lsm 19654  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-nzr 20513  df-rlreg 20694  df-domn 20695  df-drng 20731  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-lvec 21102  df-lsatoms 38977  df-lshyp 38978  df-lcv 39020  df-lfl 39059  df-lkr 39087  df-ldual 39125  df-oposet 39177  df-ol 39179  df-oml 39180  df-covers 39267  df-ats 39268  df-atl 39299  df-cvlat 39323  df-hlat 39352  df-llines 39500  df-lplanes 39501  df-lvols 39502  df-lines 39503  df-psubsp 39505  df-pmap 39506  df-padd 39798  df-lhyp 39990  df-laut 39991  df-ldil 40106  df-ltrn 40107  df-trl 40161  df-tgrp 40745  df-tendo 40757  df-edring 40759  df-dveca 41005  df-disoa 41031  df-dvech 41081  df-dib 41141  df-dic 41175  df-dih 41231  df-doch 41350  df-djh 41397  df-lcdual 41589  df-mapd 41627
This theorem is referenced by:  mapdh6aN  41737
  Copyright terms: Public domain W3C validator