Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem5N 41004
Description: Lemma for mapdpg 41033. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem5N (𝜑𝑡 ≠ (0g𝐶))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)   (𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem mapdpglem5N
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2724 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
6 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2724 . . . 4 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
8 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
11 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
13 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
14 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
15 mapdpglem2.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
16 mapdpglem3.f . . . . . 6 𝐹 = (Base‘𝐶)
17 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
18 mapdpglem3.a . . . . . 6 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
19 mapdpglem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
20 mapdpglem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐶)
21 mapdpglem3.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
22 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
23 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24 mapdpglem4.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑈)
25 mapdpglem.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
262, 3, 4, 9, 10, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdpglem4N 41003 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ≠ 𝑄)
272, 4, 8dvhlmod 40437 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
289, 10lmodvsubcl 20742 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
2927, 12, 13, 28syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
309, 11, 24, 5, 27, 29lsatspn0 38326 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ↔ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑄))
3126, 30mpbird 257 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
322, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 31mapdat 40994 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
331, 32eqeltrrd 2826 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{𝑡}) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
34 eqid 2724 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
352, 6, 8lcdlmod 40919 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
362, 3, 4, 9, 10, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem2a 41001 . . 3 (𝜑𝑡𝐹)
3716, 15, 34, 7, 35, 36lsatspn0 38326 . 2 (𝜑 → ((𝐽‘{𝑡}) ∈ (LSAtoms‘𝐶) ↔ 𝑡 ≠ (0g𝐶)))
3833, 37mpbid 231 1 (𝜑𝑡 ≠ (0g𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  {csn 4620  cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  Scalarcsca 17198   ·𝑠 cvsca 17199  0gc0g 17383  -gcsg 18854  LSSumclsm 19543  LModclmod 20695  LSpanclspn 20807  LSAtomsclsa 38300  HLchlt 38676  LHypclh 39311  DVecHcdvh 40405  LCDualclcd 40913  mapdcmpd 40951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-riotaBAD 38279
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8206  df-undef 8253  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-ress 17172  df-plusg 17208  df-mulr 17209  df-sca 17211  df-vsca 17212  df-0g 17385  df-mre 17528  df-mrc 17529  df-acs 17531  df-proset 18249  df-poset 18267  df-plt 18284  df-lub 18300  df-glb 18301  df-join 18302  df-meet 18303  df-p0 18379  df-p1 18380  df-lat 18386  df-clat 18453  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-submnd 18703  df-grp 18855  df-minusg 18856  df-sbg 18857  df-subg 19039  df-cntz 19222  df-oppg 19251  df-lsm 19545  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-drng 20578  df-lmod 20697  df-lss 20768  df-lsp 20808  df-lvec 20940  df-lsatoms 38302  df-lshyp 38303  df-lcv 38345  df-lfl 38384  df-lkr 38412  df-ldual 38450  df-oposet 38502  df-ol 38504  df-oml 38505  df-covers 38592  df-ats 38593  df-atl 38624  df-cvlat 38648  df-hlat 38677  df-llines 38825  df-lplanes 38826  df-lvols 38827  df-lines 38828  df-psubsp 38830  df-pmap 38831  df-padd 39123  df-lhyp 39315  df-laut 39316  df-ldil 39431  df-ltrn 39432  df-trl 39486  df-tgrp 40070  df-tendo 40082  df-edring 40084  df-dveca 40330  df-disoa 40356  df-dvech 40406  df-dib 40466  df-dic 40500  df-dih 40556  df-doch 40675  df-djh 40722  df-lcdual 40914  df-mapd 40952
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator