Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem5N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem5N 38812
Description: Lemma for mapdpg 38841. (Contributed by NM, 20-Mar-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
Assertion
Ref Expression
mapdpglem5N (𝜑𝑡 ≠ (0g𝐶))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑡)   𝐴(𝑡)   𝐵(𝑡)   (𝑡)   𝑄(𝑡)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐹(𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem mapdpglem5N
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 eqid 2821 . . . 4 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
6 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2821 . . . 4 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
8 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
9 mapdpglem.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
11 mapdpglem.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
12 mapdpglem.x . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑉)
13 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
14 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
15 mapdpglem2.j . . . . . 6 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
16 mapdpglem3.f . . . . . 6 𝐹 = (Base‘𝐶)
17 mapdpglem3.te . . . . . 6 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
18 mapdpglem3.a . . . . . 6 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
19 mapdpglem3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
20 mapdpglem3.t . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝐶)
21 mapdpglem3.r . . . . . 6 𝑅 = (-g𝐶)
22 mapdpglem3.g . . . . . 6 (𝜑𝐺𝐹)
23 mapdpglem3.e . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
24 mapdpglem4.q . . . . . 6 𝑄 = (0g𝑈)
25 mapdpglem.ne . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
262, 3, 4, 9, 10, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25mapdpglem4N 38811 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ≠ 𝑄)
272, 4, 8dvhlmod 38245 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
289, 10lmodvsubcl 19678 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
2927, 12, 13, 28syl3anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
309, 11, 24, 5, 27, 29lsatspn0 36135 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSAtoms‘𝑈) ↔ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑄))
3126, 30mpbird 259 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
322, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 31mapdat 38802 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
331, 32eqeltrrd 2914 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{𝑡}) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
34 eqid 2821 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
352, 6, 8lcdlmod 38727 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
362, 3, 4, 9, 10, 11, 6, 8, 12, 13, 14, 15, 16, 17mapdpglem2a 38809 . . 3 (𝜑𝑡𝐹)
3716, 15, 34, 7, 35, 36lsatspn0 36135 . 2 (𝜑 → ((𝐽‘{𝑡}) ∈ (LSAtoms‘𝐶) ↔ 𝑡 ≠ (0g𝐶)))
3833, 37mpbid 234 1 (𝜑𝑡 ≠ (0g𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  wne 3016  {csn 4566  cfv 6354  (class class class)co 7155  Basecbs 16482  Scalarcsca 16567   ·𝑠 cvsca 16568  0gc0g 16712  -gcsg 18104  LSSumclsm 18758  LModclmod 19633  LSpanclspn 19742  LSAtomsclsa 36109  HLchlt 36485  LHypclh 37119  DVecHcdvh 38213  LCDualclcd 38721  mapdcmpd 38759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-riotaBAD 36088
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-tpos 7891  df-undef 7938  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-0g 16714  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-proset 17537  df-poset 17555  df-plt 17567  df-lub 17583  df-glb 17584  df-join 17585  df-meet 17586  df-p0 17648  df-p1 17649  df-lat 17655  df-clat 17717  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-subg 18275  df-cntz 18446  df-oppg 18473  df-lsm 18760  df-cmn 18907  df-abl 18908  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19503  df-lmod 19635  df-lss 19703  df-lsp 19743  df-lvec 19874  df-lsatoms 36111  df-lshyp 36112  df-lcv 36154  df-lfl 36193  df-lkr 36221  df-ldual 36259  df-oposet 36311  df-ol 36313  df-oml 36314  df-covers 36401  df-ats 36402  df-atl 36433  df-cvlat 36457  df-hlat 36486  df-llines 36633  df-lplanes 36634  df-lvols 36635  df-lines 36636  df-psubsp 36638  df-pmap 36639  df-padd 36931  df-lhyp 37123  df-laut 37124  df-ldil 37239  df-ltrn 37240  df-trl 37294  df-tgrp 37878  df-tendo 37890  df-edring 37892  df-dveca 38138  df-disoa 38164  df-dvech 38214  df-dib 38274  df-dic 38308  df-dih 38364  df-doch 38483  df-djh 38530  df-lcdual 38722  df-mapd 38760
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator