Theorem mapdpglem2 39729

Description: Lemma for mapdpg 39762. Baer p. 45, lines 1 and 2: "we have (F(x-y))* = Gt where t necessarily belongs to (Fx)*+(Fy)*." (We scope $d 𝑡𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐻(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem mapdpglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpglem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		mapdpglem2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
9		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	1, 3, 9	dvhlmod 39166	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		mapdpglem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
14	4, 13	lmodvsubcl 20213	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15	mapdspex 39724	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
17	1, 6, 9	lcdlmod 39648	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
18	7, 8	lspsnid 20300	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
19	17, 18	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
20	19	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
21		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
22	20, 21	eleqtrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → 𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})))
23	16, 22, 21	reximssdv 3166	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
24		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
25	1, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 9, 11, 12, 24	mapdpglem1 39728	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ⊆ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
26	25	sseld 3925	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
27	26	anim1d 612	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))))
28	27	reximdv2 3158	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}) → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})))
29	23, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071  {csn 4565  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  -_gcsg 18624  LSSumclsm 19284  LModclmod 20168  LSpanclspn 20278  HLchlt 37406  LHypclh 38040  DVecHcdvh 39134  LCDualclcd 39642  mapdcmpd 39680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994  ax-riotaBAD 37009

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-of 7565  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-tpos 8073  df-undef 8120  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-er 8529  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-3 12083  df-4 12084  df-5 12085  df-6 12086  df-n0 12280  df-z 12366  df-uz 12629  df-fz 13286  df-struct 16893  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-ress 16987  df-plusg 17020  df-mulr 17021  df-sca 17023  df-vsca 17024  df-0g 17197  df-mre 17340  df-mrc 17341  df-acs 17343  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-p1 18189  df-lat 18195  df-clat 18262  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-submnd 18476  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627  df-subg 18797  df-cntz 18968  df-oppg 18995  df-lsm 19286  df-cmn 19433  df-abl 19434  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830  df-oppr 19907  df-dvdsr 19928  df-unit 19929  df-invr 19959  df-dvr 19970  df-drng 20038  df-lmod 20170  df-lss 20239  df-lsp 20279  df-lvec 20410  df-lsatoms 37032  df-lshyp 37033  df-lcv 37075  df-lfl 37114  df-lkr 37142  df-ldual 37180  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407  df-llines 37554  df-lplanes 37555  df-lvols 37556  df-lines 37557  df-psubsp 37559  df-pmap 37560  df-padd 37852  df-lhyp 38044  df-laut 38045  df-ldil 38160  df-ltrn 38161  df-trl 38215  df-tgrp 38799  df-tendo 38811  df-edring 38813  df-dveca 39059  df-disoa 39085  df-dvech 39135  df-dib 39195  df-dic 39229  df-dih 39285  df-doch 39404  df-djh 39451  df-lcdual 39643  df-mapd 39681

This theorem is referenced by:  mapdpglem24  39760