Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem2 41273
Description: Lemma for mapdpg 41306. Baer p. 45, lines 1 and 2: "we have (F(x-y))* = Gt where t necessarily belongs to (Fx)*+(Fy)*." (We scope $d 𝑡𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡
Allowed substitution hints:   (𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐻(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem mapdpglem2
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
5 mapdpglem.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6 mapdpglem.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7 eqid 2725 . . . 4 (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8 mapdpglem2.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
9 mapdpglem.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
101, 3, 9dvhlmod 40710 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
11 mapdpglem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
12 mapdpglem.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
13 mapdpglem.s . . . . . 6 = (-g𝑈)
144, 13lmodvsubcl 20802 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
1510, 11, 12, 14syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15mapdspex 41268 . . 3 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
171, 6, 9lcdlmod 41192 . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
187, 8lspsnid 20889 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
1917, 18sylan 578 . . . . 5 ((𝜑𝑡 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
2019adantrr 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
21 simprr 771 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2220, 21eleqtrrd 2828 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → 𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})))
2316, 22, 21reximssdv 3162 . 2 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
24 mapdpglem1.p . . . . . 6 = (LSSum‘𝐶)
251, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 9, 11, 12, 24mapdpglem1 41272 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
2625sseld 3975 . . . 4 (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
2726anim1d 609 . . 3 (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))))
2827reximdv2 3153 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}) → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})))
2923, 28mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3059  {csn 4630  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  -gcsg 18900  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSpanclspn 20867  HLchlt 38949  LHypclh 39584  DVecHcdvh 40678  LCDualclcd 41186  mapdcmpd 41224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38552
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lsatoms 38575  df-lshyp 38576  df-lcv 38618  df-lfl 38657  df-lkr 38685  df-ldual 38723  df-oposet 38775  df-ol 38777  df-oml 38778  df-covers 38865  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-llines 39098  df-lplanes 39099  df-lvols 39100  df-lines 39101  df-psubsp 39103  df-pmap 39104  df-padd 39396  df-lhyp 39588  df-laut 39589  df-ldil 39704  df-ltrn 39705  df-trl 39759  df-tgrp 40343  df-tendo 40355  df-edring 40357  df-dveca 40603  df-disoa 40629  df-dvech 40679  df-dib 40739  df-dic 40773  df-dih 40829  df-doch 40948  df-djh 40995  df-lcdual 41187  df-mapd 41225
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  41304
  Copyright terms: Public domain W3C validator