Theorem mapdpglem2 41273

Description: Lemma for mapdpg 41306. Baer p. 45, lines 1 and 2: "we have (F(x-y))* = Gt where t necessarily belongs to (Fx)*+(Fy)*." (We scope $d 𝑡𝜑 locally to avoid clashes with later substitutions into 𝜑.) (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem2	⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝜑,𝑡

Allowed substitution hints:   ⊕ (𝑡)   𝑈(𝑡)   𝐻(𝑡)   𝐾(𝑡)   𝑉(𝑡)   𝑊(𝑡)

Proof of Theorem mapdpglem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpglem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		mapdpglem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
6		mapdpglem.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
8		mapdpglem2.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
9		mapdpglem.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
10	1, 3, 9	dvhlmod 40710	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
11		mapdpglem.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
12		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
13		mapdpglem.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
14	4, 13	lmodvsubcl 20802	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
15	10, 11, 12, 14	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
16	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15	mapdspex 41268	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (Base‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
17	1, 6, 9	lcdlmod 41192	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
18	7, 8	lspsnid 20889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
19	17, 18	sylan 578	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑡 ∈ (Base‘𝐶)) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
20	19	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → 𝑡 ∈ (𝐽‘{𝑡}))
21		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
22	20, 21	eleqtrrd 2828	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑡 ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))) → 𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})))
23	16, 22, 21	reximssdv 3162	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
24		mapdpglem1.p	. . . . . 6 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
25	1, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 9, 11, 12, 24	mapdpglem1 41272	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ⊆ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
26	25	sseld 3975	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))))
27	26	anim1d 609	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})) → (𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))))
28	27	reximdv2 3153	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}) → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡})))
29	23, 28	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059  {csn 4630  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  -_gcsg 18900  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSpanclspn 20867  HLchlt 38949  LHypclh 39584  DVecHcdvh 40678  LCDualclcd 41186  mapdcmpd 41224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38552

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lsatoms 38575  df-lshyp 38576  df-lcv 38618  df-lfl 38657  df-lkr 38685  df-ldual 38723  df-oposet 38775  df-ol 38777  df-oml 38778  df-covers 38865  df-ats 38866  df-atl 38897  df-cvlat 38921  df-hlat 38950  df-llines 39098  df-lplanes 39099  df-lvols 39100  df-lines 39101  df-psubsp 39103  df-pmap 39104  df-padd 39396  df-lhyp 39588  df-laut 39589  df-ldil 39704  df-ltrn 39705  df-trl 39759  df-tgrp 40343  df-tendo 40355  df-edring 40357  df-dveca 40603  df-disoa 40629  df-dvech 40679  df-dib 40739  df-dic 40773  df-dih 40829  df-doch 40948  df-djh 40995  df-lcdual 41187  df-mapd 41225

This theorem is referenced by:  mapdpglem24  41304