Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem2 40630
Description: Lemma for mapdpg 40663. Baer p. 45, lines 1 and 2: "we have (F(x-y))* = Gt where t necessarily belongs to (Fx)*+(Fy)*." (We scope $d π‘‘πœ‘ locally to avoid clashes with later substitutions into πœ‘.) (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))(π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
Distinct variable groups:   𝑑, βˆ’   𝑑,𝐢   𝑑,𝐽   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ   πœ‘,𝑑
Allowed substitution hints:   βŠ• (𝑑)   π‘ˆ(𝑑)   𝐻(𝑑)   𝐾(𝑑)   𝑉(𝑑)   π‘Š(𝑑)

Proof of Theorem mapdpglem2
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdpglem.u . . . 4 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
4 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
5 mapdpglem.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
6 mapdpglem.c . . . 4 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
7 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜πΆ) = (Baseβ€˜πΆ)
8 mapdpglem2.j . . . 4 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
9 mapdpglem.k . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
101, 3, 9dvhlmod 40067 . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
11 mapdpglem.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
12 mapdpglem.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
13 mapdpglem.s . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
144, 13lmodvsubcl 20522 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
1510, 11, 12, 14syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
161, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 15mapdspex 40625 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (Baseβ€˜πΆ)(π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
171, 6, 9lcdlmod 40549 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
187, 8lspsnid 20609 . . . . . 6 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑑 ∈ (π½β€˜{𝑑}))
1917, 18sylan 580 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΆ)) β†’ 𝑑 ∈ (π½β€˜{𝑑}))
2019adantrr 715 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))) β†’ 𝑑 ∈ (π½β€˜{𝑑}))
21 simprr 771 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))) β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
2220, 21eleqtrrd 2836 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ (Baseβ€˜πΆ) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))) β†’ 𝑑 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})))
2316, 22, 21reximssdv 3172 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}))(π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
24 mapdpglem1.p . . . . . 6 βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
251, 2, 3, 4, 13, 5, 6, 9, 11, 12, 24mapdpglem1 40629 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) βŠ† ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
2625sseld 3981 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑑 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))))
2726anim1d 611 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑑 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑})) β†’ (𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))) ∧ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))))
2827reximdv2 3164 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}))(π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))(π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑})))
2923, 28mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))(π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  -gcsg 18823  LSSumclsm 19504  LModclmod 20475  LSpanclspn 20587  HLchlt 38306  LHypclh 38941  DVecHcdvh 40035  LCDualclcd 40543  mapdcmpd 40581
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lvec 20719  df-lsatoms 37932  df-lshyp 37933  df-lcv 37975  df-lfl 38014  df-lkr 38042  df-ldual 38080  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tgrp 39700  df-tendo 39712  df-edring 39714  df-dveca 39960  df-disoa 39986  df-dvech 40036  df-dib 40096  df-dic 40130  df-dih 40186  df-doch 40305  df-djh 40352  df-lcdual 40544  df-mapd 40582
This theorem is referenced by:  mapdpglem24  40661
  Copyright terms: Public domain W3C validator