Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq4lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdheq4lem 37805
Description: Lemma for mapdheq4 37806. Part (4) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe4.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh.ee (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdheq4lem (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥   ,𝐸   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdheq4lem
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2825 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdh.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 37184 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 mapdhe4.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3810 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
9 mapdh.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 mapdh.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
119, 4, 10lspsncl 19343 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
126, 8, 11syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 mapdhe.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3810 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
159, 4, 10lspsncl 19343 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
166, 14, 15syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17 eqid 2825 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
184, 17lsmcl 19449 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
196, 12, 16, 18syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20 mapdhcl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120eldifad 3810 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
22 mapdh.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
239, 22lmodvsubcl 19271 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
246, 21, 8, 23syl3anc 1494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
259, 4, 10lspsncl 19343 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
266, 24, 25syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
279, 22lmodvsubcl 19271 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
286, 21, 14, 27syl3anc 1494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
299, 4, 10lspsncl 19343 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
306, 28, 29syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
314, 17lsmcl 19449 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
326, 26, 30, 31syl3anc 1494 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
331, 2, 3, 4, 5, 19, 32mapdin 37736 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))))
34 mapdh.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35 eqid 2825 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
361, 2, 3, 4, 17, 34, 35, 5, 12, 16mapdlsm 37738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
37 mapdh.eg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
38 mapdh.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (0g𝐶)
39 mapdh.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
40 mapdhc.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
41 mapdh.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
42 mapdh.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
43 mapdh.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
44 mapdhc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
45 mapdh.mn . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
461, 3, 5dvhlvec 37183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
47 mapdh.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48 mapdh.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
499, 40, 10, 46, 8, 13, 21, 47, 48lspindp2 19502 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5049simpld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5138, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 8, 50mapdhcl 37801 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5237, 51eqeltrrd 2907 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
5338, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 7, 52, 50mapdheq 37802 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5437, 53mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5554simpld 490 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
56 mapdh.ee . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
579, 40, 10, 46, 7, 14, 21, 47, 48lspindp1 19500 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5857simpld 490 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
5938, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 14, 58mapdhcl 37801 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6056, 59eqeltrrd 2907 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
6138, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 13, 60, 58mapdheq 37802 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6256, 61mpbid 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6362simpld 490 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
6455, 63oveq12d 6928 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
6536, 64eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
661, 2, 3, 4, 17, 34, 35, 5, 26, 30mapdlsm 37738 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))
6754simprd 491 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
6862simprd 491 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
6967, 68oveq12d 6928 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
7066, 69eqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
7165, 70ineq12d 4044 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
7233, 71eqtrd 2861 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
739, 22, 40, 17, 10, 46, 21, 48, 47, 7, 13baerlem3 37787 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))
7473fveq2d 6441 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))))
75 eqid 2825 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
761, 34, 5lcdlvec 37665 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 44, 45, 21, 8, 52, 55, 14, 60, 63, 48mapdindp 37745 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 52, 55, 8, 14, 60, 63, 47mapdncol 37744 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
791, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 52, 55, 40, 75, 7mapdn0 37743 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
801, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 60, 63, 40, 75, 13mapdn0 37743 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
8141, 42, 75, 35, 43, 76, 44, 77, 78, 79, 80baerlem3 37787 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
8272, 74, 813eqtr4d 2871 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164  wne 2999  Vcvv 3414  cdif 3795  cin 3797  ifcif 4308  {csn 4399  {cpr 4401  cotp 4407  cmpt 4954  cfv 6127  crio 6870  (class class class)co 6910  1st c1st 7431  2nd c2nd 7432  Basecbs 16229  0gc0g 16460  -gcsg 17785  LSSumclsm 18407  LModclmod 19226  LSubSpclss 19295  LSpanclspn 19337  HLchlt 35424  LHypclh 36058  DVecHcdvh 37152  LCDualclcd 37660  mapdcmpd 37698
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-riotaBAD 35027
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-ot 4408  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-tpos 7622  df-undef 7669  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-fz 12627  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-0g 16462  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-grp 17786  df-minusg 17787  df-sbg 17788  df-subg 17949  df-cntz 18107  df-oppg 18133  df-lsm 18409  df-cmn 18555  df-abl 18556  df-mgp 18851  df-ur 18863  df-ring 18910  df-oppr 18984  df-dvdsr 19002  df-unit 19003  df-invr 19033  df-dvr 19044  df-drng 19112  df-lmod 19228  df-lss 19296  df-lsp 19338  df-lvec 19469  df-lsatoms 35050  df-lshyp 35051  df-lcv 35093  df-lfl 35132  df-lkr 35160  df-ldual 35198  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233  df-tgrp 36817  df-tendo 36829  df-edring 36831  df-dveca 37077  df-disoa 37103  df-dvech 37153  df-dib 37213  df-dic 37247  df-dih 37303  df-doch 37422  df-djh 37469  df-lcdual 37661  df-mapd 37699
This theorem is referenced by:  mapdheq4  37806
  Copyright terms: Public domain W3C validator