Theorem mapdheq4lem 42483

Description: Lemma for mapdheq4 42484. Part (4) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdh.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
mapdh.i	⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
mapdh.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdhc.o	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdh.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdh.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdhc.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
mapdh.mn	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe4.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.xn	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh.yz	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh.eg	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh.ee	⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)

Assertion

Ref	Expression
mapdheq4lem	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,ℎ   ℎ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥, −   ℎ,𝑋,𝑥   ℎ,𝑌,𝑥   𝜑,ℎ   0 ,ℎ   𝐶,ℎ   𝐷,ℎ   ℎ,𝐽   ℎ,𝑀   ℎ,𝑁   𝑅,ℎ   𝑈,ℎ   − ,ℎ   ℎ,𝐺,𝑥   ℎ,𝐸   ℎ,𝑍,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄(ℎ)   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,ℎ)   𝐼(𝑥,ℎ)   𝐾(𝑥,ℎ)   𝑉(𝑥,ℎ)   𝑊(𝑥,ℎ)

Proof of Theorem mapdheq4lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdh.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdh.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdh.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5		mapdh.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
6	1, 3, 5	dvhlmod 41862	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
7		mapdhe4.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
9		mapdh.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdh.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11	9, 4, 10	lspsncl 21079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
12	6, 8, 11	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13		mapdhe.z	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	13	eldifad 3918	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝑉)
15	9, 4, 10	lspsncl 21079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
16	6, 14, 15	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
18	4, 17	lsmcl 21185	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	6, 12, 16, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20		mapdhcl.x	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
21	20	eldifad 3918	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		mapdh.s	. . . . . . . 8 ⊢ − = (-g‘𝑈)
23	9, 22	lmodvsubcl 21009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
24	6, 21, 8, 23	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
25	9, 4, 10	lspsncl 21079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
26	6, 24, 25	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
27	9, 22	lmodvsubcl 21009	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
28	6, 21, 14, 27	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉)
29	9, 4, 10	lspsncl 21079	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
30	6, 28, 29	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	4, 17	lsmcl 21185	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	6, 26, 30, 31	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
33	1, 2, 3, 4, 5, 19, 32	mapdin 42414	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))))
34		mapdh.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
36	1, 2, 3, 4, 17, 34, 35, 5, 12, 16	mapdlsm 42416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
37		mapdh.eg	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
38		mapdh.q	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝐶)
39		mapdh.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd ‘𝑥) = 0 , 𝑄, (℩ℎ ∈ 𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd ‘𝑥)})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st ‘𝑥)) − (2nd ‘𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st ‘𝑥))𝑅ℎ)})))))
40		mapdhc.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
41		mapdh.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
42		mapdh.r	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
43		mapdh.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
44		mapdhc.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
45		mapdh.mn	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
46	1, 3, 5	dvhlvec 41861	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
47		mapdh.yz	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48		mapdh.xn	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
49	9, 40, 10, 46, 8, 13, 21, 47, 48	lspindp2 21240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
50	49	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
51	38, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 8, 50	mapdhcl 42479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
52	37, 51	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
53	38, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 7, 52, 50	mapdheq 42480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
54	37, 53	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
55	54	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
56		mapdh.ee	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
57	9, 40, 10, 46, 7, 14, 21, 47, 48	lspindp1 21238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
58	57	simpld 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
59	38, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 14, 58	mapdhcl 42479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
60	56, 59	eqeltrrd 2864	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐷)
61	38, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 13, 60, 58	mapdheq 42480	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
62	56, 61	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
63	62	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
64	55, 63	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
65	36, 64	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
66	1, 2, 3, 4, 17, 34, 35, 5, 26, 30	mapdlsm 42416	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
67	54	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
68	62	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
69	67, 68	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
70	66, 69	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
71	65, 70	ineq12d 4175	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
72	33, 71	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
73	9, 22, 40, 17, 10, 46, 21, 48, 47, 7, 13	baerlem3 42465	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)}))))
74	73	fveq2d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 − 𝑍)})))))
75		eqid 2763	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
76	1, 34, 5	lcdlvec 42343	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
77	1, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 44, 45, 21, 8, 52, 55, 14, 60, 63, 48	mapdindp 42423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
78	1, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 52, 55, 8, 14, 60, 63, 47	mapdncol 42422	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
79	1, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 52, 55, 40, 75, 7	mapdn0 42421	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
80	1, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 60, 63, 40, 75, 13	mapdn0 42421	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {(0g‘𝐶)}))
81	41, 42, 75, 35, 43, 76, 44, 77, 78, 79, 80	baerlem3 42465	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
82	72, 74, 81	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 − 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∖ cdif 3903   ∩ cin 3905  ifcif 4488  {csn 4590  {cpr 4592  ⟨cotp 4598   ↦ cmpt 5193  ‘cfv 6538  ℩crio 7368  (class class class)co 7412  1^st c1st 7985  2^nd c2nd 7986  Basecbs 17270  0_gc0g 17493  -_gcsg 19003  LSSumclsm 19705  LModclmod 20962  LSubSpclss 21033  LSpanclspn 21073  HLchlt 40102  LHypclh 40736  DVecHcdvh 41830  LCDualclcd 42338  mapdcmpd 42376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39705

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-oppg 19417  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-nzr 20597  df-rlreg 20780  df-domn 20781  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205  df-lsatoms 39728  df-lshyp 39729  df-lcv 39771  df-lfl 39810  df-lkr 39838  df-ldual 39876  df-oposet 39928  df-ol 39930  df-oml 39931  df-covers 40018  df-ats 40019  df-atl 40050  df-cvlat 40074  df-hlat 40103  df-llines 40250  df-lplanes 40251  df-lvols 40252  df-lines 40253  df-psubsp 40255  df-pmap 40256  df-padd 40548  df-lhyp 40740  df-laut 40741  df-ldil 40856  df-ltrn 40857  df-trl 40911  df-tgrp 41495  df-tendo 41507  df-edring 41509  df-dveca 41755  df-disoa 41781  df-dvech 41831  df-dib 41891  df-dic 41925  df-dih 41981  df-doch 42100  df-djh 42147  df-lcdual 42339  df-mapd 42377

This theorem is referenced by:  mapdheq4  42484