Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdheq4lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdheq4lem 39020
Description: Lemma for mapdheq4 39021. Part (4) in [Baer] p. 46. (Contributed by NM, 12-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdh.q 𝑄 = (0g𝐶)
mapdh.i 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
mapdh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdh.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdh.s = (-g𝑈)
mapdhc.o 0 = (0g𝑈)
mapdh.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdh.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdh.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
mapdh.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdh.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdh.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdhc.f (𝜑𝐹𝐷)
mapdh.mn (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
mapdhcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe4.y (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdhe.z (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdh.xn (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
mapdh.yz (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
mapdh.eg (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
mapdh.ee (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
Assertion
Ref Expression
mapdheq4lem (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐷,   ,𝐹,𝑥   𝑥,𝐽   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁   𝑥, 0   𝑥,𝑄   𝑥,𝑅   𝑥,   ,𝑋,𝑥   ,𝑌,𝑥   𝜑,   0 ,   𝐶,   𝐷,   ,𝐽   ,𝑀   ,𝑁   𝑅,   𝑈,   ,   ,𝐺,𝑥   ,𝐸   ,𝑍,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝑄()   𝑈(𝑥)   𝐸(𝑥)   𝐻(𝑥,)   𝐼(𝑥,)   𝐾(𝑥,)   𝑉(𝑥,)   𝑊(𝑥,)

Proof of Theorem mapdheq4lem
StepHypRef Expression
1 mapdh.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdh.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdh.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
4 eqid 2801 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
5 mapdh.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
61, 3, 5dvhlmod 38399 . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
7 mapdhe4.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
87eldifad 3896 . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
9 mapdh.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
10 mapdh.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
119, 4, 10lspsncl 19745 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
126, 8, 11syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
13 mapdhe.z . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
1413eldifad 3896 . . . . . 6 (𝜑𝑍𝑉)
159, 4, 10lspsncl 19745 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑍𝑉) → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
166, 14, 15syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
17 eqid 2801 . . . . . 6 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
184, 17lsmcl 19851 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑍}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
196, 12, 16, 18syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20 mapdhcl.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2120eldifad 3896 . . . . . . 7 (𝜑𝑋𝑉)
22 mapdh.s . . . . . . . 8 = (-g𝑈)
239, 22lmodvsubcl 19675 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
246, 21, 8, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
259, 4, 10lspsncl 19745 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
266, 24, 25syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
279, 22lmodvsubcl 19675 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑍𝑉) → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
286, 21, 14, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉)
299, 4, 10lspsncl 19745 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑍) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
306, 28, 29syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
314, 17lsmcl 19851 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{(𝑋 𝑍)}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
326, 26, 30, 31syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
331, 2, 3, 4, 5, 19, 32mapdin 38951 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))) = ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))))
34 mapdh.c . . . . . 6 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
35 eqid 2801 . . . . . 6 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
361, 2, 3, 4, 17, 34, 35, 5, 12, 16mapdlsm 38953 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))))
37 mapdh.eg . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺)
38 mapdh.q . . . . . . . . 9 𝑄 = (0g𝐶)
39 mapdh.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑥 ∈ V ↦ if((2nd𝑥) = 0 , 𝑄, (𝐷 ((𝑀‘(𝑁‘{(2nd𝑥)})) = (𝐽‘{}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{((1st ‘(1st𝑥)) (2nd𝑥))})) = (𝐽‘{((2nd ‘(1st𝑥))𝑅)})))))
40 mapdhc.o . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑈)
41 mapdh.d . . . . . . . . 9 𝐷 = (Base‘𝐶)
42 mapdh.r . . . . . . . . 9 𝑅 = (-g𝐶)
43 mapdh.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
44 mapdhc.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹𝐷)
45 mapdh.mn . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐹}))
461, 3, 5dvhlvec 38398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
47 mapdh.yz . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
48 mapdh.xn . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ (𝑁‘{𝑌, 𝑍}))
499, 40, 10, 46, 8, 13, 21, 47, 48lspindp2 19903 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}) ∧ ¬ 𝑍 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑌})))
5049simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
5138, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 8, 50mapdhcl 39016 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) ∈ 𝐷)
5237, 51eqeltrrd 2894 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐺𝐷)
5338, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 7, 52, 50mapdheq 39017 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑌⟩) = 𝐺 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))))
5437, 53mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})))
5554simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐺}))
56 mapdh.ee . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸)
579, 40, 10, 46, 7, 14, 21, 47, 48lspindp1 19901 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}) ∧ ¬ 𝑌 ∈ (𝑁‘{𝑋, 𝑍})))
5857simpld 498 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑍}))
5938, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 14, 58mapdhcl 39016 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) ∈ 𝐷)
6056, 59eqeltrrd 2894 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐸𝐷)
6138, 39, 1, 2, 3, 9, 22, 40, 10, 34, 41, 42, 43, 5, 44, 45, 20, 13, 60, 58mapdheq 39017 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐼‘⟨𝑋, 𝐹, 𝑍⟩) = 𝐸 ↔ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
6256, 61mpbid 235 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
6362simpld 498 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑍})) = (𝐽‘{𝐸}))
6455, 63oveq12d 7157 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
6536, 64eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) = ((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})))
661, 2, 3, 4, 17, 34, 35, 5, 26, 30mapdlsm 38953 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))
6754simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)}))
6862simprd 499 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))
6967, 68oveq12d 7157 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
7066, 69eqtrd 2836 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))) = ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)})))
7165, 70ineq12d 4143 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍}))) ∩ (𝑀‘((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
7233, 71eqtrd 2836 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
739, 22, 40, 17, 10, 46, 21, 48, 47, 7, 13baerlem3 39002 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑌 𝑍)}) = (((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)}))))
7473fveq2d 6653 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑍)})) = (𝑀‘(((𝑁‘{𝑌})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑍})) ∩ ((𝑁‘{(𝑋 𝑌)})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{(𝑋 𝑍)})))))
75 eqid 2801 . . 3 (0g𝐶) = (0g𝐶)
761, 34, 5lcdlvec 38880 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
771, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 44, 45, 21, 8, 52, 55, 14, 60, 63, 48mapdindp 38960 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐹 ∈ (𝐽‘{𝐺, 𝐸}))
781, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 52, 55, 8, 14, 60, 63, 47mapdncol 38959 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ≠ (𝐽‘{𝐸}))
791, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 52, 55, 40, 75, 7mapdn0 38958 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
801, 2, 3, 9, 10, 34, 41, 43, 5, 60, 63, 40, 75, 13mapdn0 38958 . . 3 (𝜑𝐸 ∈ (𝐷 ∖ {(0g𝐶)}))
8141, 42, 75, 35, 43, 76, 44, 77, 78, 79, 80baerlem3 39002 . 2 (𝜑 → (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}) = (((𝐽‘{𝐺})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{𝐸})) ∩ ((𝐽‘{(𝐹𝑅𝐺)})(LSSum‘𝐶)(𝐽‘{(𝐹𝑅𝐸)}))))
8272, 74, 813eqtr4d 2846 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑌 𝑍)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝐸)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  Vcvv 3444  cdif 3881  cin 3883  ifcif 4428  {csn 4528  {cpr 4530  cotp 4536  cmpt 5113  cfv 6328  crio 7096  (class class class)co 7139  1st c1st 7673  2nd c2nd 7674  Basecbs 16478  0gc0g 16708  -gcsg 18100  LSSumclsm 18754  LModclmod 19630  LSubSpclss 19699  LSpanclspn 19739  HLchlt 36639  LHypclh 37273  DVecHcdvh 38367  LCDualclcd 38875  mapdcmpd 38913
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-riotaBAD 36242
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-tpos 7879  df-undef 7926  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-0g 16710  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-proset 17533  df-poset 17551  df-plt 17563  df-lub 17579  df-glb 17580  df-join 17581  df-meet 17582  df-p0 17644  df-p1 17645  df-lat 17651  df-clat 17713  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-subg 18271  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-lsm 18756  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lvec 19871  df-lsatoms 36265  df-lshyp 36266  df-lcv 36308  df-lfl 36347  df-lkr 36375  df-ldual 36413  df-oposet 36465  df-ol 36467  df-oml 36468  df-covers 36555  df-ats 36556  df-atl 36587  df-cvlat 36611  df-hlat 36640  df-llines 36787  df-lplanes 36788  df-lvols 36789  df-lines 36790  df-psubsp 36792  df-pmap 36793  df-padd 37085  df-lhyp 37277  df-laut 37278  df-ldil 37393  df-ltrn 37394  df-trl 37448  df-tgrp 38032  df-tendo 38044  df-edring 38046  df-dveca 38292  df-disoa 38318  df-dvech 38368  df-dib 38428  df-dic 38462  df-dih 38518  df-doch 38637  df-djh 38684  df-lcdual 38876  df-mapd 38914
This theorem is referenced by:  mapdheq4  39021
  Copyright terms: Public domain W3C validator