Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem8 39305
Description: Lemma for mapdpg 39332. Baer p. 45, line 4: "...so that (F(x-y))* <= (Fy)*. This would imply that F(x-y) <= F(y)..." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem4.g0 (𝜑𝑔 = 0 )
Assertion
Ref Expression
mapdpglem8 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem8
StepHypRef Expression
1 mapdpglem4.jt . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
2 eqid 2738 . . . 4 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
3 mapdpglem2.j . . . 4 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
4 mapdpglem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 mapdpglem.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdpglem.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6lcdlmod 39218 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
8 mapdpglem.m . . . . 5 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpglem.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2738 . . . . 5 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
114, 9, 6dvhlmod 38736 . . . . . 6 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 mapdpglem.y . . . . . 6 (𝜑𝑌𝑉)
13 mapdpglem.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑈)
14 mapdpglem.n . . . . . . 7 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
1513, 10, 14lspsncl 19861 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
1611, 12, 15syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
174, 8, 9, 10, 5, 2, 6, 16mapdcl2 39282 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
18 mapdpglem.s . . . . 5 = (-g𝑈)
19 mapdpglem.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
20 mapdpglem1.p . . . . 5 = (LSSum‘𝐶)
21 mapdpglem3.f . . . . 5 𝐹 = (Base‘𝐶)
22 mapdpglem3.te . . . . 5 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
23 mapdpglem3.a . . . . 5 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
24 mapdpglem3.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
25 mapdpglem3.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐶)
26 mapdpglem3.r . . . . 5 𝑅 = (-g𝐶)
27 mapdpglem3.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
28 mapdpglem3.e . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
29 mapdpglem4.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝑈)
30 mapdpglem.ne . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
31 mapdpglem4.z . . . . 5 0 = (0g𝐴)
32 mapdpglem4.g4 . . . . 5 (𝜑𝑔𝐵)
33 mapdpglem4.z4 . . . . 5 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
34 mapdpglem4.t4 . . . . 5 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
35 mapdpglem4.xn . . . . 5 (𝜑𝑋𝑄)
36 mapdpglem4.g0 . . . . 5 (𝜑𝑔 = 0 )
374, 8, 9, 13, 18, 14, 5, 6, 19, 12, 20, 3, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 1, 31, 32, 33, 34, 35, 36mapdpglem6 39304 . . . 4 (𝜑𝑡 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
382, 3, 7, 17, 37lspsnel5a 19880 . . 3 (𝜑 → (𝐽‘{𝑡}) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
391, 38eqsstrd 3913 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
4013, 18lmodvsubcl 19791 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
4111, 19, 12, 40syl3anc 1372 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
4213, 10, 14lspsncl 19861 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4311, 41, 42syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
444, 9, 10, 8, 6, 43, 16mapdord 39264 . 2 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌})))
4539, 44mpbid 235 1 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ (𝑁‘{𝑌}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wne 2934  wss 3841  {csn 4513  cfv 6333  (class class class)co 7164  Basecbs 16579  Scalarcsca 16664   ·𝑠 cvsca 16665  0gc0g 16809  -gcsg 18214  LSSumclsm 18870  LModclmod 19746  LSubSpclss 19815  LSpanclspn 19855  HLchlt 36976  LHypclh 37610  DVecHcdvh 38704  LCDualclcd 39212  mapdcmpd 39250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-riotaBAD 36579
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-tpos 7914  df-undef 7961  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-0g 16811  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-proset 17647  df-poset 17665  df-plt 17677  df-lub 17693  df-glb 17694  df-join 17695  df-meet 17696  df-p0 17758  df-p1 17759  df-lat 17765  df-clat 17827  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-subg 18387  df-cntz 18558  df-oppg 18585  df-lsm 18872  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-ring 19411  df-oppr 19488  df-dvdsr 19506  df-unit 19507  df-invr 19537  df-dvr 19548  df-drng 19616  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-lsp 19856  df-lvec 19987  df-lsatoms 36602  df-lshyp 36603  df-lcv 36645  df-lfl 36684  df-lkr 36712  df-ldual 36750  df-oposet 36802  df-ol 36804  df-oml 36805  df-covers 36892  df-ats 36893  df-atl 36924  df-cvlat 36948  df-hlat 36977  df-llines 37124  df-lplanes 37125  df-lvols 37126  df-lines 37127  df-psubsp 37129  df-pmap 37130  df-padd 37422  df-lhyp 37614  df-laut 37615  df-ldil 37730  df-ltrn 37731  df-trl 37785  df-tgrp 38369  df-tendo 38381  df-edring 38383  df-dveca 38629  df-disoa 38655  df-dvech 38705  df-dib 38765  df-dic 38799  df-dih 38855  df-doch 38974  df-djh 39021  df-lcdual 39213  df-mapd 39251
This theorem is referenced by:  mapdpglem9  39306
  Copyright terms: Public domain W3C validator