Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem1 41654
Description: Lemma for mapdpg 41688. Baer p. 44, last line: "(F(x-y))* <= (Fx)*+(Fy)*." (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem mapdpglem1
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 mapdpglem.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3 mapdpglem.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 41092 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
5 mapdpglem.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
6 mapdpglem.y . . . 4 (𝜑𝑌𝑉)
7 mapdpglem.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
8 mapdpglem.s . . . . 5 = (-g𝑈)
9 eqid 2734 . . . . 5 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
10 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
117, 8, 9, 10lspsntrim 21114 . . . 4 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
124, 5, 6, 11syl3anc 1370 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
13 eqid 2734 . . . 4 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
14 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
157, 8lmodvsubcl 20921 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉𝑌𝑉) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
164, 5, 6, 15syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉)
177, 13, 10lspsncl 20992 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
184, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
197, 13, 10lspsncl 20992 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
204, 5, 19syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
217, 13, 10lspsncl 20992 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
224, 6, 21syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
2313, 9lsmcl 21099 . . . . 5 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
244, 20, 22, 23syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
251, 2, 13, 14, 3, 18, 24mapdord 41620 . . 3 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{(𝑋 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
2612, 25mpbird 257 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
27 mapdpglem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
28 mapdpglem1.p . . 3 = (LSSum‘𝐶)
291, 14, 2, 13, 9, 27, 28, 3, 20, 22mapdlsm 41646 . 2 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
3026, 29sseqtrd 4035 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) ⊆ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wss 3962  {csn 4630  cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  -gcsg 18965  LSSumclsm 19666  LModclmod 20874  LSubSpclss 20946  LSpanclspn 20986  HLchlt 39331  LHypclh 39966  DVecHcdvh 41060  LCDualclcd 41568  mapdcmpd 41606
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-riotaBAD 38934
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-undef 8296  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17487  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-lub 18403  df-glb 18404  df-join 18405  df-meet 18406  df-p0 18482  df-p1 18483  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-cntz 19347  df-oppg 19376  df-lsm 19668  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-nzr 20529  df-rlreg 20710  df-domn 20711  df-drng 20747  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lsp 20987  df-lvec 21119  df-lsatoms 38957  df-lshyp 38958  df-lcv 39000  df-lfl 39039  df-lkr 39067  df-ldual 39105  df-oposet 39157  df-ol 39159  df-oml 39160  df-covers 39247  df-ats 39248  df-atl 39279  df-cvlat 39303  df-hlat 39332  df-llines 39480  df-lplanes 39481  df-lvols 39482  df-lines 39483  df-psubsp 39485  df-pmap 39486  df-padd 39778  df-lhyp 39970  df-laut 39971  df-ldil 40086  df-ltrn 40087  df-trl 40141  df-tgrp 40725  df-tendo 40737  df-edring 40739  df-dveca 40985  df-disoa 41011  df-dvech 41061  df-dib 41121  df-dic 41155  df-dih 41211  df-doch 41330  df-djh 41377  df-lcdual 41569  df-mapd 41607
This theorem is referenced by:  mapdpglem2  41655
  Copyright terms: Public domain W3C validator