Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem1 41177
Description: Lemma for mapdpg 41211. Baer p. 44, last line: "(F(x-y))* <= (Fx)*+(Fy)*." (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) βŠ† ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))

Proof of Theorem mapdpglem1
StepHypRef Expression
1 mapdpglem.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 mapdpglem.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 mapdpglem.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3dvhlmod 40615 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
5 mapdpglem.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
6 mapdpglem.y . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
7 mapdpglem.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
8 mapdpglem.s . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2728 . . . . 5 (LSSumβ€˜π‘ˆ) = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
10 mapdpglem.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
117, 8, 9, 10lspsntrim 20990 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})))
124, 5, 6, 11syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})))
13 eqid 2728 . . . 4 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
14 mapdpglem.m . . . 4 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
157, 8lmodvsubcl 20797 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
164, 5, 6, 15syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉)
177, 13, 10lspsncl 20868 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
184, 16, 17syl2anc 582 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
197, 13, 10lspsncl 20868 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
204, 5, 19syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
217, 13, 10lspsncl 20868 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
224, 6, 21syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
2313, 9lsmcl 20975 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ) ∧ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ)) β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
244, 20, 22, 23syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
251, 2, 13, 14, 3, 18, 24mapdord 41143 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) βŠ† (π‘€β€˜((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))) ↔ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))))
2612, 25mpbird 256 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) βŠ† (π‘€β€˜((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))))
27 mapdpglem.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
28 mapdpglem1.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
291, 14, 2, 13, 9, 27, 28, 3, 20, 22mapdlsm 41169 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ}))) = ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
3026, 29sseqtrd 4022 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) βŠ† ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3949  {csn 4632  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  -gcsg 18899  LSSumclsm 19596  LModclmod 20750  LSubSpclss 20822  LSpanclspn 20862  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  LCDualclcd 41091  mapdcmpd 41129
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lshyp 38481  df-lcv 38523  df-lfl 38562  df-lkr 38590  df-ldual 38628  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tgrp 40248  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-dveca 40508  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853  df-djh 40900  df-lcdual 41092  df-mapd 41130
This theorem is referenced by:  mapdpglem2  41178
  Copyright terms: Public domain W3C validator