Theorem mapdpglem1 42474

Description: Lemma for mapdpg 42508. Baer p. 44, last line: "(F(x-y))* <= (Fx)*+(Fy)*." (Contributed by NM, 15-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem1	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ⊆ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))

Proof of Theorem mapdpglem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpglem.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		mapdpglem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		mapdpglem.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	dvhlmod 41912	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
5		mapdpglem.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
6		mapdpglem.y	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
7		mapdpglem.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
8		mapdpglem.s	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑈)
9		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
10		mapdpglem.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11	7, 8, 9, 10	lspsntrim 21230	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1397	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
13		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
14		mapdpglem.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
15	7, 8	lmodvsubcl 21039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
16	4, 5, 6, 15	syl3anc 1397	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉)
17	7, 13, 10	lspsncl 21109	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
18	4, 16, 17	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
19	7, 13, 10	lspsncl 21109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
20	4, 5, 19	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
21	7, 13, 10	lspsncl 21109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
22	4, 6, 21	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
23	13, 9	lsmcl 21215	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
24	4, 20, 22, 23	syl3anc 1397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
25	1, 2, 13, 14, 3, 18, 24	mapdord 42440	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) ↔ (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
26	12, 25	mpbird 260	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ⊆ (𝑀‘((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))))
27		mapdpglem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
28		mapdpglem1.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
29	1, 14, 2, 13, 9, 27, 28, 3, 20, 22	mapdlsm 42466	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
30	26, 29	sseqtrd 3972	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) ⊆ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  {csn 4588  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  -_gcsg 19008  LSSumclsm 19710  LModclmod 20992  LSubSpclss 21063  LSpanclspn 21103  HLchlt 40152  LHypclh 40786  DVecHcdvh 41880  LCDualclcd 42388  mapdcmpd 42426

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-riotaBAD 39755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-undef 8267  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-0g 17500  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-proset 18356  df-poset 18375  df-plt 18390  df-lub 18406  df-glb 18407  df-join 18408  df-meet 18409  df-p0 18485  df-p1 18486  df-lat 18494  df-clat 18561  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-subg 19195  df-cntz 19393  df-oppg 19422  df-lsm 19712  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-nzr 20621  df-rlreg 20804  df-domn 20805  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lss 21064  df-lsp 21104  df-lvec 21235  df-lsatoms 39778  df-lshyp 39779  df-lcv 39821  df-lfl 39860  df-lkr 39888  df-ldual 39926  df-oposet 39978  df-ol 39980  df-oml 39981  df-covers 40068  df-ats 40069  df-atl 40100  df-cvlat 40124  df-hlat 40153  df-llines 40300  df-lplanes 40301  df-lvols 40302  df-lines 40303  df-psubsp 40305  df-pmap 40306  df-padd 40598  df-lhyp 40790  df-laut 40791  df-ldil 40906  df-ltrn 40907  df-trl 40961  df-tgrp 41545  df-tendo 41557  df-edring 41559  df-dveca 41805  df-disoa 41831  df-dvech 41881  df-dib 41941  df-dic 41975  df-dih 42031  df-doch 42150  df-djh 42197  df-lcdual 42389  df-mapd 42427

This theorem is used by:  mapdpglem2  42475