MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdilem 26688
Description: Lemma for lgsdi 26698 and lgsdir 26696: the sign part of the Legendre symbol is multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdilem (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)))

Proof of Theorem lgsdilem
StepHypRef Expression
1 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
21biantrud 533 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)))
3 0re 11164 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„
4 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
54zred 12614 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
65adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 ltlen 11263 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)))
83, 6, 7sylancr 588 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (0 โ‰ค ๐ต โˆง ๐ต โ‰  0)))
9 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
109zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1110adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1211renegcld 11589 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„)
1312recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ -๐ด โˆˆ โ„‚)
1413mul01d 11361 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด ยท 0) = 0)
1511recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
166recnd 11190 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1715, 16mulneg1d 11615 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (-๐ด ยท ๐ต) = -(๐ด ยท ๐ต))
1814, 17breq12d 5123 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((-๐ด ยท 0) < (-๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 < -(๐ด ยท ๐ต)))
19 0red 11165 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2010lt0neg1d 11731 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐ด))
2120biimpa 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ 0 < -๐ด)
22 ltmul2 12013 . . . . . . . . . . . 12 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (-๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < -๐ด)) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (-๐ด ยท 0) < (-๐ด ยท ๐ต)))
2319, 6, 12, 21, 22syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (-๐ด ยท 0) < (-๐ด ยท ๐ต)))
2410, 5remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) โˆˆ โ„)
2625lt0neg1d 11731 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” 0 < -(๐ด ยท ๐ต)))
2718, 23, 263bitr4d 311 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (0 < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ต) < 0))
282, 8, 273bitr2rd 308 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” 0 โ‰ค ๐ต))
29 lenlt 11240 . . . . . . . . . 10 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ยฌ ๐ต < 0))
303, 6, 29sylancr 588 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ยฌ ๐ต < 0))
3128, 30bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” ยฌ ๐ต < 0))
3231ifbid 4514 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1) = if(ยฌ ๐ต < 0, -1, 1))
33 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (if(๐ต < 0, -1, 1) = -1 โ†’ (-1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = (-1 ยท -1))
34 neg1mulneg1e1 12373 . . . . . . . . . 10 (-1 ยท -1) = 1
3533, 34eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (if(๐ต < 0, -1, 1) = -1 โ†’ (-1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = 1)
36 oveq2 7370 . . . . . . . . . 10 (if(๐ต < 0, -1, 1) = 1 โ†’ (-1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = (-1 ยท 1))
37 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . 11 1 โˆˆ โ„‚
3837mulm1i 11607 . . . . . . . . . 10 (-1 ยท 1) = -1
3936, 38eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (if(๐ต < 0, -1, 1) = 1 โ†’ (-1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = -1)
4035, 39ifsb 4504 . . . . . . . 8 (-1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = if(๐ต < 0, 1, -1)
41 ifnot 4543 . . . . . . . 8 if(ยฌ ๐ต < 0, -1, 1) = if(๐ต < 0, 1, -1)
4240, 41eqtr4i 2768 . . . . . . 7 (-1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = if(ยฌ ๐ต < 0, -1, 1)
4332, 42eqtr4di 2795 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1) = (-1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)))
44 iftrue 4497 . . . . . . . 8 (๐ด < 0 โ†’ if(๐ด < 0, -1, 1) = -1)
4544adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ if(๐ด < 0, -1, 1) = -1)
4645oveq1d 7377 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = (-1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)))
4743, 46eqtr4d 2780 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐ด < 0) โ†’ if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท if(๐ต < 0, -1, 1)))
48 iffalse 4500 . . . . . . . 8 (ยฌ ๐ด < 0 โ†’ if(๐ด < 0, -1, 1) = 1)
4948adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ if(๐ด < 0, -1, 1) = 1)
5049oveq1d 7377 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = (1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)))
51 neg1cn 12274 . . . . . . . . 9 -1 โˆˆ โ„‚
5251, 37ifcli 4538 . . . . . . . 8 if(๐ต < 0, -1, 1) โˆˆ โ„‚
5352mulid2i 11167 . . . . . . 7 (1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = if(๐ต < 0, -1, 1)
545adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
55 0red 11165 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
5610adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
57 lenlt 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < 0))
583, 10, 57sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” ยฌ ๐ด < 0))
5958biimpar 479 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
60 simplrl 776 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โ‰  0)
6156, 59, 60ne0gt0d 11299 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ 0 < ๐ด)
62 ltmul2 12013 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ด)) โ†’ (๐ต < 0 โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท 0)))
6354, 55, 56, 61, 62syl112anc 1375 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ (๐ต < 0 โ†” (๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท 0)))
6456recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6564mul01d 11361 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ (๐ด ยท 0) = 0)
6665breq2d 5122 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ด ยท 0) โ†” (๐ด ยท ๐ต) < 0))
6763, 66bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ (๐ต < 0 โ†” (๐ด ยท ๐ต) < 0))
6867ifbid 4514 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ if(๐ต < 0, -1, 1) = if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1))
6953, 68eqtrid 2789 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ (1 ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1))
7050, 69eqtr2d 2778 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐ด < 0) โ†’ if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท if(๐ต < 0, -1, 1)))
7147, 70pm2.61dan 812 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท if(๐ต < 0, -1, 1)))
7271adantr 482 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1) = (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท if(๐ต < 0, -1, 1)))
73 simpr 486 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ๐‘ < 0)
7473biantrurd 534 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < 0 โ†” (๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0)))
7574ifbid 4514 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ if((๐ด ยท ๐ต) < 0, -1, 1) = if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1))
7673biantrurd 534 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (๐ด < 0 โ†” (๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0)))
7776ifbid 4514 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ if(๐ด < 0, -1, 1) = if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1))
7873biantrurd 534 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (๐ต < 0 โ†” (๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0)))
7978ifbid 4514 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ if(๐ต < 0, -1, 1) = if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1))
8077, 79oveq12d 7380 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ (if(๐ด < 0, -1, 1) ยท if(๐ต < 0, -1, 1)) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)))
8172, 75, 803eqtr3d 2785 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ๐‘ < 0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)))
82 simpr 486 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ ยฌ ๐‘ < 0)
8382intnanrd 491 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ ยฌ (๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0))
8483iffalsed 4502 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) = 1)
85 1t1e1 12322 . . . 4 (1 ยท 1) = 1
8684, 85eqtr4di 2795 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) = (1 ยท 1))
8782intnanrd 491 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ ยฌ (๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0))
8887iffalsed 4502 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) = 1)
8982intnanrd 491 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ ยฌ (๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0))
9089iffalsed 4502 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1) = 1)
9188, 90oveq12d 7380 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)) = (1 ยท 1))
9286, 91eqtr4d 2780 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โˆง ยฌ ๐‘ < 0) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)))
9381, 92pm2.61dan 812 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐ด โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ if((๐‘ < 0 โˆง (๐ด ยท ๐ต) < 0), -1, 1) = (if((๐‘ < 0 โˆง ๐ด < 0), -1, 1) ยท if((๐‘ < 0 โˆง ๐ต < 0), -1, 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  ifcif 4491   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197  -cneg 11393  โ„คcz 12506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-z 12507
This theorem is referenced by:  lgsdir  26696  lgsdi  26698
  Copyright terms: Public domain W3C validator