Theorem lgsdilem 27543

Description: Lemma for lgsdi 27553 and lgsdir 27551: the sign part of the Legendre symbol is multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdilem	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))

Proof of Theorem lgsdilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 790	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
2	1	biantrud 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
3		0re 11229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	zred 12720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		ltlen 11330	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
8	3, 6, 7	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
9		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
10	9	zred 12720	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	renegcld 11660	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
14	13	mul01d 11428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 0) = 0)
15	11	recnd 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	6	recnd 11256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16	mulneg1d 11686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
18	14, 17	breq12d 5124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
19		0red 11230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
20	10	lt0neg1d 11802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
21	20	biimpa 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
22		ltmul2 12085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)) → (0 < 𝐵 ↔ (-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵)))
23	19, 6, 12, 21, 22	syl112anc 1401	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵)))
24	10, 5	remulcld 11258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
25	24	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
26	25	lt0neg1d 11802	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
27	18, 23, 26	3bitr4d 314	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
28	2, 8, 27	3bitr2rd 311	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 ≤ 𝐵))
29		lenlt 11307	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
30	3, 6, 29	sylancr 599	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
31	28, 30	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
32	31	ifbid 4513	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1))
33		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝐵 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · -1))
34		neg1mulneg1e1 12475	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · -1) = 1
35	33, 34	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝐵 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = 1)
36		oveq2 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝐵 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · 1))
37		ax-1cn 11177	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37	mulm1i 11678	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · 1) = -1
39	36, 38	eqtrdi 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝐵 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = -1)
40	35, 39	ifsb 4503	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(𝐵 < 0, 1, -1)
41		ifnot 4542	. . . . . . . 8 ⊢ if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1) = if(𝐵 < 0, 1, -1)
42	40, 41	eqtr4i 2791	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1)
43	32, 42	eqtr4di 2818	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
44		iftrue 4495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
45	44	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
46	45	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
47	43, 46	eqtr4d 2803	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
48		iffalse 4498	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
49	48	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
50	49	oveq1d 7434	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
51		neg1cn 12222	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
52	51, 37	ifcli 4537	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐵 < 0, -1, 1) ∈ ℂ
53	52	mullidi 11233	. . . . . . 7 ⊢ (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(𝐵 < 0, -1, 1)
54	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
55		0red 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
56	10	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
57		lenlt 11307	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
58	3, 10, 57	sylancr 599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
59	58	biimpar 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ≤ 𝐴)
60		simplrl 789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
61	56, 59, 60	ne0gt0d 11366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐴)
62		ltmul2 12085	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0)))
63	54, 55, 56, 61, 62	syl112anc 1401	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0)))
64	56	recnd 11256	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65	64	mul01d 11428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 0) = 0)
66	65	breq2d 5123	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
67	63, 66	bitrd 282	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
68	67	ifbid 4513	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐵 < 0, -1, 1) = if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1))
69	53, 68	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1))
70	50, 69	eqtr2d 2801	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
71	47, 70	pm2.61dan 825	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
72	71	adantr 486	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
73		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
74	73	biantrurd 542	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0)))
75	74	ifbid 4513	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1))
76	73	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
77	76	ifbid 4513	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
78	73	biantrurd 542	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0)))
79	78	ifbid 4513	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if(𝐵 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1))
80	77, 79	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
81	72, 75, 80	3eqtr3d 2808	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
82		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ 𝑁 < 0)
83	82	intnanrd 495	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0))
84	83	iffalsed 4500	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = 1)
85		1t1e1 12421	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
86	84, 85	eqtr4di 2818	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (1 · 1))
87	82	intnanrd 495	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
88	87	iffalsed 4500	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
89	82	intnanrd 495	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0))
90	89	iffalsed 4500	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) = 1)
91	88, 90	oveq12d 7437	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) = (1 · 1))
92	86, 91	eqtr4d 2803	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
93	81, 92	pm2.61dan 825	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ifcif 4489   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℂcc 11117  ℝcr 11118  0cc0 11119  1c1 11120   · cmul 11124   < clt 11262   ≤ cle 11263  -cneg 11461  ℤcz 12610

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11176  ax-1cn 11177  ax-icn 11178  ax-addcl 11179  ax-addrcl 11180  ax-mulcl 11181  ax-mulrcl 11182  ax-mulcom 11183  ax-addass 11184  ax-mulass 11185  ax-distr 11186  ax-i2m1 11187  ax-1ne0 11188  ax-1rid 11189  ax-rnegex 11190  ax-rrecex 11191  ax-cnre 11192  ax-pre-lttri 11193  ax-pre-lttrn 11194  ax-pre-ltadd 11195  ax-pre-mulgt0 11196

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11462  df-neg 11463  df-z 12611

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