Theorem lgsdilem 27295

Description: Lemma for lgsdi 27305 and lgsdir 27303: the sign part of the Legendre symbol is multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdilem	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))

Proof of Theorem lgsdilem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
2	1	biantrud 531	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
3		0re 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
5	4	zred 12600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
7		ltlen 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
8	3, 6, 7	sylancr 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 0)))
9		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
10	9	zred 12600	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
12	11	renegcld 11568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
13	12	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
14	13	mul01d 11336	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 0) = 0)
15	11	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
16	6	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
17	15, 16	mulneg1d 11594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
18	14, 17	breq12d 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
19		0red 11139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
20	10	lt0neg1d 11710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
21	20	biimpa 476	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
22		ltmul2 11996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)) → (0 < 𝐵 ↔ (-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵)))
23	19, 6, 12, 21, 22	syl112anc 1377	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵)))
24	10, 5	remulcld 11166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
25	24	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
26	25	lt0neg1d 11710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
27	18, 23, 26	3bitr4d 311	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
28	2, 8, 27	3bitr2rd 308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 ≤ 𝐵))
29		lenlt 11215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
30	3, 6, 29	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
31	28, 30	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
32	31	ifbid 4504	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1))
33		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝐵 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · -1))
34		neg1mulneg1e1 12357	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · -1) = 1
35	33, 34	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝐵 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = 1)
36		oveq2 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝐵 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · 1))
37		ax-1cn 11088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
38	37	mulm1i 11586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (-1 · 1) = -1
39	36, 38	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (if(𝐵 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = -1)
40	35, 39	ifsb 4494	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(𝐵 < 0, 1, -1)
41		ifnot 4533	. . . . . . . 8 ⊢ if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1) = if(𝐵 < 0, 1, -1)
42	40, 41	eqtr4i 2763	. . . . . . 7 ⊢ (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1)
43	32, 42	eqtr4di 2790	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
44		iftrue 4486	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
45	44	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
46	45	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
47	43, 46	eqtr4d 2775	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
48		iffalse 4489	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
49	48	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
50	49	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
51		neg1cn 12134	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
52	51, 37	ifcli 4528	. . . . . . . 8 ⊢ if(𝐵 < 0, -1, 1) ∈ ℂ
53	52	mullidi 11141	. . . . . . 7 ⊢ (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(𝐵 < 0, -1, 1)
54	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
55		0red 11139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
56	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
57		lenlt 11215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
58	3, 10, 57	sylancr 588	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
59	58	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ≤ 𝐴)
60		simplrl 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
61	56, 59, 60	ne0gt0d 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐴)
62		ltmul2 11996	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0)))
63	54, 55, 56, 61, 62	syl112anc 1377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0)))
64	56	recnd 11164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
65	64	mul01d 11336	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 0) = 0)
66	65	breq2d 5111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
67	63, 66	bitrd 279	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
68	67	ifbid 4504	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐵 < 0, -1, 1) = if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1))
69	53, 68	eqtrid 2784	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1))
70	50, 69	eqtr2d 2773	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
71	47, 70	pm2.61dan 813	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
72	71	adantr 480	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
73		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
74	73	biantrurd 532	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0)))
75	74	ifbid 4504	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1))
76	73	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
77	76	ifbid 4504	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
78	73	biantrurd 532	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0)))
79	78	ifbid 4504	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if(𝐵 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1))
80	77, 79	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
81	72, 75, 80	3eqtr3d 2780	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
82		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ 𝑁 < 0)
83	82	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0))
84	83	iffalsed 4491	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = 1)
85		1t1e1 12306	. . . 4 ⊢ (1 · 1) = 1
86	84, 85	eqtr4di 2790	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (1 · 1))
87	82	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
88	87	iffalsed 4491	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
89	82	intnanrd 489	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0))
90	89	iffalsed 4491	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) = 1)
91	88, 90	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) = (1 · 1))
92	86, 91	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
93	81, 92	pm2.61dan 813	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ifcif 4480   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   · cmul 11035   < clt 11170   ≤ cle 11171  -cneg 11369  ℤcz 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-z 12493

This theorem is referenced by:  lgsdir  27303  lgsdi  27305