MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgsdilem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgsdilem 27368
Description: Lemma for lgsdi 27378 and lgsdir 27376: the sign part of the Legendre symbol is multiplicative. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
lgsdilem (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))

Proof of Theorem lgsdilem
StepHypRef Expression
1 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ≠ 0)
21biantrud 531 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵𝐵 ≠ 0)))
3 0re 11263 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
4 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℤ)
54zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐵 ∈ ℝ)
65adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
7 ltlen 11362 . . . . . . . . . . 11 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵𝐵 ≠ 0)))
83, 6, 7sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (0 ≤ 𝐵𝐵 ≠ 0)))
9 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℤ)
109zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → 𝐴 ∈ ℝ)
1110adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
1211renegcld 11690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℝ)
1312recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → -𝐴 ∈ ℂ)
1413mul01d 11460 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 0) = 0)
1511recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
166recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℂ)
1715, 16mulneg1d 11716 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (-𝐴 · 𝐵) = -(𝐴 · 𝐵))
1814, 17breq12d 5156 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵) ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
19 0red 11264 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
2010lt0neg1d 11832 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 < 0 ↔ 0 < -𝐴))
2120biimpa 476 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → 0 < -𝐴)
22 ltmul2 12118 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (-𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < -𝐴)) → (0 < 𝐵 ↔ (-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵)))
2319, 6, 12, 21, 22syl112anc 1376 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (-𝐴 · 0) < (-𝐴 · 𝐵)))
2410, 5remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2524adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℝ)
2625lt0neg1d 11832 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 < -(𝐴 · 𝐵)))
2718, 23, 263bitr4d 311 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 < 𝐵 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
282, 8, 273bitr2rd 308 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ 0 ≤ 𝐵))
29 lenlt 11339 . . . . . . . . . 10 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
303, 6, 29sylancr 587 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (0 ≤ 𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
3128, 30bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ ¬ 𝐵 < 0))
3231ifbid 4549 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1))
33 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (if(𝐵 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · -1))
34 neg1mulneg1e1 12479 . . . . . . . . . 10 (-1 · -1) = 1
3533, 34eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (if(𝐵 < 0, -1, 1) = -1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = 1)
36 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (if(𝐵 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · 1))
37 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
3837mulm1i 11708 . . . . . . . . . 10 (-1 · 1) = -1
3936, 38eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (if(𝐵 < 0, -1, 1) = 1 → (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = -1)
4035, 39ifsb 4539 . . . . . . . 8 (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(𝐵 < 0, 1, -1)
41 ifnot 4578 . . . . . . . 8 if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1) = if(𝐵 < 0, 1, -1)
4240, 41eqtr4i 2768 . . . . . . 7 (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(¬ 𝐵 < 0, -1, 1)
4332, 42eqtr4di 2795 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
44 iftrue 4531 . . . . . . . 8 (𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
4544adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = -1)
4645oveq1d 7446 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (-1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
4743, 46eqtr4d 2780 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
48 iffalse 4534 . . . . . . . 8 𝐴 < 0 → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
4948adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = 1)
5049oveq1d 7446 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
51 neg1cn 12380 . . . . . . . . 9 -1 ∈ ℂ
5251, 37ifcli 4573 . . . . . . . 8 if(𝐵 < 0, -1, 1) ∈ ℂ
5352mullidi 11266 . . . . . . 7 (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if(𝐵 < 0, -1, 1)
545adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐵 ∈ ℝ)
55 0red 11264 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ∈ ℝ)
5610adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
57 lenlt 11339 . . . . . . . . . . . . 13 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
583, 10, 57sylancr 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (0 ≤ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 < 0))
5958biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 ≤ 𝐴)
60 simplrl 777 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
6156, 59, 60ne0gt0d 11398 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 0 < 𝐴)
62 ltmul2 12118 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴)) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0)))
6354, 55, 56, 61, 62syl112anc 1376 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0)))
6456recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → 𝐴 ∈ ℂ)
6564mul01d 11460 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐴 · 0) = 0)
6665breq2d 5155 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐴 · 0) ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
6763, 66bitrd 279 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝐴 · 𝐵) < 0))
6867ifbid 4549 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if(𝐵 < 0, -1, 1) = if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1))
6953, 68eqtrid 2789 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → (1 · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1))
7050, 69eqtr2d 2778 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝐴 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
7147, 70pm2.61dan 813 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
7271adantr 480 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)))
73 simpr 484 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → 𝑁 < 0)
7473biantrurd 532 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → ((𝐴 · 𝐵) < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0)))
7574ifbid 4549 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝐴 · 𝐵) < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1))
7673biantrurd 532 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (𝐴 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0)))
7776ifbid 4549 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if(𝐴 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1))
7873biantrurd 532 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (𝐵 < 0 ↔ (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0)))
7978ifbid 4549 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if(𝐵 < 0, -1, 1) = if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1))
8077, 79oveq12d 7449 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → (if(𝐴 < 0, -1, 1) · if(𝐵 < 0, -1, 1)) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
8172, 75, 803eqtr3d 2785 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
82 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ 𝑁 < 0)
8382intnanrd 489 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0))
8483iffalsed 4536 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = 1)
85 1t1e1 12428 . . . 4 (1 · 1) = 1
8684, 85eqtr4di 2795 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (1 · 1))
8782intnanrd 489 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0))
8887iffalsed 4536 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) = 1)
8982intnanrd 489 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → ¬ (𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0))
9089iffalsed 4536 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1) = 1)
9188, 90oveq12d 7449 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)) = (1 · 1))
9286, 91eqtr4d 2780 . 2 ((((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) ∧ ¬ 𝑁 < 0) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
9381, 92pm2.61dan 813 1 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐴 ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → if((𝑁 < 0 ∧ (𝐴 · 𝐵) < 0), -1, 1) = (if((𝑁 < 0 ∧ 𝐴 < 0), -1, 1) · if((𝑁 < 0 ∧ 𝐵 < 0), -1, 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  ifcif 4525   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  -cneg 11493  cz 12613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-z 12614
This theorem is referenced by:  lgsdir  27376  lgsdi  27378
  Copyright terms: Public domain W3C validator