Theorem fzofzim 13749

Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzim	⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13658	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀))
2		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		necom 2994	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 𝐾)
4		nn0re 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
5		nn0re 12535	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		ltlen 11362	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
8	7	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9		elnn0z 12626	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		0red 11264	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 12617	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
13	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		lelttr 11351	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
16		nn0z 12638	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
17		elnnz 12623	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
18	17	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
21	15, 20	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
22	21	expd 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
23	22	impancom 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
24	9, 23	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
26	8, 25	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
27	26	expd 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝑀 ∈ ℕ)))
28	3, 27	syl7bi 255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
29	28	3impia 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
30	29	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	8	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
32	31	exp4b 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))))
33	32	3imp 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))
34	3, 33	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 < 𝑀))
35	34	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
36	2, 30, 35	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
38	1, 37	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
39	38	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40		elfzo0 13740	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
41	39, 40	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695

This theorem is referenced by:  cshwshashlem1  17133  clwwisshclwwsn  30035