Theorem fzofzim 13434

Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzim	⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13347	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀))
2		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		necom 2997	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 𝐾)
4		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
5		nn0re 12242	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		ltlen 11076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
8	7	bicomd 222	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9		elnn0z 12332	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 12323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
13	5	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		lelttr 11065	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
16		nn0z 12343	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
17		elnnz 12329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
18	17	simplbi2 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
21	15, 20	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
22	21	expd 416	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
23	22	impancom 452	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
24	9, 23	sylbi 216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
25	24	imp 407	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
26	8, 25	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
27	26	expd 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝑀 ∈ ℕ)))
28	3, 27	syl7bi 254	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
29	28	3impia 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
30	29	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	8	biimpd 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
32	31	exp4b 431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))))
33	32	3imp 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))
34	3, 33	syl5bi 241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 < 𝑀))
35	34	imp 407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
36	2, 30, 35	3jca 1127	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
37	36	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
38	1, 37	sylbi 216	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
39	38	impcom 408	. 2 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40		elfzo0 13428	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
41	39, 40	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℕcn 11973  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ...cfz 13239  ..^cfzo 13382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383

This theorem is referenced by:  cshwshashlem1  16797  clwwisshclwwsn  28380