Theorem fzofzim 13646

Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzim	⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13555	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀))
2		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		necom 2978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 𝐾)
4		nn0re 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
5		nn0re 12427	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		ltlen 11251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
7	4, 5, 6	syl2an 596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
8	7	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9		elnn0z 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		0red 11153	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
13	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		lelttr 11240	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
16		nn0z 12530	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
17		elnnz 12515	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
18	17	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
21	15, 20	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
22	21	expd 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
23	22	impancom 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
24	9, 23	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
26	8, 25	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
27	26	expd 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝑀 ∈ ℕ)))
28	3, 27	syl7bi 255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
29	28	3impia 1117	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
30	29	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	8	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
32	31	exp4b 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))))
33	32	3imp 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))
34	3, 33	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 < 𝑀))
35	34	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
36	2, 30, 35	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
38	1, 37	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
39	38	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40		elfzo0 13637	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
41	39, 40	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  cshwshashlem1  17042  clwwisshclwwsn  29918