MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fzofzim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzofzim 13077
Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
fzofzim ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim
StepHypRef Expression
1 elfz2nn0 12991 . . . 4 (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀))
2 simpl1 1185 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3 necom 3073 . . . . . . . . 9 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
4 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
5 nn0re 11898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℝ)
6 ltlen 10733 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
74, 5, 6syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾𝑀𝑀𝐾)))
87bicomd 224 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9 elnn0z 11986 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10 0red 10636 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11 zre 11977 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
1211adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14 lelttr 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
1510, 12, 13, 14syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
16 nn0z 11997 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
17 elnnz 11983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
1817simplbi2 501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
2115, 20syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
2221expd 416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2322impancom 452 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
249, 23sylbi 218 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
2524imp 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀𝑀 ∈ ℕ))
268, 25sylbid 241 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
2726expd 416 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝑀 ∈ ℕ)))
283, 27syl7bi 256 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾𝑀 → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ)))
29283impia 1111 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝑀 ∈ ℕ))
3029imp 407 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
318biimpd 230 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾𝑀𝑀𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
3231exp4b 431 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾𝑀 → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))))
33323imp 1105 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝑀𝐾𝐾 < 𝑀))
343, 33syl5bi 243 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀𝐾 < 𝑀))
3534imp 407 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
362, 30, 353jca 1122 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) ∧ 𝐾𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
3736ex 413 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ0𝐾𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
381, 37sylbi 218 . . 3 (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
3938impcom 408 . 2 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40 elfzo0 13071 . 2 (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
4139, 40sylibr 235 1 ((𝐾𝑀𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529   < clt 10667  cle 10668  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  ...cfz 12885  ..^cfzo 13026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027
This theorem is referenced by:  cshwshashlem1  16422  clwwisshclwwsn  27711
  Copyright terms: Public domain W3C validator