Theorem fzofzim 13664

Description: If a nonnegative integer in a finite interval of integers is not the upper bound of the interval, it is contained in the corresponding half-open integer range. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jun-2018.)

Assertion

Ref	Expression
fzofzim	⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Proof of Theorem fzofzim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2nn0 13572	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀))
2		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ0)
3		necom 2985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 𝐾)
4		nn0re 12446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
5		nn0re 12446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℝ)
6		ltlen 11247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
7	4, 5, 6	syl2an 597	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 ↔ (𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾)))
8	7	bicomd 223	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) ↔ 𝐾 < 𝑀))
9		elnn0z 12537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 ↔ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾))
10		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 0 ∈ ℝ)
11		zre 12528	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
12	11	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℝ)
13	5	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ ℝ)
14		lelttr 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
15	10, 12, 13, 14	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 0 < 𝑀))
16		nn0z 12548	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
17		elnnz 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝑀))
18	17	simplbi2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
19	16, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
20	19	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
21	15, 20	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((0 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ))
22	21	expd 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (0 ≤ 𝐾 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
23	22	impancom 451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝐾) → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
24	9, 23	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
25	24	imp 406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 < 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
26	8, 25	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝑀 ∈ ℕ))
27	26	expd 415	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝑀 ∈ ℕ)))
28	3, 27	syl7bi 255	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ)))
29	28	3impia 1118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝑀 ∈ ℕ))
30	29	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	8	biimpd 229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → ((𝐾 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≠ 𝐾) → 𝐾 < 𝑀))
32	31	exp4b 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 ∈ ℕ0 → (𝐾 ≤ 𝑀 → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))))
33	32	3imp 1111	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝑀 ≠ 𝐾 → 𝐾 < 𝑀))
34	3, 33	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → 𝐾 < 𝑀))
35	34	imp 406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → 𝐾 < 𝑀)
36	2, 30, 35	3jca 1129	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
37	36	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ≤ 𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
38	1, 37	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑀) → (𝐾 ≠ 𝑀 → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀)))
39	38	impcom 407	. 2 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
40		elfzo0 13655	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0..^𝑀) ↔ (𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 < 𝑀))
41	39, 40	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐾 ≠ 𝑀 ∧ 𝐾 ∈ (0...𝑀)) → 𝐾 ∈ (0..^𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461  ..^cfzo 13608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609

This theorem is referenced by:  cshwshashlem1  17066  clwwisshclwwsn  30086