Theorem lgsdirprm 27258

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. See theorem 9.3 in [ApostolNT] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Proof of Theorem lgsdirprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		lgsdir2 27257	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝑃 = 2)
6	5	oveq2d 7369	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 · 𝐵) /L 2))
7	5	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐴 /L 𝑃) = (𝐴 /L 2))
8	5	oveq2d 7369	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐵 /L 𝑃) = (𝐵 /L 2))
9	7, 8	oveq12d 7371	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
11		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
13	11, 12	zmulcld 12604	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
14		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		prmz 16604	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℤ)
17		lgscl 27238	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12599	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℂ)
20		lgscl 27238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
21	11, 16, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
22		lgscl 27238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
23	12, 16, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
24	21, 23	zmulcld 12604	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12599	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℂ)
26	19, 25	subcld 11493	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15364	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
28		prmnn 16603	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
29	14, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 12953	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31	26	absge0d 15372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
32		2re 12220	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ∈ ℝ)
34	29	nnred 12161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ)
35	19	abscld 15364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ∈ ℝ)
36	25	abscld 15364	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℝ)
37	35, 36	readdcld 11163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
38	19, 25	abs2dif2d 15386	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
39		1red 11135	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 1 ∈ ℝ)
40		lgsle1 27239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
41	13, 16, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
42		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
43	42	lgscl2 27236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
44	11, 16, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
45	42	lgscl2 27236	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
46	12, 16, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
47	42	lgslem3 27226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ∧ (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
49		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → (abs‘𝑥) = (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
50	49	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
51	50	elrab 3650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ↔ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
52	51	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
53	48, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
54	35, 36, 39, 39, 41, 53	le2addd 11757	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ (1 + 1))
55		df-2 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
56	54, 55	breqtrrdi 5137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
57	27, 37, 33, 38, 56	letrd 11291	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
58		prmuz2 16625	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
59		eluzle 12766	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
60	14, 58, 59	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≤ 𝑃)
61		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
62		ltlen 11235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
63	32, 34, 62	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃)
65	27, 33, 34, 57, 64	lelttrd 11292	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)
66		modid 13818	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
67	27, 30, 31, 65, 66	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
68	11	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	12	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℂ)
70		eldifsn 4740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
71	14, 61, 70	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
72		oddprm 16740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
74	73	nnnn0d 12463	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
75	68, 69, 74	mulexpd 14086	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))))
76		zexpcl 14001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
77	11, 74, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
78	77	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
79		zexpcl 14001	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
80	12, 74, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
82	78, 81	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
83	75, 82	eqtrd 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
84	83	oveq1d 7368	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
85		lgsvalmod 27243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
86	13, 71, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
87	21	zred 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
88	77	zred 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
89		lgsvalmod 27243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
90	11, 71, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
91		modmul1 13849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
92	87, 88, 23, 30, 90, 91	syl221anc 1383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
93	23	zcnd 12599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℂ)
94	78, 93	mulcomd 11155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
95	94	oveq1d 7368	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
96	23	zred 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ)
97	80	zred 12598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
98		lgsvalmod 27243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
99	12, 71, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
100		modmul1 13849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
101	96, 97, 77, 30, 99, 100	syl221anc 1383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
102	92, 95, 101	3eqtrd 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
103	84, 86, 102	3eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
104		moddvds 16192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
105	29, 18, 24, 104	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
106	103, 105	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
107	18, 24	zsubcld 12603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ)
108		dvdsabsb 16204	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
109	16, 107, 108	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
110	106, 109	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
111		dvdsmod0 16187	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
112	29, 110, 111	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
113	67, 112	eqtr3d 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) = 0)
114	26, 113	abs00d 15374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) = 0)
115	19, 25, 114	subeq0d 11501	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
116	10, 115	pm2.61dane 3012	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3396   ∖ cdif 3902  {csn 4579   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11365   / cdiv 11795  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ℝ⁺crp 12911   mod cmo 13791  ↑cexp 13986  abscabs 15159   ∥ cdvds 16181  ℙcprime 16600   /_L clgs 27221

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9351  df-inf 9352  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-hash 14256  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-prm 16601  df-phi 16695  df-pc 16767  df-lgs 27222

This theorem is referenced by:  lgsdir  27259