Theorem lgsdirprm 27390

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. See theorem 9.3 in [ApostolNT] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Proof of Theorem lgsdirprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simpl2 1191	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		lgsdir2 27389	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝑃 = 2)
6	5	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 · 𝐵) /L 2))
7	5	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐴 /L 𝑃) = (𝐴 /L 2))
8	5	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐵 /L 𝑃) = (𝐵 /L 2))
9	7, 8	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
11		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
13	11, 12	zmulcld 12726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
14		simpl3 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		prmz 16709	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℤ)
17		lgscl 27370	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12721	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℂ)
20		lgscl 27370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
21	11, 16, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
22		lgscl 27370	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
23	12, 16, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
24	21, 23	zmulcld 12726	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12721	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℂ)
26	19, 25	subcld 11618	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15472	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
28		prmnn 16708	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
29	14, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 13073	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31	26	absge0d 15480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
32		2re 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ∈ ℝ)
34	29	nnred 12279	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ)
35	19	abscld 15472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ∈ ℝ)
36	25	abscld 15472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℝ)
37	35, 36	readdcld 11288	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
38	19, 25	abs2dif2d 15494	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
39		1red 11260	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 1 ∈ ℝ)
40		lgsle1 27371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
41	13, 16, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
42		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
43	42	lgscl2 27368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
44	11, 16, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
45	42	lgscl2 27368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
46	12, 16, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
47	42	lgslem3 27358	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ∧ (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
49		fveq2 6907	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → (abs‘𝑥) = (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
50	49	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
51	50	elrab 3695	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ↔ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
52	51	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
53	48, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
54	35, 36, 39, 39, 41, 53	le2addd 11880	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ (1 + 1))
55		df-2 12327	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
56	54, 55	breqtrrdi 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
57	27, 37, 33, 38, 56	letrd 11416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
58		prmuz2 16730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
59		eluzle 12889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
60	14, 58, 59	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≤ 𝑃)
61		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
62		ltlen 11360	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
63	32, 34, 62	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃)
65	27, 33, 34, 57, 64	lelttrd 11417	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)
66		modid 13933	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
67	27, 30, 31, 65, 66	syl22anc 839	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
68	11	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	12	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℂ)
70		eldifsn 4791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
71	14, 61, 70	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
72		oddprm 16844	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
74	73	nnnn0d 12585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
75	68, 69, 74	mulexpd 14198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))))
76		zexpcl 14114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
77	11, 74, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
78	77	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
79		zexpcl 14114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
80	12, 74, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
82	78, 81	mulcomd 11280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
83	75, 82	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
84	83	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
85		lgsvalmod 27375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
86	13, 71, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
87	21	zred 12720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
88	77	zred 12720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
89		lgsvalmod 27375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
90	11, 71, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
91		modmul1 13962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
92	87, 88, 23, 30, 90, 91	syl221anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
93	23	zcnd 12721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℂ)
94	78, 93	mulcomd 11280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
95	94	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
96	23	zred 12720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ)
97	80	zred 12720	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
98		lgsvalmod 27375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
99	12, 71, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
100		modmul1 13962	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
101	96, 97, 77, 30, 99, 100	syl221anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
102	92, 95, 101	3eqtrd 2779	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
103	84, 86, 102	3eqtr4d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
104		moddvds 16298	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
105	29, 18, 24, 104	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
106	103, 105	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
107	18, 24	zsubcld 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ)
108		dvdsabsb 16310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
109	16, 107, 108	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
110	106, 109	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
111		dvdsmod0 16293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
112	29, 110, 111	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
113	67, 112	eqtr3d 2777	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) = 0)
114	26, 113	abs00d 15482	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) = 0)
115	19, 25, 114	subeq0d 11626	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
116	10, 115	pm2.61dane 3027	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433   ∖ cdif 3960  {csn 4631   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293   ≤ cle 11294   − cmin 11490   / cdiv 11918  ℕcn 12264  2c2 12319  ℕ₀cn0 12524  ℤcz 12611  ℤ_≥cuz 12876  ℝ⁺crp 13032   mod cmo 13906  ↑cexp 14099  abscabs 15270   ∥ cdvds 16287  ℙcprime 16705   /_L clgs 27353

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-phi 16800  df-pc 16871  df-lgs 27354

This theorem is referenced by:  lgsdir  27391