Theorem lgsdirprm 27299

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. See theorem 9.3 in [ApostolNT] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Proof of Theorem lgsdirprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		lgsdir2 27298	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝑃 = 2)
6	5	oveq2d 7426	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 · 𝐵) /L 2))
7	5	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐴 /L 𝑃) = (𝐴 /L 2))
8	5	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐵 /L 𝑃) = (𝐵 /L 2))
9	7, 8	oveq12d 7428	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
11		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
13	11, 12	zmulcld 12708	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
14		simpl3 1194	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		prmz 16699	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℤ)
17		lgscl 27279	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
18	13, 16, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12703	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℂ)
20		lgscl 27279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
21	11, 16, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
22		lgscl 27279	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
23	12, 16, 22	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
24	21, 23	zmulcld 12708	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12703	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℂ)
26	19, 25	subcld 11599	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15460	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
28		prmnn 16698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
29	14, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 13054	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31	26	absge0d 15468	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
32		2re 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ∈ ℝ)
34	29	nnred 12260	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ)
35	19	abscld 15460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ∈ ℝ)
36	25	abscld 15460	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℝ)
37	35, 36	readdcld 11269	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
38	19, 25	abs2dif2d 15482	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
39		1red 11241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 1 ∈ ℝ)
40		lgsle1 27280	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
41	13, 16, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
42		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
43	42	lgscl2 27277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
44	11, 16, 43	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
45	42	lgscl2 27277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
46	12, 16, 45	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
47	42	lgslem3 27267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ∧ (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
48	44, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
49		fveq2 6881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → (abs‘𝑥) = (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
50	49	breq1d 5134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
51	50	elrab 3676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ↔ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
52	51	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
53	48, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
54	35, 36, 39, 39, 41, 53	le2addd 11861	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ (1 + 1))
55		df-2 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
56	54, 55	breqtrrdi 5166	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
57	27, 37, 33, 38, 56	letrd 11397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
58		prmuz2 16720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
59		eluzle 12870	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
60	14, 58, 59	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≤ 𝑃)
61		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
62		ltlen 11341	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
63	32, 34, 62	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 713	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃)
65	27, 33, 34, 57, 64	lelttrd 11398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)
66		modid 13918	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
67	27, 30, 31, 65, 66	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
68	11	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	12	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℂ)
70		eldifsn 4767	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
71	14, 61, 70	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
72		oddprm 16835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
74	73	nnnn0d 12567	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
75	68, 69, 74	mulexpd 14184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))))
76		zexpcl 14099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
77	11, 74, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
78	77	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
79		zexpcl 14099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
80	12, 74, 79	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
82	78, 81	mulcomd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
83	75, 82	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
84	83	oveq1d 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
85		lgsvalmod 27284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
86	13, 71, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
87	21	zred 12702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
88	77	zred 12702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
89		lgsvalmod 27284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
90	11, 71, 89	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
91		modmul1 13947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
92	87, 88, 23, 30, 90, 91	syl221anc 1383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
93	23	zcnd 12703	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℂ)
94	78, 93	mulcomd 11261	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
95	94	oveq1d 7425	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
96	23	zred 12702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ)
97	80	zred 12702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
98		lgsvalmod 27284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
99	12, 71, 98	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
100		modmul1 13947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
101	96, 97, 77, 30, 99, 100	syl221anc 1383	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
102	92, 95, 101	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
103	84, 86, 102	3eqtr4d 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
104		moddvds 16288	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
105	29, 18, 24, 104	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
106	103, 105	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
107	18, 24	zsubcld 12707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ)
108		dvdsabsb 16300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
109	16, 107, 108	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
110	106, 109	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
111		dvdsmod0 16283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
112	29, 110, 111	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
113	67, 112	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) = 0)
114	26, 113	abs00d 15470	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) = 0)
115	19, 25, 114	subeq0d 11607	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
116	10, 115	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  {crab 3420   ∖ cdif 3928  {csn 4606   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   − cmin 11471   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  ℕ₀cn0 12506  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013   mod cmo 13891  ↑cexp 14084  abscabs 15258   ∥ cdvds 16277  ℙcprime 16695   /_L clgs 27262

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-sup 9459  df-inf 9460  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-xnn0 12580  df-z 12594  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-hash 14354  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-dvds 16278  df-gcd 16519  df-prm 16696  df-phi 16790  df-pc 16862  df-lgs 27263

This theorem is referenced by:  lgsdir  27300