Theorem lgsdirprm 27316

Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. See theorem 9.3 in [ApostolNT] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
lgsdirprm	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Proof of Theorem lgsdirprm

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1199	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		simpl2 1200	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		lgsdir2 27315	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
4	1, 2, 3	syl2anc 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
5		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝑃 = 2)
6	5	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 · 𝐵) /L 2))
7	5	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐴 /L 𝑃) = (𝐴 /L 2))
8	5	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐵 /L 𝑃) = (𝐵 /L 2))
9	7, 8	oveq12d 7378	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
10	4, 6, 9	3eqtr4d 2786	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
11		simpl1 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
12		simpl2 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
13	11, 12	zmulcld 12634	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
14		simpl3 1201	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
15		prmz 16639	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
16	14, 15	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℤ)
17		lgscl 27296	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
18	13, 16, 17	syl2anc 591	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
19	18	zcnd 12629	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℂ)
20		lgscl 27296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
21	11, 16, 20	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
22		lgscl 27296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
23	12, 16, 22	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
24	21, 23	zmulcld 12634	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 12629	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℂ)
26	19, 25	subcld 11500	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℂ)
27	26	abscld 15396	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
28		prmnn 16638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
29	14, 28	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
30	29	nnrpd 12979	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ+)
31	26	absge0d 15404	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
32		2re 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
33	32	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ∈ ℝ)
34	29	nnred 12184	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ)
35	19	abscld 15396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ∈ ℝ)
36	25	abscld 15396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℝ)
37	35, 36	readdcld 11169	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
38	19, 25	abs2dif2d 15418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
39		1red 11140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 1 ∈ ℝ)
40		lgsle1 27297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
41	13, 16, 40	syl2anc 591	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
42		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
43	42	lgscl2 27294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
44	11, 16, 43	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
45	42	lgscl2 27294	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
46	12, 16, 45	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
47	42	lgslem3 27284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ∧ (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
48	44, 46, 47	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
49		fveq2 6831	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → (abs‘𝑥) = (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
50	49	breq1d 5085	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
51	50	elrab 3631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ↔ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
52	51	simprbi 499	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
53	48, 52	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
54	35, 36, 39, 39, 41, 53	le2addd 11764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ (1 + 1))
55		df-2 12239	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 = (1 + 1)
56	54, 55	breqtrrdi 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
57	27, 37, 33, 38, 56	letrd 11298	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
58		prmuz2 16660	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
59		eluzle 12796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → 2 ≤ 𝑃)
60	14, 58, 59	3syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≤ 𝑃)
61		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
62		ltlen 11242	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
63	32, 34, 62	sylancr 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
64	60, 61, 63	mpbir2and 720	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃)
65	27, 33, 34, 57, 64	lelttrd 11299	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)
66		modid 13850	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
67	27, 30, 31, 65, 66	syl22anc 845	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
68	11	zcnd 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℂ)
69	12	zcnd 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℂ)
70		eldifsn 4722	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
71	14, 61, 70	sylanbrc 590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
72		oddprm 16776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
74	73	nnnn0d 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
75	68, 69, 74	mulexpd 14118	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))))
76		zexpcl 14033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
77	11, 74, 76	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
78	77	zcnd 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
79		zexpcl 14033	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
80	12, 74, 79	syl2anc 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
81	80	zcnd 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
82	78, 81	mulcomd 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
83	75, 82	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
84	83	oveq1d 7375	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
85		lgsvalmod 27301	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
86	13, 71, 85	syl2anc 591	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
87	21	zred 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
88	77	zred 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
89		lgsvalmod 27301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
90	11, 71, 89	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
91		modmul1 13881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
92	87, 88, 23, 30, 90, 91	syl221anc 1390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
93	23	zcnd 12629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℂ)
94	78, 93	mulcomd 11161	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
95	94	oveq1d 7375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
96	23	zred 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ)
97	80	zred 12628	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
98		lgsvalmod 27301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
99	12, 71, 98	syl2anc 591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
100		modmul1 13881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
101	96, 97, 77, 30, 99, 100	syl221anc 1390	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
102	92, 95, 101	3eqtrd 2780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
103	84, 86, 102	3eqtr4d 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
104		moddvds 16227	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
105	29, 18, 24, 104	syl3anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
106	103, 105	mpbid 234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
107	18, 24	zsubcld 12633	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ)
108		dvdsabsb 16239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
109	16, 107, 108	syl2anc 591	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
110	106, 109	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
111		dvdsmod0 16222	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
112	29, 110, 111	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
113	67, 112	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) = 0)
114	26, 113	abs00d 15406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) = 0)
115	19, 25, 114	subeq0d 11508	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
116	10, 115	pm2.61dane 3023	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  {crab 3393   ∖ cdif 3882  {csn 4558   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033  1c1 11034   + caddc 11036   · cmul 11038   < clt 11174   ≤ cle 11175   − cmin 11372   / cdiv 11802  ℕcn 12169  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ℝ⁺crp 12937   mod cmo 13823  ↑cexp 14018  abscabs 15191   ∥ cdvds 16216  ℙcprime 16635   /_L clgs 27279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9820  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-xnn0 12506  df-z 12520  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-fl 13746  df-mod 13824  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-dvds 16217  df-gcd 16459  df-prm 16636  df-phi 16731  df-pc 16803  df-lgs 27280

This theorem is referenced by:  lgsdir  27317