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Theorem lgsdirprm 27375
Description: The Legendre symbol is completely multiplicative at the primes. See theorem 9.3 in [ApostolNT] p. 180. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Mar-2022.)
Assertion
Ref Expression
lgsdirprm ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))

Proof of Theorem lgsdirprm
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 simpl2 1193 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 lgsdir2 27374 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 2) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
5 simpr 484 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → 𝑃 = 2)
65oveq2d 7447 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 · 𝐵) /L 2))
75oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐴 /L 𝑃) = (𝐴 /L 2))
85oveq2d 7447 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → (𝐵 /L 𝑃) = (𝐵 /L 2))
97, 8oveq12d 7449 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐴 /L 2) · (𝐵 /L 2)))
104, 6, 93eqtr4d 2787 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 = 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
11 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℤ)
12 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℤ)
1311, 12zmulcld 12728 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ)
14 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℙ)
15 prmz 16712 . . . . . 6 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
1614, 15syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℤ)
17 lgscl 27355 . . . . 5 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
1813, 16, 17syl2anc 584 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ)
1918zcnd 12723 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℂ)
20 lgscl 27355 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
2111, 16, 20syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℤ)
22 lgscl 27355 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
2312, 16, 22syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ)
2421, 23zmulcld 12728 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ)
2524zcnd 12723 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℂ)
2619, 25subcld 11620 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℂ)
2726abscld 15475 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
28 prmnn 16711 . . . . . . . 8 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
2914, 28syl 17 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℕ)
3029nnrpd 13075 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ+)
3126absge0d 15483 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
32 2re 12340 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
3332a1i 11 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ∈ ℝ)
3429nnred 12281 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ ℝ)
3519abscld 15475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ∈ ℝ)
3625abscld 15475 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℝ)
3735, 36readdcld 11290 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ)
3819, 25abs2dif2d 15497 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
39 1red 11262 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 1 ∈ ℝ)
40 lgsle1 27356 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
4113, 16, 40syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) ≤ 1)
42 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} = {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}
4342lgscl2 27353 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
4411, 16, 43syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
4542lgscl2 27353 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
4612, 16, 45syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
4742lgslem3 27343 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ∧ (𝐵 /L 𝑃) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1}) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
4844, 46, 47syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1})
49 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → (abs‘𝑥) = (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
5049breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) → ((abs‘𝑥) ≤ 1 ↔ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
5150elrab 3692 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} ↔ (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ ∧ (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1))
5251simprbi 496 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ (abs‘𝑥) ≤ 1} → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
5348, 52syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ≤ 1)
5435, 36, 39, 39, 41, 53le2addd 11882 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ (1 + 1))
55 df-2 12329 . . . . . . . . 9 2 = (1 + 1)
5654, 55breqtrrdi 5185 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃)) + (abs‘((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
5727, 37, 33, 38, 56letrd 11418 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ≤ 2)
58 prmuz2 16733 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
59 eluzle 12891 . . . . . . . . 9 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → 2 ≤ 𝑃)
6014, 58, 593syl 18 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 ≤ 𝑃)
61 simpr 484 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ≠ 2)
62 ltlen 11362 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃𝑃 ≠ 2)))
6332, 34, 62sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃𝑃 ≠ 2)))
6460, 61, 63mpbir2and 713 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃)
6527, 33, 34, 57, 64lelttrd 11419 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)
66 modid 13936 . . . . . 6 ((((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) ∧ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) < 𝑃)) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
6727, 30, 31, 65, 66syl22anc 839 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
6811zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐴 ∈ ℂ)
6912zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝐵 ∈ ℂ)
70 eldifsn 4786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
7114, 61, 70sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
72 oddprm 16848 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ)
7473nnnn0d 12587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0)
7568, 69, 74mulexpd 14201 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))))
76 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
7711, 74, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
7877zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
79 zexpcl 14117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ ((𝑃 − 1) / 2) ∈ ℕ0) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
8012, 74, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ)
8180zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℂ)
8278, 81mulcomd 11282 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2))) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
8375, 82eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
8483oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
85 lgsvalmod 27360 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
8613, 71, 85syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 · 𝐵)↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
8721zred 12722 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ)
8877zred 12722 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
89 lgsvalmod 27360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
9011, 71, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
91 modmul1 13965 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐴 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
9287, 88, 23, 30, 90, 91syl221anc 1383 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
9323zcnd 12723 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℂ)
9478, 93mulcomd 11282 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) = ((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))))
9594oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
9623zred 12722 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ)
9780zred 12722 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ)
98 lgsvalmod 27360 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2})) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
9912, 71, 98syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃))
100 modmul1 13965 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐵 /L 𝑃) ∈ ℝ ∧ (𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℝ) ∧ ((𝐴↑((𝑃 − 1) / 2)) ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) ∧ ((𝐵 /L 𝑃) mod 𝑃) = ((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) mod 𝑃)) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
10196, 97, 77, 30, 99, 100syl221anc 1383 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐵 /L 𝑃) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
10292, 95, 1013eqtrd 2781 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) = (((𝐵↑((𝑃 − 1) / 2)) · (𝐴↑((𝑃 − 1) / 2))) mod 𝑃))
10384, 86, 1023eqtr4d 2787 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃))
104 moddvds 16301 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) ∈ ℤ ∧ ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) ∈ ℤ) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
10529, 18, 24, 104syl3anc 1373 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) mod 𝑃) = (((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
106103, 105mpbid 232 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))
10718, 24zsubcld 12727 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ)
108 dvdsabsb 16313 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℤ ∧ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ∈ ℤ) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
10916, 107, 108syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (𝑃 ∥ (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) ↔ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))))
110106, 109mpbid 232 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))))
111 dvdsmod0 16296 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ 𝑃 ∥ (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))))) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
11229, 110, 111syl2anc 584 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) mod 𝑃) = 0)
11367, 112eqtr3d 2779 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (abs‘(((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))) = 0)
11426, 113abs00d 15485 . . 3 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → (((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) − ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃))) = 0)
11519, 25, 114subeq0d 11628 . 2 (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) ∧ 𝑃 ≠ 2) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
11610, 115pm2.61dane 3029 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℙ) → ((𝐴 · 𝐵) /L 𝑃) = ((𝐴 /L 𝑃) · (𝐵 /L 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  {crab 3436  cdif 3948  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034   mod cmo 13909  cexp 14102  abscabs 15273  cdvds 16290  cprime 16708   /L clgs 27338
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-phi 16803  df-pc 16875  df-lgs 27339
This theorem is referenced by:  lgsdir  27376
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