Theorem elfznelfzob 13695

Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfznelfzob	⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznelfzo 13694	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3		elfzole1 13588	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑀)
4		elfzolt2 13589	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 < 𝐾)
5		elfzoel2 13579	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		elfzoelz 13580	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		0lt1 11664	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
8		breq1 5102	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 < 1 ↔ 0 < 1))
9	7, 8	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → 𝑀 < 1)
10		zre 12497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12		1red 11138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	ltnled 11285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑀))
14	9, 13	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑀))
15	14	con2d 134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 0))
16		zre 12497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17		ltlen 11239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀)))
18	10, 16, 17	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀)))
19		necom 2986	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 𝐾)
20		df-ne 2934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
21	19, 20	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 𝐾)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
23	18, 22	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾))
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
26	25	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾))
27	26	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
28	15, 27	jctird 526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
29	4, 5, 6, 28	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
30	3, 29	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
31		ioran 986	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
32	30, 31	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
34	33	con2d 134	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)))
35	2, 34	impbid 212	1 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  (class class class)co 7361  ℝcr 11030  0cc0 11031  1c1 11032   < clt 11171   ≤ cle 11172  ℤcz 12493  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-fz 13429  df-fzo 13576

This theorem is referenced by:  circlemethhgt  34813