MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznelfzob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfznelfzob 13812
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzob (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 13811 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
21ex 412 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3 elfzole1 13707 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑀)
4 elfzolt2 13708 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 < 𝐾)
5 elfzoel2 13698 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 elfzoelz 13699 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 0lt1 11785 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
8 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝑀 < 1 ↔ 0 < 1))
97, 8mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → 𝑀 < 1)
10 zre 12617 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12 1red 11262 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 11408 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑀))
149, 13imbitrid 244 . . . . . . . . 9 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑀))
1514con2d 134 . . . . . . . 8 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 0))
16 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17 ltlen 11362 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑀)))
1810, 16, 17syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑀)))
19 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
20 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
2119, 20sylbb 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑀 → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝐾𝐾𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2318, 22biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾))
2423ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
2524com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
2625impcom 407 . . . . . . . . 9 ((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾))
2726imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2815, 27jctird 526 . . . . . . 7 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
294, 5, 6, 28syl21anc 838 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
303, 29mpd 15 . . . . 5 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
31 ioran 986 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
3230, 31sylibr 234 . . . 4 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
3332a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3433con2d 134 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)))
352, 34impbid 212 1 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296  cz 12613  ...cfz 13547  ..^cfzo 13694
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695
This theorem is referenced by:  circlemethhgt  34658
  Copyright terms: Public domain W3C validator