MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznelfzob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfznelfzob 13756
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzob (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 13755 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
21ex 412 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3 elfzole1 13658 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑀)
4 elfzolt2 13659 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 < 𝐾)
5 elfzoel2 13649 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 elfzoelz 13650 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 0lt1 11752 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
8 breq1 5145 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝑀 < 1 ↔ 0 < 1))
97, 8mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → 𝑀 < 1)
10 zre 12578 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12 1red 11231 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 11377 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑀))
149, 13imbitrid 243 . . . . . . . . 9 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑀))
1514con2d 134 . . . . . . . 8 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 0))
16 zre 12578 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17 ltlen 11331 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑀)))
1810, 16, 17syl2anr 596 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑀)))
19 necom 2989 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
20 df-ne 2936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
2119, 20sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑀 → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2221adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝐾𝐾𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2318, 22biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾))
2423ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
2524com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
2625impcom 407 . . . . . . . . 9 ((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾))
2726imp 406 . . . . . . . 8 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2815, 27jctird 526 . . . . . . 7 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
294, 5, 6, 28syl21anc 837 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
303, 29mpd 15 . . . . 5 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
31 ioran 982 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
3332a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3433con2d 134 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)))
352, 34impbid 211 1 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 846   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935   class class class wbr 5142  (class class class)co 7414  cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   < clt 11264  cle 11265  cz 12574  ...cfz 13502  ..^cfzo 13645
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646
This theorem is referenced by:  circlemethhgt  34198
  Copyright terms: Public domain W3C validator