MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznelfzob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfznelfzob 13684
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzob (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 13683 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
21ex 414 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3 elfzole1 13586 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑀)
4 elfzolt2 13587 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 < 𝐾)
5 elfzoel2 13577 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 elfzoelz 13578 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 0lt1 11682 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
8 breq1 5109 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝑀 < 1 ↔ 0 < 1))
97, 8mpbiri 258 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → 𝑀 < 1)
10 zre 12508 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110adantl 483 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12 1red 11161 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 11307 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑀))
149, 13imbitrid 243 . . . . . . . . 9 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑀))
1514con2d 134 . . . . . . . 8 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 0))
16 zre 12508 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17 ltlen 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑀)))
1810, 16, 17syl2anr 598 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑀)))
19 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
20 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
2119, 20sylbb 218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑀 → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2221adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝐾𝐾𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2318, 22syl6bi 253 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾))
2423ex 414 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
2524com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
2625impcom 409 . . . . . . . . 9 ((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾))
2726imp 408 . . . . . . . 8 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2815, 27jctird 528 . . . . . . 7 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
294, 5, 6, 28syl21anc 837 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
303, 29mpd 15 . . . . 5 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
31 ioran 983 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
3230, 31sylibr 233 . . . 4 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
3332a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3433con2d 134 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)))
352, 34impbid 211 1 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   < clt 11194  cle 11195  cz 12504  ...cfz 13430  ..^cfzo 13573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574
This theorem is referenced by:  circlemethhgt  33313
  Copyright terms: Public domain W3C validator