Theorem elfznelfzob 13710

Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfznelfzob	⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznelfzo 13709	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
2	1	ex 412	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3		elfzole1 13604	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑀)
4		elfzolt2 13605	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 < 𝐾)
5		elfzoel2 13595	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		elfzoelz 13596	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		0lt1 11676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
8		breq1 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 < 1 ↔ 0 < 1))
9	7, 8	mpbiri 258	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → 𝑀 < 1)
10		zre 12509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12		1red 11151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	ltnled 11297	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑀))
14	9, 13	imbitrid 244	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑀))
15	14	con2d 134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 0))
16		zre 12509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17		ltlen 11251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀)))
18	10, 16, 17	syl2anr 597	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀)))
19		necom 2978	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 𝐾)
20		df-ne 2926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
21	19, 20	sylbb 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 𝐾)
22	21	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
23	18, 22	biimtrdi 253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾))
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
25	24	com23 86	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
26	25	impcom 407	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾))
27	26	imp 406	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
28	15, 27	jctird 526	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
29	4, 5, 6, 28	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
30	3, 29	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
31		ioran 985	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
32	30, 31	sylibr 234	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
34	33	con2d 134	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)))
35	2, 34	impbid 212	1 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   < clt 11184   ≤ cle 11185  ℤcz 12505  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  circlemethhgt  34627