Theorem elfznelfzob 13936

Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
elfznelfzob	⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznelfzo 13935	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
2	1	ex 418	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3		elfzole1 13829	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑀)
4		elfzolt2 13830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 < 𝐾)
5		elfzoel2 13819	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6		elfzoelz 13820	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
7		0lt1 11865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 1
8		breq1 5109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 < 1 ↔ 0 < 1))
9	7, 8	mpbiri 261	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 = 0 → 𝑀 < 1)
10		zre 12724	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	adantl 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12		1red 11336	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
13	11, 12	ltnled 11484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑀))
14	9, 13	imbitrid 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑀))
15	14	con2d 135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 0))
16		zre 12724	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17		ltlen 11438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀)))
18	10, 16, 17	syl2anr 609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀)))
19		necom 3012	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 ↔ 𝑀 ≠ 𝐾)
20		df-ne 2960	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑀 ≠ 𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
21	19, 20	sylbb 222	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐾 ≠ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 𝐾)
22	21	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ≤ 𝐾 ∧ 𝐾 ≠ 𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
23	18, 22	biimtrdi 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾))
24	23	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
25	24	com23 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
26	25	impcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾))
27	26	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
28	15, 27	jctird 536	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 < 𝐾 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
29	4, 5, 6, 28	syl21anc 851	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
30	3, 29	mpd 16	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
31		ioran 999	. . . . 5 ⊢ (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
32	30, 31	sylibr 237	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
33	32	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
34	33	con2d 135	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)))
35	2, 34	impbid 215	1 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   < clt 11370   ≤ cle 11371  ℤcz 12720  ...cfz 13666  ..^cfzo 13815

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816

This theorem is used by:  circlemethhgt  35342