MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elfznelfzob Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elfznelfzob 13138
Description: A value in a finite set of sequential integers is a border value if and only if it is not contained in the half-open integer range contained in the finite set of sequential integers. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jan-2018.) (Revised by Thierry Arnoux, 22-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
elfznelfzob (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))

Proof of Theorem elfznelfzob
StepHypRef Expression
1 elfznelfzo 13137 . . 3 ((𝑀 ∈ (0...𝐾) ∧ ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
21ex 416 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3 elfzole1 13041 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 1 ≤ 𝑀)
4 elfzolt2 13042 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 < 𝐾)
5 elfzoel2 13032 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝐾 ∈ ℤ)
6 elfzoelz 13033 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → 𝑀 ∈ ℤ)
7 0lt1 11151 . . . . . . . . . . 11 0 < 1
8 breq1 5045 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = 0 → (𝑀 < 1 ↔ 0 < 1))
97, 8mpbiri 261 . . . . . . . . . 10 (𝑀 = 0 → 𝑀 < 1)
10 zre 11973 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
1110adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
12 1red 10631 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 1 ∈ ℝ)
1311, 12ltnled 10776 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 1 ↔ ¬ 1 ≤ 𝑀))
149, 13syl5ib 247 . . . . . . . . 9 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ¬ 1 ≤ 𝑀))
1514con2d 136 . . . . . . . 8 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → ¬ 𝑀 = 0))
16 zre 11973 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾 ∈ ℤ → 𝐾 ∈ ℝ)
17 ltlen 10730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝐾 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑀)))
1810, 16, 17syl2anr 599 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 ↔ (𝑀𝐾𝐾𝑀)))
19 necom 3064 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾𝑀𝑀𝐾)
20 df-ne 3012 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀𝐾 ↔ ¬ 𝑀 = 𝐾)
2119, 20sylbb 222 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐾𝑀 → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2221adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀𝐾𝐾𝑀) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2318, 22syl6bi 256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾))
2423ex 416 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
2524com23 86 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ ℤ → (𝑀 < 𝐾 → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾)))
2625impcom 411 . . . . . . . . 9 ((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∈ ℤ → ¬ 𝑀 = 𝐾))
2726imp 410 . . . . . . . 8 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ¬ 𝑀 = 𝐾)
2815, 27jctird 530 . . . . . . 7 (((𝑀 < 𝐾𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
294, 5, 6, 28syl21anc 836 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (1 ≤ 𝑀 → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾)))
303, 29mpd 15 . . . . 5 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
31 ioran 981 . . . . 5 (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) ↔ (¬ 𝑀 = 0 ∧ ¬ 𝑀 = 𝐾))
3230, 31sylibr 237 . . . 4 (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾))
3332a1i 11 . . 3 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (𝑀 ∈ (1..^𝐾) → ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
3433con2d 136 . 2 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾) → ¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾)))
352, 34impbid 215 1 (𝑀 ∈ (0...𝐾) → (¬ 𝑀 ∈ (1..^𝐾) ↔ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 = 𝐾)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114  wne 3011   class class class wbr 5042  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664  cle 10665  cz 11969  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029
This theorem is referenced by:  circlemethhgt  31988
  Copyright terms: Public domain W3C validator