Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icceuelpartlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icceuelpartlem 46698
Description: Lemma for icceuelpart 46699. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
icceuelpartlem (πœ‘ β†’ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))))
Proof of Theorem icceuelpartlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))
21olcd 873 . . . . 5 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
32a1d 25 . . . 4 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
4 elfzoelz 13656 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
5 elfzoelz 13656 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
6 zltp1le 12634 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
76biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 < 𝐽 β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
87adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
98impcom 407 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽)
10 df-ne 2936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) β‰  𝐽 ↔ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11 necom 2989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) β‰  𝐽 ↔ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1210, 11sylbb1 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1413adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
159, 14jca 511 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1)))
16 peano2z 12625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„€)
1716zred 12688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18 zre 12584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ β„€ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
1917, 18anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
2019adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21 ltlen 11337 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))))
2315, 22mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽)
2423ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
254, 5, 24syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
2625adantl 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
27 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
28 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2927, 28iccpartgt 46690 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
30 fzofzp1 13753 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 elfzofz 13672 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32 breq1 5145 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
3433breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
36 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π½))
3837breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
3936, 38imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 β†’ (((𝐼 + 1) < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4035, 39rspc2v 3618 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4130, 31, 40syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4229, 41mpan9 506 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4326, 42syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4443expdimp 452 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4544impcom 407 . . . . . 6 ((Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))
4645orcd 872 . . . . 5 ((Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
4746ex 412 . . . 4 (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
483, 47pm2.61i 182 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
4927adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5028adantr 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
5130adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5251adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5349, 50, 52iccpartxr 46682 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
5431adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5554adantl 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5649, 50, 55iccpartxr 46682 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*)
5753, 56jca 511 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*))
5857adantr 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*))
59 xrleloe 13147 . . . 4 (((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
6058, 59syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
6148, 60mpbird 257 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))
6261exp31 419 1 (πœ‘ β†’ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133  β„*cxr 11269   < clt 11270   ≀ cle 11271  β„•cn 12234  β„€cz 12580  ...cfz 13508  ..^cfzo 13651  RePartciccp 46676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-iccp 46677
This theorem is referenced by:  icceuelpart  46699
  Copyright terms: Public domain W3C validator