Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icceuelpartlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icceuelpartlem 46093
Description: Lemma for icceuelpart 46094. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
icceuelpartlem (πœ‘ β†’ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))))
Proof of Theorem icceuelpartlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6891 . . . . . 6 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))
21olcd 872 . . . . 5 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
32a1d 25 . . . 4 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
4 elfzoelz 13631 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
5 elfzoelz 13631 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
6 zltp1le 12611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
76biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 < 𝐽 β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
87adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
98impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽)
10 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) β‰  𝐽 ↔ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) β‰  𝐽 ↔ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1210, 11sylbb1 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
159, 14jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1)))
16 peano2z 12602 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„€)
1716zred 12665 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18 zre 12561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ β„€ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
1917, 18anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21 ltlen 11314 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))))
2315, 22mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽)
2423ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
254, 5, 24syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
2625adantl 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
27 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
28 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2927, 28iccpartgt 46085 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
30 fzofzp1 13728 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 elfzofz 13647 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
3433breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
3532, 34imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
36 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π½))
3837breq2d 5160 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
3936, 38imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 β†’ (((𝐼 + 1) < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4035, 39rspc2v 3622 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4130, 31, 40syl2an 596 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4229, 41mpan9 507 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4326, 42syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4443expdimp 453 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4544impcom 408 . . . . . 6 ((Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))
4645orcd 871 . . . . 5 ((Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
4746ex 413 . . . 4 (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
483, 47pm2.61i 182 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
4927adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5028adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
5130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5251adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5349, 50, 52iccpartxr 46077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
5431adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5554adantl 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5649, 50, 55iccpartxr 46077 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*)
5753, 56jca 512 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*))
5857adantr 481 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*))
59 xrleloe 13122 . . . 4 (((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
6058, 59syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
6148, 60mpbird 256 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))
6261exp31 420 1 (πœ‘ β†’ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   ≀ cle 11248  β„•cn 12211  β„€cz 12557  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626  RePartciccp 46071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-iccp 46072
This theorem is referenced by:  icceuelpart  46094
  Copyright terms: Public domain W3C validator