Theorem icceuelpartlem 47449

Description: Lemma for icceuelpart 47450. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
icceuelpartlem	⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Proof of Theorem icceuelpartlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6876	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))
2	1	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
3	2	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
4		elfzoelz 13676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13676	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12642	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
7	6	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 < 𝐽 → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
9	8	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
10		df-ne 2933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11		necom 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
12	10, 11	sylbb1 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
15	9, 14	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1)))
16		peano2z 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
17	16	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18		zre 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
19	17, 18	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21		ltlen 11336	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
23	15, 22	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) < 𝐽)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
25	4, 5, 24	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
27		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29	27, 28	iccpartgt 47441	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)))
30		fzofzp1 13780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		elfzofz 13692	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32		breq1 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
34	33	breq1d 5129	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗))))
36		breq2 5123	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37		fveq2 6876	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐽))
38	37	breq2d 5131	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
40	35, 39	rspc2v 3612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
41	30, 31, 40	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
42	29, 41	mpan9 506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
43	26, 42	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
44	43	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
45	44	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))
46	45	orcd 873	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
47	46	ex 412	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
48	3, 47	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
49	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
50	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
51	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
52	51	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
53	49, 50, 52	iccpartxr 47433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
54	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
56	49, 50, 55	iccpartxr 47433	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*)
57	53, 56	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
59		xrleloe 13160	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
60	58, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
61	48, 60	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))
62	61	exp31 419	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ...cfz 13524  ..^cfzo 13671  RePartciccp 47427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-iccp 47428

This theorem is referenced by:  icceuelpart  47450