Theorem icceuelpartlem 47423

Description: Lemma for icceuelpart 47424. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
icceuelpartlem	⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Proof of Theorem icceuelpartlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6826	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))
2	1	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
3	2	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
4		elfzoelz 13580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12543	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
7	6	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 < 𝐽 → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
9	8	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
10		df-ne 2926	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11		necom 2978	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
12	10, 11	sylbb1 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
15	9, 14	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1)))
16		peano2z 12534	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
17	16	zred 12598	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18		zre 12493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
19	17, 18	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21		ltlen 11235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
23	15, 22	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) < 𝐽)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
25	4, 5, 24	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
27		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29	27, 28	iccpartgt 47415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)))
30		fzofzp1 13685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		elfzofz 13596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
34	33	breq1d 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗))))
36		breq2 5099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37		fveq2 6826	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐽))
38	37	breq2d 5107	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
40	35, 39	rspc2v 3590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
41	30, 31, 40	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
42	29, 41	mpan9 506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
43	26, 42	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
44	43	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
45	44	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))
46	45	orcd 873	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
47	46	ex 412	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
48	3, 47	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
49	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
50	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
51	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
52	51	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
53	49, 50, 52	iccpartxr 47407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
54	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
56	49, 50, 55	iccpartxr 47407	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*)
57	53, 56	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
59		xrleloe 13064	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
60	58, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
61	48, 60	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))
62	61	exp31 419	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  0cc0 11028  1c1 11029   + caddc 11031  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  ℕcn 12146  ℤcz 12489  ...cfz 13428  ..^cfzo 13575  RePartciccp 47401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-iccp 47402

This theorem is referenced by:  icceuelpart  47424