Theorem icceuelpartlem 47681

Description: Lemma for icceuelpart 47682. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
icceuelpartlem	⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Proof of Theorem icceuelpartlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))
2	1	olcd 874	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
3	2	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
4		elfzoelz 13575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13575	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12541	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
7	6	biimpcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 < 𝐽 → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
8	7	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
9	8	impcom 407	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
10		df-ne 2933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11		necom 2985	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
12	10, 11	sylbb1 237	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
14	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
15	9, 14	jca 511	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1)))
16		peano2z 12532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
17	16	zred 12596	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18		zre 12492	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
19	17, 18	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21		ltlen 11234	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
22	20, 21	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
23	15, 22	mpbird 257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) < 𝐽)
24	23	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
25	4, 5, 24	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
26	25	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
27		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29	27, 28	iccpartgt 47673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)))
30		fzofzp1 13680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		elfzofz 13591	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32		breq1 5101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
34	33	breq1d 5108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)))
35	32, 34	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗))))
36		breq2 5102	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐽))
38	37	breq2d 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
39	36, 38	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
40	35, 39	rspc2v 3587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
41	30, 31, 40	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
42	29, 41	mpan9 506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
43	26, 42	syld 47	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
44	43	expdimp 452	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
45	44	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))
46	45	orcd 873	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
47	46	ex 412	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
48	3, 47	pm2.61i 182	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
49	27	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
50	28	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
51	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
52	51	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
53	49, 50, 52	iccpartxr 47665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
54	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
55	54	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
56	49, 50, 55	iccpartxr 47665	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*)
57	53, 56	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
58	57	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
59		xrleloe 13058	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
60	58, 59	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
61	48, 60	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))
62	61	exp31 419	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ∀wral 3051   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029  ℝ^*cxr 11165   < clt 11166   ≤ cle 11167  ℕcn 12145  ℤcz 12488  ...cfz 13423  ..^cfzo 13570  RePartciccp 47659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-iccp 47660

This theorem is referenced by:  icceuelpart  47682