Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icceuelpartlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem icceuelpartlem 46834
Description: Lemma for icceuelpart 46835. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
icceuelpartlem (πœ‘ β†’ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))))
Proof of Theorem icceuelpartlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6890 . . . . . 6 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))
21olcd 872 . . . . 5 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
32a1d 25 . . . 4 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
4 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
5 elfzoelz 13659 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
6 zltp1le 12637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
76biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 < 𝐽 β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
87adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
98impcom 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽)
10 df-ne 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) β‰  𝐽 ↔ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11 necom 2984 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) β‰  𝐽 ↔ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1210, 11sylbb1 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1413adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
159, 14jca 510 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1)))
16 peano2z 12628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„€)
1716zred 12691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18 zre 12587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ β„€ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
1917, 18anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
2019adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21 ltlen 11340 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))))
2315, 22mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽)
2423ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
254, 5, 24syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
2625adantl 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
27 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
28 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2927, 28iccpartgt 46826 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
30 fzofzp1 13756 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 elfzofz 13675 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32 breq1 5147 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
3433breq1d 5154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
3532, 34imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
36 breq2 5148 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π½))
3837breq2d 5156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
3936, 38imbi12d 343 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 β†’ (((𝐼 + 1) < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4035, 39rspc2v 3614 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4130, 31, 40syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4229, 41mpan9 505 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4326, 42syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4443expdimp 451 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4544impcom 406 . . . . . 6 ((Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))
4645orcd 871 . . . . 5 ((Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
4746ex 411 . . . 4 (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
483, 47pm2.61i 182 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
4927adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5028adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
5130adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5251adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5349, 50, 52iccpartxr 46818 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
5431adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5554adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5649, 50, 55iccpartxr 46818 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*)
5753, 56jca 510 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*))
5857adantr 479 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*))
59 xrleloe 13150 . . . 4 (((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
6058, 59syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
6148, 60mpbird 256 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))
6261exp31 418 1 (πœ‘ β†’ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136  β„*cxr 11272   < clt 11273   ≀ cle 11274  β„•cn 12237  β„€cz 12583  ...cfz 13511  ..^cfzo 13654  RePartciccp 46812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-iccp 46813
This theorem is referenced by:  icceuelpart  46835
  Copyright terms: Public domain W3C validator