Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icceuelpartlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icceuelpartlem 45717
Description: Lemma for icceuelpart 45718. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
iccpartiun.p (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
Assertion
Ref Expression
icceuelpartlem (πœ‘ β†’ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))))

Proof of Theorem icceuelpartlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6846 . . . . . 6 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))
21olcd 873 . . . . 5 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
32a1d 25 . . . 4 ((𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
4 elfzoelz 13581 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐼 ∈ β„€)
5 elfzoelz 13581 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐽 ∈ β„€)
6 zltp1le 12561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
76biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 < 𝐽 β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
87adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽))
98impcom 409 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ (𝐼 + 1) ≀ 𝐽)
10 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) β‰  𝐽 ↔ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11 necom 2994 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) β‰  𝐽 ↔ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1210, 11sylbb1 236 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
1413adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))
159, 14jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1)))
16 peano2z 12552 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (𝐼 + 1) ∈ β„€)
1716zred 12615 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ β„€ β†’ (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18 zre 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ β„€ β†’ 𝐽 ∈ ℝ)
1917, 18anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
2019adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21 ltlen 11264 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≀ 𝐽 ∧ 𝐽 β‰  (𝐼 + 1))))
2315, 22mpbird 257 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽)
2423ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ β„€ ∧ 𝐽 ∈ β„€) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
254, 5, 24syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
2625adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (𝐼 + 1) < 𝐽))
27 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
28 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
2927, 28iccpartgt 45709 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
30 fzofzp1 13678 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 elfzofz 13597 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) = (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)))
3433breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—)))
3532, 34imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼 + 1) β†’ ((𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—))))
36 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37 fveq2 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘—) = (π‘ƒβ€˜π½))
3837breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—) ↔ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
3936, 38imbi12d 345 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 β†’ (((𝐼 + 1) < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4035, 39rspc2v 3592 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4130, 31, 40syl2an 597 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘– ∈ (0...𝑀)βˆ€π‘— ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 β†’ (π‘ƒβ€˜π‘–) < (π‘ƒβ€˜π‘—)) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))))
4229, 41mpan9 508 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 + 1) < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4326, 42syld 47 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((𝐼 < 𝐽 ∧ Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4443expdimp 454 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½)))
4544impcom 409 . . . . . 6 ((Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½))
4645orcd 872 . . . . 5 ((Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
4746ex 414 . . . 4 (Β¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
483, 47pm2.61i 182 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½)))
4927adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
5028adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝑃 ∈ (RePartβ€˜π‘€))
5130adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5251adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5349, 50, 52iccpartxr 45701 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
5431adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5554adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5649, 50, 55iccpartxr 45701 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*)
5753, 56jca 513 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*))
5857adantr 482 . . . 4 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*))
59 xrleloe 13072 . . . 4 (((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (π‘ƒβ€˜π½) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
6058, 59syl 17 . . 3 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½) ↔ ((π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) < (π‘ƒβ€˜π½) ∨ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) = (π‘ƒβ€˜π½))))
6148, 60mpbird 257 . 2 (((πœ‘ ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))
6261exp31 421 1 (πœ‘ β†’ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐼 < 𝐽 β†’ (π‘ƒβ€˜(𝐼 + 1)) ≀ (π‘ƒβ€˜π½))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198  β„•cn 12161  β„€cz 12507  ...cfz 13433  ..^cfzo 13576  RePartciccp 45695
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-iccp 45696
This theorem is referenced by:  icceuelpart  45718
  Copyright terms: Public domain W3C validator