Theorem icceuelpartlem 48066

Description: Lemma for icceuelpart 48067. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccpartiun.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p	⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))

Assertion

Ref	Expression
icceuelpartlem	⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Proof of Theorem icceuelpartlem

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6879	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))
2	1	olcd 887	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
3	2	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
4		elfzoelz 13683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
5		elfzoelz 13683	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6		zltp1le 12640	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
7	6	biimpcd 252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 < 𝐽 → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
8	7	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
9	8	impcom 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
10		df-ne 2965	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11		necom 3017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
12	10, 11	sylbb1 240	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
13	12	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
14	13	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
15	9, 14	jca 520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1)))
16		peano2z 12631	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
17	16	zred 12696	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18		zre 12591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
19	17, 18	anim12i 624	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
20	19	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21		ltlen 11307	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
22	20, 21	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽 ∧ 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
23	15, 22	mpbird 260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) < 𝐽)
24	23	ex 417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
25	4, 5, 24	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
26	25	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
27		iccpartiun.m	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
28		iccpartiun.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
29	27, 28	iccpartgt 48058	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)))
30		fzofzp1 13789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31		elfzofz 13700	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32		breq1 5113	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃‘𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
34	33	breq1d 5120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)))
35	32, 34	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗))))
36		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37		fveq2 6879	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝐽))
38	37	breq2d 5122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
39	36, 38	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 = 𝐽 → (((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
40	35, 39	rspc2v 3601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
41	30, 31, 40	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃‘𝑖) < (𝑃‘𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))))
42	29, 41	mpan9 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
43	26, 42	syld 48	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
44	43	expdimp 457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽)))
45	44	impcom 412	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽))
46	45	orcd 886	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
47	46	ex 417	. . . 4 ⊢ (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
48	3, 47	pm2.61i 184	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽)))
49	27	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
50	28	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
51	30	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
52	51	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
53	49, 50, 52	iccpartxr 48050	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
54	31	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
55	54	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
56	49, 50, 55	iccpartxr 48050	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*)
57	53, 56	jca 520	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
58	57	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*))
59		xrleloe 13165	. . . 4 ⊢ (((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃‘𝐽) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
60	58, 59	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃‘𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃‘𝐽))))
61	48, 60	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))
62	61	exp31 424	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃‘𝐽))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  ℝcr 11095  0cc0 11096  1c1 11097   + caddc 11099  ℝ^*cxr 11238   < clt 11239   ≤ cle 11240  ℕcn 12229  ℤcz 12587  ...cfz 13531  ..^cfzo 13678  RePartciccp 48044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-fzo 13679  df-iccp 48045

This theorem is referenced by:  icceuelpart  48067