Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  icceuelpartlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icceuelpartlem 43427
Description: Lemma for icceuelpart 43428. (Contributed by AV, 19-Jul-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
iccpartiun.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
iccpartiun.p (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
Assertion
Ref Expression
icceuelpartlem (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽))))

Proof of Theorem icceuelpartlem
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6667 . . . . . 6 ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))
21olcd 872 . . . . 5 ((𝐼 + 1) = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽)))
32a1d 25 . . . 4 ((𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))))
4 elfzoelz 13028 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → 𝐼 ∈ ℤ)
5 elfzoelz 13028 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ ℤ)
6 zltp1le 12021 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 < 𝐽 ↔ (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
76biimpcd 250 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 < 𝐽 → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
87adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽))
98impcom 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) ≤ 𝐽)
10 df-ne 3022 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽 ↔ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)
11 necom 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 + 1) ≠ 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
1210, 11sylbb1 238 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
1312adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
1413adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → 𝐽 ≠ (𝐼 + 1))
159, 14jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1)))
16 peano2z 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℤ)
1716zred 12076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ ℤ → (𝐼 + 1) ∈ ℝ)
18 zre 11974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ ℤ → 𝐽 ∈ ℝ)
1917, 18anim12i 612 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
2019adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ))
21 ltlen 10730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐼 + 1) ∈ ℝ ∧ 𝐽 ∈ ℝ) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
2220, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 ↔ ((𝐼 + 1) ≤ 𝐽𝐽 ≠ (𝐼 + 1))))
2315, 22mpbird 258 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) ∧ (𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽)) → (𝐼 + 1) < 𝐽)
2423ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ ℤ ∧ 𝐽 ∈ ℤ) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
254, 5, 24syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
2625adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝐼 + 1) < 𝐽))
27 iccpartiun.m . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
28 iccpartiun.p . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
2927, 28iccpartgt 43419 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑗)))
30 fzofzp1 13124 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∈ (0..^𝑀) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
31 elfzofz 13043 . . . . . . . . . . 11 (𝐽 ∈ (0..^𝑀) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
32 breq1 5066 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑖 < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝑗))
33 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑖 = (𝐼 + 1) → (𝑃𝑖) = (𝑃‘(𝐼 + 1)))
3433breq1d 5073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑃𝑖) < (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑗)))
3532, 34imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 = (𝐼 + 1) → ((𝑖 < 𝑗 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑗))))
36 breq2 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → ((𝐼 + 1) < 𝑗 ↔ (𝐼 + 1) < 𝐽))
37 fveq2 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝐽 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝐽))
3837breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝐽 → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑗) ↔ (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽)))
3936, 38imbi12d 346 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 = 𝐽 → (((𝐼 + 1) < 𝑗 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝑗)) ↔ ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽))))
4035, 39rspc2v 3637 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0...𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽))))
4130, 31, 40syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (∀𝑖 ∈ (0...𝑀)∀𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑖 < 𝑗 → (𝑃𝑖) < (𝑃𝑗)) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽))))
4229, 41mpan9 507 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 + 1) < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽)))
4326, 42syld 47 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝐼 < 𝐽 ∧ ¬ (𝐼 + 1) = 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽)))
4443expdimp 453 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽)))
4544impcom 408 . . . . . 6 ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽))
4645orcd 871 . . . . 5 ((¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 ∧ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽)) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽)))
4746ex 413 . . . 4 (¬ (𝐼 + 1) = 𝐽 → (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))))
483, 47pm2.61i 183 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽)))
4927adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑀 ∈ ℕ)
5028adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝑃 ∈ (RePart‘𝑀))
5130adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5251adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝐼 + 1) ∈ (0...𝑀))
5349, 50, 52iccpartxr 43411 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ*)
5431adantl 482 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5554adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → 𝐽 ∈ (0...𝑀))
5649, 50, 55iccpartxr 43411 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → (𝑃𝐽) ∈ ℝ*)
5753, 56jca 512 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐽) ∈ ℝ*))
5857adantr 481 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐽) ∈ ℝ*))
59 xrleloe 12527 . . . 4 (((𝑃‘(𝐼 + 1)) ∈ ℝ* ∧ (𝑃𝐽) ∈ ℝ*) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))))
6058, 59syl 17 . . 3 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → ((𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽) ↔ ((𝑃‘(𝐼 + 1)) < (𝑃𝐽) ∨ (𝑃‘(𝐼 + 1)) = (𝑃𝐽))))
6148, 60mpbird 258 . 2 (((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀))) ∧ 𝐼 < 𝐽) → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽))
6261exp31 420 1 (𝜑 → ((𝐼 ∈ (0..^𝑀) ∧ 𝐽 ∈ (0..^𝑀)) → (𝐼 < 𝐽 → (𝑃‘(𝐼 + 1)) ≤ (𝑃𝐽))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  wral 3143   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cn 11627  cz 11970  ...cfz 12882  ..^cfzo 13023  RePartciccp 43405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-2 11689  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-iccp 43406
This theorem is referenced by:  icceuelpart  43428
  Copyright terms: Public domain W3C validator