Theorem fzopredsuc 48310

Description: Join a predecessor and a successor to the beginning and the end of an open integer interval. This theorem holds even if 𝑁 = 𝑀 (then (𝑀...𝑁) = {𝑀} = ({𝑀} ∪ ∅) ∪ {𝑀}). (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzopredsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzopredsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 4104	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∪ {𝑁}) = {𝑁}
2	1	eqcomi 2769	. . . . 5 ⊢ {𝑁} = ({𝑁} ∪ {𝑁})
3		oveq1 7416	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (𝑁...𝑁))
4		fzsn 13654	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
5	3, 4	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = {𝑁})
6		sneq 4594	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → {𝑀} = {𝑁})
7		oveq1 7416	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 + 1) = (𝑁 + 1))
8	7	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑁 + 1)..^𝑁))
9	6, 8	uneq12d 4116	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)))
10	9	uneq1d 4114	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
11		zre 12652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	lep1d 12203	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
13		peano2z 12692	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
14	13	zred 12758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	11, 14	lenltd 11413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁))
16	12, 15	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁)
17		fzonlt0 13771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
18	13, 17	mpancom 701	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
19	16, 18	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅)
20	19	uneq2d 4115	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ∅))
21		un0 4344	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∪ ∅) = {𝑁}
22	20, 21	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = {𝑁})
23	22	uneq1d 4114	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
24	10, 23	sylan9eqr 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
25	2, 5, 24	3eqtr4a 2821	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
26	25	ex 418	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
27		eluzelz 12930	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	syl11 34	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
29		fzisfzounsn 13869	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
30	29	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
31		eluz2 12926	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
32		simpl1 1210	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		nesym 3011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
35		zre 12652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
36		ltlen 11368	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
37	35, 11, 36	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
38	37	biimprd 251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
39	38	exp4b 436	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))))
40	39	3imp 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
41	34, 40	biimtrrid 246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
42	41	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
43	32, 33, 42	3jca 1146	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
44	43	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
45	31, 44	sylbi 220	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
46	45	impcom 413	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
47		fzopred 48309	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
48	46, 47	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
49	48	uneq1d 4114	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
50	30, 49	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
51	50	ex 418	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
52	28, 51	pm2.61i 184	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   ∪ cun 3897  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℝcr 11156  1c1 11158   + caddc 11160   < clt 11300   ≤ cle 11301  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594  ..^cfzo 13742

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-fzo 13743

This theorem is used by:  1fzopredsuc  48311  sbgoldbo  48801