Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzopredsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzopredsuc 46021
Description: Join a predecessor and a successor to the beginning and the end of an open integer interval. This theorem holds even if 𝑁 = 𝑀 (then (𝑀...𝑁) = {𝑀} = ({𝑀} ∪ ∅) ∪ {𝑀}). (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzopredsuc (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzopredsuc
StepHypRef Expression
1 unidm 4152 . . . . . 6 ({𝑁} ∪ {𝑁}) = {𝑁}
21eqcomi 2741 . . . . 5 {𝑁} = ({𝑁} ∪ {𝑁})
3 oveq1 7415 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (𝑁...𝑁))
4 fzsn 13542 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
53, 4sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = {𝑁})
6 sneq 4638 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → {𝑀} = {𝑁})
7 oveq1 7415 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 + 1) = (𝑁 + 1))
87oveq1d 7423 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑁 + 1)..^𝑁))
96, 8uneq12d 4164 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑁 → ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)))
109uneq1d 4162 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
11 zre 12561 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1211lep1d 12144 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
13 peano2z 12602 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1413zred 12665 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1511, 14lenltd 11359 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁))
1612, 15mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁)
17 fzonlt0 13654 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
1813, 17mpancom 686 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
1916, 18mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅)
2019uneq2d 4163 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ∅))
21 un0 4390 . . . . . . . 8 ({𝑁} ∪ ∅) = {𝑁}
2220, 21eqtrdi 2788 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = {𝑁})
2322uneq1d 4162 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
2410, 23sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
252, 5, 243eqtr4a 2798 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
2625ex 413 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
27 eluzelz 12831 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2826, 27syl11 33 . 2 (𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
29 fzisfzounsn 13743 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
3029adantl 482 . . . 4 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
31 eluz2 12827 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
32 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 simpl2 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
34 nesym 2997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
35 zre 12561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
36 ltlen 11314 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
3735, 11, 36syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
3837biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
3938exp4b 431 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))))
40393imp 1111 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
4134, 40biimtrrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁))
4241imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
4332, 33, 423jca 1128 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
4443ex 413 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
4531, 44sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
4645impcom 408 . . . . . 6 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
47 fzopred 46020 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
4846, 47syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
4948uneq1d 4162 . . . 4 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
5030, 49eqtrd 2772 . . 3 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
5150ex 413 . 2 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
5228, 51pm2.61i 182 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2940  cun 3946  c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7408  cr 11108  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  cle 11248  cz 12557  cuz 12821  ...cfz 13483  ..^cfzo 13626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627
This theorem is referenced by:  1fzopredsuc  46022  sbgoldbo  46445
  Copyright terms: Public domain W3C validator