Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fzopredsuc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fzopredsuc 46031
Description: Join a predecessor and a successor to the beginning and the end of an open integer interval. This theorem holds even if 𝑁 = 𝑀 (then (𝑀...𝑁) = {𝑀} = ({𝑀} ∪ ∅) ∪ {𝑀}). (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
fzopredsuc (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzopredsuc
StepHypRef Expression
1 unidm 4153 . . . . . 6 ({𝑁} ∪ {𝑁}) = {𝑁}
21eqcomi 2742 . . . . 5 {𝑁} = ({𝑁} ∪ {𝑁})
3 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (𝑁...𝑁))
4 fzsn 13543 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
53, 4sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = {𝑁})
6 sneq 4639 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → {𝑀} = {𝑁})
7 oveq1 7416 . . . . . . . . 9 (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 + 1) = (𝑁 + 1))
87oveq1d 7424 . . . . . . . 8 (𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑁 + 1)..^𝑁))
96, 8uneq12d 4165 . . . . . . 7 (𝑀 = 𝑁 → ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)))
109uneq1d 4163 . . . . . 6 (𝑀 = 𝑁 → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
11 zre 12562 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
1211lep1d 12145 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
13 peano2z 12603 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
1413zred 12666 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
1511, 14lenltd 11360 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁))
1612, 15mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁)
17 fzonlt0 13655 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
1813, 17mpancom 687 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
1916, 18mpbid 231 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅)
2019uneq2d 4164 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ∅))
21 un0 4391 . . . . . . . 8 ({𝑁} ∪ ∅) = {𝑁}
2220, 21eqtrdi 2789 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = {𝑁})
2322uneq1d 4163 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
2410, 23sylan9eqr 2795 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
252, 5, 243eqtr4a 2799 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
2625ex 414 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
27 eluzelz 12832 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2826, 27syl11 33 . 2 (𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
29 fzisfzounsn 13744 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
3029adantl 483 . . . 4 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
31 eluz2 12828 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
32 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
33 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
34 nesym 2998 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
35 zre 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
36 ltlen 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
3735, 11, 36syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
3837biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
3938exp4b 432 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀𝑁 → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))))
40393imp 1112 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
4134, 40biimtrrid 242 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁𝑀 < 𝑁))
4241imp 408 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
4332, 33, 423jca 1129 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
4443ex 414 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
4531, 44sylbi 216 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
4645impcom 409 . . . . . 6 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
47 fzopred 46030 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
4846, 47syl 17 . . . . 5 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
4948uneq1d 4163 . . . 4 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
5030, 49eqtrd 2773 . . 3 ((¬ 𝑀 = 𝑁𝑁 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
5150ex 414 . 2 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
5228, 51pm2.61i 182 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cun 3947  c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  cz 12558  cuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628
This theorem is referenced by:  1fzopredsuc  46032  sbgoldbo  46455
  Copyright terms: Public domain W3C validator