Theorem fzopredsuc 47324

Description: Join a predecessor and a successor to the beginning and the end of an open integer interval. This theorem holds even if 𝑁 = 𝑀 (then (𝑀...𝑁) = {𝑀} = ({𝑀} ∪ ∅) ∪ {𝑀}). (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzopredsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzopredsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 4120	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∪ {𝑁}) = {𝑁}
2	1	eqcomi 2738	. . . . 5 ⊢ {𝑁} = ({𝑁} ∪ {𝑁})
3		oveq1 7394	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (𝑁...𝑁))
4		fzsn 13527	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
5	3, 4	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = {𝑁})
6		sneq 4599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → {𝑀} = {𝑁})
7		oveq1 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 + 1) = (𝑁 + 1))
8	7	oveq1d 7402	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑁 + 1)..^𝑁))
9	6, 8	uneq12d 4132	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)))
10	9	uneq1d 4130	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
11		zre 12533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	lep1d 12114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
13		peano2z 12574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
14	13	zred 12638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	11, 14	lenltd 11320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁))
16	12, 15	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁)
17		fzonlt0 13643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
18	13, 17	mpancom 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
19	16, 18	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅)
20	19	uneq2d 4131	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ∅))
21		un0 4357	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∪ ∅) = {𝑁}
22	20, 21	eqtrdi 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = {𝑁})
23	22	uneq1d 4130	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
24	10, 23	sylan9eqr 2786	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
25	2, 5, 24	3eqtr4a 2790	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
26	25	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
27		eluzelz 12803	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	syl11 33	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
29		fzisfzounsn 13740	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
30	29	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
31		eluz2 12799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
32		simpl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		simpl2 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		nesym 2981	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
35		zre 12533	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
36		ltlen 11275	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
37	35, 11, 36	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
38	37	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
39	38	exp4b 430	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))))
40	39	3imp 1110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
41	34, 40	biimtrrid 243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
42	41	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
43	32, 33, 42	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
44	43	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
45	31, 44	sylbi 217	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
46	45	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
47		fzopred 47323	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
48	46, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
49	48	uneq1d 4130	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
50	30, 49	eqtrd 2764	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
51	50	ex 412	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
52	28, 51	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   ∪ cun 3912  ∅c0 4296  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℤcz 12529  ℤ_≥cuz 12793  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616

This theorem is referenced by:  1fzopredsuc  47325  sbgoldbo  47788