Theorem fzopredsuc 47801

Description: Join a predecessor and a successor to the beginning and the end of an open integer interval. This theorem holds even if 𝑁 = 𝑀 (then (𝑀...𝑁) = {𝑀} = ({𝑀} ∪ ∅) ∪ {𝑀}). (Contributed by AV, 14-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
fzopredsuc	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Proof of Theorem fzopredsuc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		unidm 4090	. . . . . 6 ⊢ ({𝑁} ∪ {𝑁}) = {𝑁}
2	1	eqcomi 2750	. . . . 5 ⊢ {𝑁} = ({𝑁} ∪ {𝑁})
3		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (𝑁...𝑁))
4		fzsn 13515	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁...𝑁) = {𝑁})
5	3, 4	sylan9eqr 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = {𝑁})
6		sneq 4568	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → {𝑀} = {𝑁})
7		oveq1 7367	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 + 1) = (𝑁 + 1))
8	7	oveq1d 7375	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑁 + 1)..^𝑁))
9	6, 8	uneq12d 4102	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)))
10	9	uneq1d 4100	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
11		zre 12523	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
12	11	lep1d 12082	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ≤ (𝑁 + 1))
13		peano2z 12563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
14	13	zred 12628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
15	11, 14	lenltd 11287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 ≤ (𝑁 + 1) ↔ ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁))
16	12, 15	mpbid 234	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ¬ (𝑁 + 1) < 𝑁)
17		fzonlt0 13632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
18	13, 17	mpancom 695	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (¬ (𝑁 + 1) < 𝑁 ↔ ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅))
19	16, 18	mpbid 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 + 1)..^𝑁) = ∅)
20	19	uneq2d 4101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = ({𝑁} ∪ ∅))
21		un0 4325	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑁} ∪ ∅) = {𝑁}
22	20, 21	eqtrdi 2792	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) = {𝑁})
23	22	uneq1d 4100	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (({𝑁} ∪ ((𝑁 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
24	10, 23	sylan9eqr 2798	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}) = ({𝑁} ∪ {𝑁}))
25	2, 5, 24	3eqtr4a 2802	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
26	25	ex 414	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 = 𝑁 → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
27		eluzelz 12793	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
28	26, 27	syl11 33	. 2 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
29		fzisfzounsn 13730	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
30	29	adantl 483	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}))
31		eluz2 12789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
32		simpl1 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
33		simpl2 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
34		nesym 2992	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑀 = 𝑁)
35		zre 12523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
36		ltlen 11242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
37	35, 11, 36	syl2an 603	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
38	37	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
39	38	exp4b 432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀 ≤ 𝑁 → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))))
40	39	3imp 1117	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
41	34, 40	biimtrrid 245	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → 𝑀 < 𝑁))
42	41	imp 408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → 𝑀 < 𝑁)
43	32, 33, 42	3jca 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) ∧ ¬ 𝑀 = 𝑁) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
44	43	ex 414	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
45	31, 44	sylbi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁)))
46	45	impcom 409	. . . . . 6 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁))
47		fzopred 47800	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 < 𝑁) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
48	46, 47	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀..^𝑁) = ({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)))
49	48	uneq1d 4100	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → ((𝑀..^𝑁) ∪ {𝑁}) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
50	30, 49	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((¬ 𝑀 = 𝑁 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))
51	50	ex 414	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 𝑁 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁})))
52	28, 51	pm2.61i 183	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀...𝑁) = (({𝑀} ∪ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) ∪ {𝑁}))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ∪ cun 3883  ∅c0 4264  {csn 4558   class class class wbr 5075  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  1c1 11034   + caddc 11036   < clt 11174   ≤ cle 11175  ℤcz 12519  ℤ_≥cuz 12783  ...cfz 13456  ..^cfzo 13603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-fzo 13604

This theorem is referenced by:  1fzopredsuc  47802  sbgoldbo  48292