Theorem difmodm1lt 48085

Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd 𝐴 and 𝑁 = 2, since ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) would be (1 − 0) = 1 which is not less than (𝑁 − 1) = 1. (Contributed by AV, 6-Jun-2012.) (Proof shortened by SN, 27-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difmodm1lt	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Proof of Theorem difmodm1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12638	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	2	zred 12701	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4		nnrp 13029	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6	3, 5	modcld 13910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℂ)
8		zre 12596	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 5	modcld 13910	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11238	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
12	7, 11	negsubdi2d 11586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))
13		m1modmmod 48084	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
14	13	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
15	14	negeqd 11452	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
16	12, 15	eqtr3d 2800	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
17		iftrue 4494	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (𝑁 − 1))
18	17	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (𝑁 − 1))
19	18	negeqd 11452	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -(𝑁 − 1))
20		1red 11210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12316	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 12241	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25		1lt2 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 2)
27		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
28	20, 22, 24, 26, 27	lttrd 11372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
29		difrp 13057	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+))
30	20, 24, 29	syl2anc 595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
32		neglt 13037	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℝ+ → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
33	31, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
34	33	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
35	19, 34	eqbrtrd 5134	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
36		iffalse 4497	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -1)
37	36	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -1)
38	37	negeqd 11452	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = --1)
39		negneg1e1 12208	. . . . . 6 ⊢ --1 = 1
40		df-2 12304	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
41	40	breq1i 5117	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁)
42	41	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 𝑁 → (1 + 1) < 𝑁)
43	42	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 + 1) < 𝑁)
44	20, 20, 24	ltaddsub2d 11816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 + 1) < 𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1)))
45	43, 44	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < (𝑁 − 1))
46	39, 45	eqbrtrid 5147	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → --1 < (𝑁 − 1))
47	46	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → --1 < (𝑁 − 1))
48	38, 47	eqbrtrd 5134	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
49	35, 48	pm2.61ian 823	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
50	16, 49	eqbrtrd 5134	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ifcif 4488   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℝcr 11100  0cc0 11101  1c1 11102   + caddc 11104   < clt 11244   − cmin 11442  -cneg 11443  ℕcn 12234  2c2 12296  ℤcz 12592  ℝ⁺crp 13017   mod cmo 13904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-sup 9403  df-inf 9404  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-rp 13018  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905

This theorem is referenced by: (None)