Theorem difmodm1lt 47716

Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd 𝐴 and 𝑁 = 2, since ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) would be (1 − 0) = 1 which is not less than (𝑁 − 1) = 1. (Contributed by AV, 6-Jun-2012.) (Proof shortened by SN, 27-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difmodm1lt	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Proof of Theorem difmodm1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12546	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	2	zred 12608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4		nnrp 12929	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5	4	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6	3, 5	modcld 13807	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℂ)
8		zre 12504	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 5	modcld 13807	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
12	7, 11	negsubdi2d 11520	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))
13		m1modmmod 47715	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
14	13	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
15	14	negeqd 11386	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
16	12, 15	eqtr3d 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
17		iftrue 4487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (𝑁 − 1))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (𝑁 − 1))
19	18	negeqd 11386	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -(𝑁 − 1))
20		1red 11145	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12231	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 12164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25		1lt2 12323	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 2)
27		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
28	20, 22, 24, 26, 27	lttrd 11306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
29		difrp 12957	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+))
30	20, 24, 29	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
32		neglt 12937	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℝ+ → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
34	33	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
35	19, 34	eqbrtrd 5122	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
36		iffalse 4490	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -1)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -1)
38	37	negeqd 11386	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = --1)
39		negneg1e1 12146	. . . . . 6 ⊢ --1 = 1
40		df-2 12220	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
41	40	breq1i 5107	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁)
42	41	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 𝑁 → (1 + 1) < 𝑁)
43	42	3ad2ant3 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 + 1) < 𝑁)
44	20, 20, 24	ltaddsub2d 11750	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 + 1) < 𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1)))
45	43, 44	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < (𝑁 − 1))
46	39, 45	eqbrtrid 5135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → --1 < (𝑁 − 1))
47	46	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → --1 < (𝑁 − 1))
48	38, 47	eqbrtrd 5122	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
49	35, 48	pm2.61ian 812	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
50	16, 49	eqbrtrd 5122	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178   − cmin 11376  -cneg 11377  ℕcn 12157  2c2 12212  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917   mod cmo 13801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802

This theorem is referenced by: (None)