Theorem difmodm1lt 47333

Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd 𝐴 and 𝑁 = 2, since ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) would be (1 − 0) = 1 which is not less than (𝑁 − 1) = 1. (Contributed by AV, 6-Jun-2012.) (Proof shortened by SN, 27-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difmodm1lt	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Proof of Theorem difmodm1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12552	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	2	zred 12614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4		nnrp 12939	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6	3, 5	modcld 13813	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℂ)
8		zre 12509	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 5	modcld 13813	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11178	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
12	7, 11	negsubdi2d 11525	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))
13		m1modmmod 47332	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
14	13	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
15	14	negeqd 11391	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
16	12, 15	eqtr3d 2766	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
17		iftrue 4490	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (𝑁 − 1))
18	17	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (𝑁 − 1))
19	18	negeqd 11391	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -(𝑁 − 1))
20		1red 11151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12236	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 12169	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25		1lt2 12328	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 2)
27		simp3 1138	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
28	20, 22, 24, 26, 27	lttrd 11311	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
29		difrp 12967	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+))
30	20, 24, 29	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+))
31	28, 30	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
32		neglt 12947	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℝ+ → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
33	31, 32	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
34	33	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
35	19, 34	eqbrtrd 5124	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
36		iffalse 4493	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -1)
37	36	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -1)
38	37	negeqd 11391	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = --1)
39		negneg1e1 12151	. . . . . 6 ⊢ --1 = 1
40		df-2 12225	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
41	40	breq1i 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁)
42	41	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 𝑁 → (1 + 1) < 𝑁)
43	42	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 + 1) < 𝑁)
44	20, 20, 24	ltaddsub2d 11755	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 + 1) < 𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1)))
45	43, 44	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < (𝑁 − 1))
46	39, 45	eqbrtrid 5137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → --1 < (𝑁 − 1))
47	46	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → --1 < (𝑁 − 1))
48	38, 47	eqbrtrd 5124	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
49	35, 48	pm2.61ian 811	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
50	16, 49	eqbrtrd 5124	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4484   class class class wbr 5102  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   < clt 11184   − cmin 11381  -cneg 11382  ℕcn 12162  2c2 12217  ℤcz 12505  ℝ⁺crp 12927   mod cmo 13807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808

This theorem is referenced by: (None)