Theorem difmodm1lt 48448

Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd 𝐴 and 𝑁 = 2, since ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) would be (1 − 0) = 1 which is not less than (𝑁 − 1) = 1. (Contributed by AV, 6-Jun-2012.)

Assertion

Ref	Expression
difmodm1lt	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Proof of Theorem difmodm1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = 1)
2		zre 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		nnre 12274	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
5	4	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
6		1lt2 12438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 < 2
7		1red 11263	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ)
8		2re 12341	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 2 ∈ ℝ
9	8	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈ ℝ)
10	7, 9, 4	3jca 1128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ))
11		lttr 11338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 < 2 ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁))
13	6, 12	mpani 696	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 < 𝑁 → 1 < 𝑁))
14	13	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 < 𝑁 → 1 < 𝑁)))
15	14	3imp 1110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
16	3, 5, 15	3jca 1128	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁))
18		m1mod0mod1 47361	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
19	17, 18	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
20	1, 19	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
21	1, 20	oveq12d 7450	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = (1 − 0))
22		df-2 12330	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
23	22	breq1i 5149	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁)
24	23	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 𝑁 → (1 + 1) < 𝑁)
25	24	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 + 1) < 𝑁)
26		1red 11263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
27	4	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
28	26, 26, 27	ltaddsub2d 11865	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 + 1) < 𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1)))
29	25, 28	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < (𝑁 − 1))
30		1m0e1 12388	. . . . . . 7 ⊢ (1 − 0) = 1
31	30	breq1i 5149	. . . . . 6 ⊢ ((1 − 0) < (𝑁 − 1) ↔ 1 < (𝑁 − 1))
32	29, 31	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
33	32	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
34	33	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (1 − 0) < (𝑁 − 1))
35	21, 34	eqbrtrd 5164	. 2 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
36		zmodfz 13934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
37	36	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)))
38		elfzle2 13569	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
39	37, 38	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
40	39	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1))
41		nnrp 13047	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
42	41	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
43	3, 42	modcld 13916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
44		peano2rem 11577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
45	4, 44	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
46	45	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
47		peano2zm 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
48	47	zred 12724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
49	48	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
50	49, 42	modcld 13916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
51	43, 46, 50	3jca 1128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
52	51	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
53		lesub1 11758	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))))
54	52, 53	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))))
55	40, 54	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))
56	49, 42	jca 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
57	56	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+))
58		modge0 13920	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
59	57, 58	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
60	16, 18	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1))
61	60	bicomd 223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0))
62	61	notbid 318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0))
63	62	biimpac 478	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)
64	63	neqned 2946	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)
65	59, 64	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0))
66		0red 11265	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
67	66, 50	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
68	67	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ))
69		ltlen 11363	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)))
70	68, 69	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)))
71	65, 70	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁))
72	50, 46	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
73	72	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
74		ltsubpos 11756	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
75	73, 74	syl 17	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
76	71, 75	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
77	43, 50	resubcld 11692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ)
78	46, 50	resubcld 11692	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ)
79	77, 78, 46	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
80	79	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ))
81		lelttr 11352	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
82	80, 81	syl 17	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)))
83	55, 76, 82	mp2and 699	. 2 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))
84	35, 83	pm2.61ian 811	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  ℝcr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  ℕcn 12267  2c2 12322  ℤcz 12615  ℝ⁺crp 13035  ...cfz 13548   mod cmo 13910

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-rp 13036  df-fz 13549  df-fl 13833  df-mod 13911

This theorem is referenced by: (None)