Theorem difmodm1lt 48511

Description: The difference between an integer modulo a positive integer and the integer decreased by 1 modulo the same modulus is less than the modulus decreased by 1 (if the modulus is greater than 2). This theorem would not be valid for an odd 𝐴 and 𝑁 = 2, since ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) would be (1 − 0) = 1 which is not less than (𝑁 − 1) = 1. (Contributed by AV, 6-Jun-2012.) (Proof shortened by SN, 27-Nov-2025.)

Assertion

Ref	Expression
difmodm1lt	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

Proof of Theorem difmodm1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 12740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
3	2	zred 12804	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
4		nnrp 13133	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
5	4	3ad2ant2 1152	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
6	3, 5	modcld 14016	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ)
7	6	recnd 11338	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℂ)
8		zre 12698	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℝ)
9	8	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ)
10	9, 5	modcld 14016	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ)
11	10	recnd 11338	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℂ)
12	7, 11	negsubdi2d 11686	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))
13		m1modmmod 48510	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
14	13	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
15	14	negeqd 11552	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(((𝐴 − 1) mod 𝑁) − (𝐴 mod 𝑁)) = -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
16	12, 15	eqtr3d 2797	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1))
17		iftrue 4487	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 mod 𝑁) = 0 → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (𝑁 − 1))
18	17	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = (𝑁 − 1))
19	18	negeqd 11552	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -(𝑁 − 1))
20		1red 11310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
21		2re 12418	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ
22	21	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
23		nnre 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
24	23	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
25		1lt2 12516	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 < 2
26	25	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 2)
27		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 2 < 𝑁)
28	20, 22, 24, 26, 27	lttrd 11472	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < 𝑁)
29		difrp 13161	. . . . . . . 8 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+))
30	20, 24, 29	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 < 𝑁 ↔ (𝑁 − 1) ∈ ℝ+))
31	28, 30	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (𝑁 − 1) ∈ ℝ+)
32		neglt 13141	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ ℝ+ → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
33	31, 32	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
34	33	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -(𝑁 − 1) < (𝑁 − 1))
35	19, 34	eqbrtrd 5126	. . 3 ⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
36		iffalse 4490	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -1)
37	36	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = -1)
38	37	negeqd 11552	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) = - -1)
39		negneg1e1 12310	. . . . . 6 ⊢ - -1 = 1
40		df-2 12406	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 = (1 + 1)
41	40	breq1i 5109	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < 𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁)
42	41	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (2 < 𝑁 → (1 + 1) < 𝑁)
43	42	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → (1 + 1) < 𝑁)
44	20, 20, 24	ltaddsub2d 11918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((1 + 1) < 𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1)))
45	43, 44	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → 1 < (𝑁 − 1))
46	39, 45	eqbrtrid 5139	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → - -1 < (𝑁 − 1))
47	46	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → - -1 < (𝑁 − 1))
48	38, 47	eqbrtrd 5126	. . 3 ⊢ ((¬ (𝐴 mod 𝑁) = 0 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
49	35, 48	pm2.61ian 824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → -if((𝐴 mod 𝑁) = 0, (𝑁 − 1), -1) < (𝑁 − 1))
50	16, 49	eqbrtrd 5126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202   + caddc 11204   < clt 11344   − cmin 11542   -cneg 11543  ℕcn 12336  2c2 12398  ℤcz 12694  ℝ⁺crp 13121   mod cmo 14010

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-sup 9435  df-inf 9436  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-rp 13122  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-fl 13933  df-mod 14011

This theorem is used by: (None)