Proof of Theorem difmodm1lt
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | simpl 482 | . . . 4
⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) = 1) | 
| 2 |  | zre 12619 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈
ℝ) | 
| 3 | 2 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → 𝐴 ∈ ℝ) | 
| 4 |  | nnre 12274 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℝ) | 
| 5 | 4 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ) | 
| 6 |  | 1lt2 12438 | . . . . . . . . . . 11
⊢ 1 <
2 | 
| 7 |  | 1red 11263 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈
ℝ) | 
| 8 |  | 2re 12341 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 2 ∈
ℝ | 
| 9 | 8 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 2 ∈
ℝ) | 
| 10 | 7, 9, 4 | 3jca 1128 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 ∈
ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ)) | 
| 11 |  | lttr 11338 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((1
∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → ((1 < 2 ∧ 2
< 𝑁) → 1 < 𝑁)) | 
| 12 | 10, 11 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((1 <
2 ∧ 2 < 𝑁) → 1
< 𝑁)) | 
| 13 | 6, 12 | mpani 696 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (2 <
𝑁 → 1 < 𝑁)) | 
| 14 | 13 | a1i 11 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ ℕ → (2 <
𝑁 → 1 < 𝑁))) | 
| 15 | 14 | 3imp 1110 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → 1 < 𝑁) | 
| 16 | 3, 5, 15 | 3jca 1128 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 <
𝑁)) | 
| 17 | 16 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑁)) | 
| 18 |  | m1mod0mod1 47361 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 <
𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1)) | 
| 19 | 17, 18 | syl 17 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1)) | 
| 20 | 1, 19 | mpbird 257 | . . . 4
⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) | 
| 21 | 1, 20 | oveq12d 7450 | . . 3
⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) = (1 − 0)) | 
| 22 |  | df-2 12330 | . . . . . . . . . 10
⊢ 2 = (1 +
1) | 
| 23 | 22 | breq1i 5149 | . . . . . . . . 9
⊢ (2 <
𝑁 ↔ (1 + 1) < 𝑁) | 
| 24 | 23 | biimpi 216 | . . . . . . . 8
⊢ (2 <
𝑁 → (1 + 1) < 𝑁) | 
| 25 | 24 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (1 + 1) <
𝑁) | 
| 26 |  | 1red 11263 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → 1 ∈
ℝ) | 
| 27 | 4 | adantr 480 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ) | 
| 28 | 26, 26, 27 | ltaddsub2d 11865 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → ((1 + 1) <
𝑁 ↔ 1 < (𝑁 − 1))) | 
| 29 | 25, 28 | mpbid 232 | . . . . . 6
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → 1 < (𝑁 − 1)) | 
| 30 |  | 1m0e1 12388 | . . . . . . 7
⊢ (1
− 0) = 1 | 
| 31 | 30 | breq1i 5149 | . . . . . 6
⊢ ((1
− 0) < (𝑁 −
1) ↔ 1 < (𝑁 −
1)) | 
| 32 | 29, 31 | sylibr 234 | . . . . 5
⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (1 − 0)
< (𝑁 −
1)) | 
| 33 | 32 | 3adant1 1130 | . . . 4
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (1 − 0)
< (𝑁 −
1)) | 
| 34 | 33 | adantl 481 | . . 3
⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (1 − 0) <
(𝑁 −
1)) | 
| 35 | 21, 34 | eqbrtrd 5164 | . 2
⊢ (((𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) | 
| 36 |  | zmodfz 13934 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1))) | 
| 37 | 36 | 3adant3 1132 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1))) | 
| 38 |  | elfzle2 13569 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 mod 𝑁) ∈ (0...(𝑁 − 1)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1)) | 
| 39 | 37, 38 | syl 17 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1)) | 
| 40 | 39 | adantl 481 | . . . 4
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1)) | 
| 41 |  | nnrp 13047 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈
ℝ+) | 
| 42 | 41 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → 𝑁 ∈
ℝ+) | 
| 43 | 3, 42 | modcld 13916 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ) | 
| 44 |  | peano2rem 11577 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 − 1) ∈
ℝ) | 
| 45 | 4, 44 | syl 17 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 − 1) ∈
ℝ) | 
| 46 | 45 | 3ad2ant2 1134 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (𝑁 − 1) ∈
ℝ) | 
| 47 |  | peano2zm 12662 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈
ℤ) | 
| 48 | 47 | zred 12724 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈
ℝ) | 
| 49 | 48 | 3ad2ant1 1133 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (𝐴 − 1) ∈
ℝ) | 
| 50 | 49, 42 | modcld 13916 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈
ℝ) | 
| 51 | 43, 46, 50 | 3jca 1128 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈
ℝ)) | 
| 52 | 51 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈
ℝ)) | 
| 53 |  | lesub1 11758 | . . . . 5
⊢ (((𝐴 mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))) | 
| 54 | 52, 53 | syl 17 | . . . 4
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) ≤ (𝑁 − 1) ↔ ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)))) | 
| 55 | 40, 54 | mpbid 232 | . . 3
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁))) | 
| 56 | 49, 42 | jca 511 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
𝑁 ∈
ℝ+)) | 
| 57 | 56 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈
ℝ+)) | 
| 58 |  | modge0 13920 | . . . . . . 7
⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧
𝑁 ∈
ℝ+) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) | 
| 59 | 57, 58 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) | 
| 60 | 16, 18 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0 ↔ (𝐴 mod 𝑁) = 1)) | 
| 61 | 60 | bicomd 223 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)) | 
| 62 | 61 | notbid 318 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (¬ (𝐴 mod 𝑁) = 1 ↔ ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0)) | 
| 63 | 62 | biimpac 478 | . . . . . . 7
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ¬ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) = 0) | 
| 64 | 63 | neqned 2946 | . . . . . 6
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0) | 
| 65 | 59, 64 | jca 511 | . . . . 5
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0)) | 
| 66 |  | 0red 11265 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → 0 ∈
ℝ) | 
| 67 | 66, 50 | jca 511 | . . . . . . 7
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (0 ∈ ℝ
∧ ((𝐴 − 1) mod
𝑁) ∈
ℝ)) | 
| 68 | 67 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 ∈ ℝ
∧ ((𝐴 − 1) mod
𝑁) ∈
ℝ)) | 
| 69 |  | ltlen 11363 | . . . . . 6
⊢ ((0
∈ ℝ ∧ ((𝐴
− 1) mod 𝑁) ∈
ℝ) → (0 < ((𝐴
− 1) mod 𝑁) ↔ (0
≤ ((𝐴 − 1) mod
𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0))) | 
| 70 | 68, 69 | syl 17 | . . . . 5
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ (0 ≤ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∧ ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ≠ 0))) | 
| 71 | 65, 70 | mpbird 257 | . . . 4
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → 0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) | 
| 72 | 50, 46 | jca 511 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℝ)) | 
| 73 | 72 | adantl 481 | . . . . 5
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℝ)) | 
| 74 |  | ltsubpos 11756 | . . . . 5
⊢ ((((𝐴 − 1) mod 𝑁) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ)
→ (0 < ((𝐴 −
1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))) | 
| 75 | 73, 74 | syl 17 | . . . 4
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (0 < ((𝐴 − 1) mod 𝑁) ↔ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))) | 
| 76 | 71, 75 | mpbid 232 | . . 3
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) | 
| 77 | 43, 50 | resubcld 11692 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ) | 
| 78 | 46, 50 | resubcld 11692 | . . . . . 6
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈
ℝ) | 
| 79 | 77, 78, 46 | 3jca 1128 | . . . . 5
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℝ)) | 
| 80 | 79 | adantl 481 | . . . 4
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → (((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈
ℝ)) | 
| 81 |  | lelttr 11352 | . . . 4
⊢ ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℝ) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))) | 
| 82 | 80, 81 | syl 17 | . . 3
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ≤ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) ∧ ((𝑁 − 1) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1))) | 
| 83 | 55, 76, 82 | mp2and 699 | . 2
⊢ ((¬
(𝐴 mod 𝑁) = 1 ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 < 𝑁)) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) | 
| 84 | 35, 83 | pm2.61ian 811 | 1
⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 2 <
𝑁) → ((𝐴 mod 𝑁) − ((𝐴 − 1) mod 𝑁)) < (𝑁 − 1)) |