MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0lt2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0lt2 12573
Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)
Assertion
Ref Expression
nn0lt2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2
StepHypRef Expression
1 olc 867 . . 3 (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
21a1d 25 . 2 (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3 nn0z 12531 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
4 2z 12542 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
5 zltlem1 12563 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
63, 4, 5sylancl 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7 2m1e1 12286 . . . . . . 7 (2 − 1) = 1
87breq2i 5118 . . . . . 6 (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
96, 8bitrdi 287 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10 necom 2998 . . . . . 6 (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11 nn0re 12429 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
12 1re 11162 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
13 ltlen 11263 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
1411, 12, 13sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
15 nn0lt10b 12572 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
1615biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
1716orcd 872 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
1817ex 414 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
1914, 18sylbird 260 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
2019expd 417 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2110, 20syl7bi 255 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
229, 21sylbid 239 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
2322imp 408 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
2423com12 32 . 2 (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
252, 24pm2.61ine 3029 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2944   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   < clt 11196  cle 11197  cmin 11392  2c2 12215  0cn0 12420  cz 12506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator