Theorem nn0lt2 12630

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 879	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2	1	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3		nn0z 12586	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		2z 12597	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		zltlem1 12618	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
6	3, 4, 5	sylancl 595	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7		2m1e1 12336	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
8	7	breq2i 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
9	6, 8	bitrdi 289	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10		necom 3009	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11		nn0re 12484	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		1re 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		ltlen 11278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
14	11, 12, 13	sylancl 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
15		nn0lt10b 12629	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
16	15	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
17	16	orcd 884	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
18	17	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
19	14, 18	sylbird 262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
20	19	expd 419	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
21	10, 20	syl7bi 257	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
22	9, 21	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
23	22	imp 410	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
24	23	com12 32	. 2 ⊢ (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
25	2, 24	pm2.61ine 3039	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5097  (class class class)co 7391  ℝcr 11066  0cc0 11067  1c1 11068   < clt 11210   ≤ cle 11211   − cmin 11408  2c2 12266  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563

This theorem is referenced by:  2exple2exp  32997