Theorem nn0lt2 12559

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 869	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2	1	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3		nn0z 12516	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		2z 12527	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		zltlem1 12548	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
6	3, 4, 5	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7		2m1e1 12270	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
8	7	breq2i 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
9	6, 8	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10		necom 2986	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11		nn0re 12414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		1re 11136	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		ltlen 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
14	11, 12, 13	sylancl 587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
15		nn0lt10b 12558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
17	16	orcd 874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
19	14, 18	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
20	19	expd 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
21	10, 20	syl7bi 255	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
22	9, 21	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
23	22	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
24	23	com12 32	. 2 ⊢ (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
25	2, 24	pm2.61ine 3016	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  (class class class)co 7360  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  2c2 12204  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493

This theorem is referenced by:  2exple2exp  32907