Theorem nn0lt2 12681

Description: A nonnegative integer less than 2 must be 0 or 1. (Contributed by Alexander van der Vekens, 16-Sep-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0lt2	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Proof of Theorem nn0lt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		olc 869	. . 3 ⊢ (𝑁 = 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
2	1	a1d 25	. 2 ⊢ (𝑁 = 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
3		nn0z 12638	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
4		2z 12649	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
5		zltlem1 12670	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
6	3, 4, 5	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ (2 − 1)))
7		2m1e1 12392	. . . . . . 7 ⊢ (2 − 1) = 1
8	7	breq2i 5151	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≤ (2 − 1) ↔ 𝑁 ≤ 1)
9	6, 8	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 ↔ 𝑁 ≤ 1))
10		necom 2994	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 1 ↔ 1 ≠ 𝑁)
11		nn0re 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
12		1re 11261	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
13		ltlen 11362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
14	11, 12, 13	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ (𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁)))
15		nn0lt10b 12680	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 ↔ 𝑁 = 0))
16	15	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → 𝑁 = 0)
17	16	orcd 874	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 1) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))
18	17	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
19	14, 18	sylbird 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≤ 1 ∧ 1 ≠ 𝑁) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
20	19	expd 415	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (1 ≠ 𝑁 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
21	10, 20	syl7bi 255	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 ≤ 1 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
22	9, 21	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 < 2 → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))))
23	22	imp 406	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 ≠ 1 → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
24	23	com12 32	. 2 ⊢ (𝑁 ≠ 1 → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1)))
25	2, 24	pm2.61ine 3025	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 < 2) → (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296   − cmin 11492  2c2 12321  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-n0 12527  df-z 12614

This theorem is referenced by:  2exple2exp  32834