Theorem oddprmgt2 16764

Description: An odd prime is greater than 2. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmgt2	⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)

Proof of Theorem oddprmgt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4752	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2		prmuz2 16760	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2 12874	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑃))
4		zre 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
5		zre 12601	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
6		ltlen 11317	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
7	4, 5, 6	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
8	7	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃))
9	8	exp4b 435	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑃 → (𝑃 ≠ 2 → 2 < 𝑃))))
10	9	3imp 1127	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑃) → (𝑃 ≠ 2 → 2 < 𝑃))
11	3, 10	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ≠ 2 → 2 < 𝑃))
12	2, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 2 < 𝑃))
13	12	imp 411	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃)
14	1, 13	sylbi 220	1 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   ∖ cdif 3901  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  ℝcr 11105   < clt 11249   ≤ cle 11250  2c2 12301  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12868  ℙcprime 16735

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-rp 13023  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-prm 16736

This theorem is used by:  oddprmge3  16765  m1lgs  27563