Theorem oddprmgt2 16901

Description: An odd prime is greater than 2. (Contributed by AV, 20-Aug-2021.)

Assertion

Ref	Expression
oddprmgt2	⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)

Proof of Theorem oddprmgt2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsn 4748	. 2 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) ↔ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2))
2		prmuz2 16897	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ≥‘2))
3		eluz2 12995	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑃))
4		zre 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ ℝ)
5		zre 12721	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 ∈ ℤ → 𝑃 ∈ ℝ)
6		ltlen 11435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
7	4, 5, 6	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → (2 < 𝑃 ↔ (2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2)))
8	7	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ) → ((2 ≤ 𝑃 ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃))
9	8	exp4b 436	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℤ → (𝑃 ∈ ℤ → (2 ≤ 𝑃 → (𝑃 ≠ 2 → 2 < 𝑃))))
10	9	3imp 1128	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑃 ∈ ℤ ∧ 2 ≤ 𝑃) → (𝑃 ≠ 2 → 2 < 𝑃))
11	3, 10	sylbi 220	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝑃 ≠ 2 → 2 < 𝑃))
12	2, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 ≠ 2 → 2 < 𝑃))
13	12	imp 412	. 2 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑃 ≠ 2) → 2 < 𝑃)
14	1, 13	sylbi 220	1 ⊢ (𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}) → 2 < 𝑃)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ∖ cdif 4048  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6555  ℝcr 11223   < clt 11367   ≤ cle 11368  2c2 12421  ℤcz 12717  ℤ_≥cuz 12989  ℙcprime 16872

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-seq 14169  df-exp 14229  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-dvds 16449  df-prm 16873

This theorem is used by:  oddprmge3  16902  m1lgs  27742  fltoprmlem1  28020