Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem2 25589
 Description: Lemma for emcl 25595. 𝐹 is increasing, and 𝐺 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
Assertion
Ref Expression
emcllem2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem emcllem2
StepHypRef Expression
1 peano2nn 11646 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nnrecred 11685 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
31nnrpd 12426 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
43relogcld 25221 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
5 nnrp 12397 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
65relogcld 25221 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 11066 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
8 fzfid 13345 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfznn 12940 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
109adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1110nnrecred 11685 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
128, 11fsumrecl 15091 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
133rpreccld 12438 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
1413rpge0d 12432 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
15 1div1e1 11328 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
16 1re 10639 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
17 ltaddrp 12423 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑁))
1816, 5, 17sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (1 + 𝑁))
19 ax-1cn 10593 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
20 nncn 11642 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21 addcom 10824 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2219, 20, 21sylancr 590 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2318, 22breqtrd 5078 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (𝑁 + 1))
2415, 23eqbrtrid 5087 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < (𝑁 + 1))
251nnred 11649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
261nngt0d 11683 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
27 0lt1 11160 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
28 ltrec1 11525 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1))) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
2916, 27, 28mpanl12 701 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1)) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3025, 26, 29syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3124, 30mpbid 235 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) < 1)
322, 14, 31eflegeo 15474 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))))
3325recnd 10667 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
34 nnne0 11668 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
351nnne0d 11684 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
3620, 33, 34, 35recdivd 11431 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
37 1cnd 10634 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3833, 37, 33, 35divsubdird 11453 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))))
39 pncan 10890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4020, 19, 39sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4140oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4233, 35dividd 11412 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
4342oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (1 − (1 / (𝑁 + 1))))
4438, 41, 433eqtr3rd 2868 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (𝑁 + 1))) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4544oveq2d 7165 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))))
463, 5rpdivcld 12445 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
4746reeflogd 25222 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
4836, 45, 473eqtr4d 2869 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4932, 48breqtrd 5078 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
503, 5relogdivd 25224 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
5150, 7eqeltrd 2916 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
52 efle 15471 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ) → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
532, 51, 52syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
5449, 53mpbird 260 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
5554, 50breqtrd 5078 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
562, 7, 12, 55leadd2dd 11253 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
57 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
58 nnuz 12278 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5957, 58eleqtrdi 2926 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
60 elfznn 12940 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6160adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6261nnrecred 11685 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
6362recnd 10667 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
64 oveq2 7157 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑁 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑁 + 1)))
6559, 63, 64fsump1 15111 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
664recnd 10667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6712recnd 10667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
686recnd 10667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
6966, 67, 68addsub12d 11018 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
7056, 65, 693brtr4d 5084 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))))
71 fzfid 13345 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7271, 62fsumrecl 15091 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
7312, 6resubcld 11066 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
7472, 4, 73lesubadd2d 11237 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ↔ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))))
7570, 74mpbird 260 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
76 oveq2 7157 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (1...𝑛) = (1...(𝑁 + 1)))
7776sumeq1d 15058 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
78 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑁 + 1)))
7977, 78oveq12d 7167 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
80 emcl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
81 ovex 7182 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
8279, 80, 81fvmpt 6759 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
831, 82syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
84 oveq2 7157 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
8584sumeq1d 15058 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
86 fveq2 6661 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘𝑛) = (log‘𝑁))
8785, 86oveq12d 7167 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
88 ovex 7182 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ V
8987, 80, 88fvmpt 6759 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
9075, 83, 893brtr4d 5084 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁))
91 peano2nn 11646 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
921, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
9392nnrpd 12426 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ+)
9493relogcld 25221 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9594, 4resubcld 11066 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
96 logdifbnd 25586 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
973, 96syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
9895, 2, 12, 97leadd2dd 11253 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
9994recnd 10667 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
10067, 66, 99subadd23d 11017 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))))
10198, 100, 653brtr4d 5084 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
10212, 4resubcld 11066 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
103 leaddsub 11114 . . . . 5 (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ) → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
104102, 94, 72, 103syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
105101, 104mpbid 235 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
106 fvoveq1 7172 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
10785, 106oveq12d 7167 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
108 emcl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
109 ovex 7182 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 6759 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
111 fvoveq1 7172 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘((𝑁 + 1) + 1)))
11277, 111oveq12d 7167 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
113 ovex 7182 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ∈ V
114112, 108, 113fvmpt 6759 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
1151, 114syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
116105, 110, 1153brtr4d 5084 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
11790, 116jca 515 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5052   ↦ cmpt 5132  ‘cfv 6343  (class class class)co 7149  ℂcc 10533  ℝcr 10534  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   < clt 10673   ≤ cle 10674   − cmin 10868   / cdiv 11295  ℕcn 11634  ℤ≥cuz 12240  ℝ+crp 12386  ...cfz 12894  Σcsu 15042  expce 15415  logclog 25153 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-inf2 9101  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613  ax-addf 10614  ax-mulf 10615 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-pm 8405  df-ixp 8458  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-fsupp 8831  df-fi 8872  df-sup 8903  df-inf 8904  df-oi 8971  df-card 9365  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-7 11702  df-8 11703  df-9 11704  df-n0 11895  df-z 11979  df-dec 12096  df-uz 12241  df-q 12346  df-rp 12387  df-xneg 12504  df-xadd 12505  df-xmul 12506  df-ioo 12739  df-ioc 12740  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-fzo 13038  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-exp 13435  df-fac 13639  df-bc 13668  df-hash 13696  df-shft 14426  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-limsup 14828  df-clim 14845  df-rlim 14846  df-sum 15043  df-ef 15421  df-sin 15423  df-cos 15424  df-pi 15426  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20090  df-xmet 20091  df-met 20092  df-bl 20093  df-mopn 20094  df-fbas 20095  df-fg 20096  df-cnfld 20099  df-top 21506  df-topon 21523  df-topsp 21545  df-bases 21558  df-cld 21631  df-ntr 21632  df-cls 21633  df-nei 21710  df-lp 21748  df-perf 21749  df-cn 21839  df-cnp 21840  df-haus 21927  df-tx 22174  df-hmeo 22367  df-fil 22458  df-fm 22550  df-flim 22551  df-flf 22552  df-xms 22934  df-ms 22935  df-tms 22936  df-cncf 23490  df-limc 24476  df-dv 24477  df-log 25155 This theorem is referenced by:  emcllem6  25593  emcllem7  25594
 Copyright terms: Public domain W3C validator