MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem2 26884
Description: Lemma for emcl 26890. 𝐹 is increasing, and 𝐺 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
Assertion
Ref Expression
emcllem2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem emcllem2
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12228 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nnrecred 12267 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
31nnrpd 13020 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
43relogcld 26512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
5 nnrp 12991 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
65relogcld 26512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 11646 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
8 fzfid 13944 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfznn 13536 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1110nnrecred 12267 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
128, 11fsumrecl 15686 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
133rpreccld 13032 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
1413rpge0d 13026 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
15 1div1e1 11908 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
16 1re 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
17 ltaddrp 13017 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑁))
1816, 5, 17sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (1 + 𝑁))
19 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
20 nncn 12224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21 addcom 11404 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2219, 20, 21sylancr 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2318, 22breqtrd 5167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (𝑁 + 1))
2415, 23eqbrtrid 5176 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < (𝑁 + 1))
251nnred 12231 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
261nngt0d 12265 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
27 0lt1 11740 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
28 ltrec1 12105 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1))) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
2916, 27, 28mpanl12 699 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1)) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3025, 26, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3124, 30mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) < 1)
322, 14, 31eflegeo 16071 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))))
3325recnd 11246 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
34 nnne0 12250 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
351nnne0d 12266 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
3620, 33, 34, 35recdivd 12011 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
37 1cnd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3833, 37, 33, 35divsubdird 12033 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))))
39 pncan 11470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4020, 19, 39sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4140oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4233, 35dividd 11992 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
4342oveq1d 7420 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (1 − (1 / (𝑁 + 1))))
4438, 41, 433eqtr3rd 2775 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (𝑁 + 1))) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4544oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))))
463, 5rpdivcld 13039 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
4746reeflogd 26513 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
4836, 45, 473eqtr4d 2776 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4932, 48breqtrd 5167 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
503, 5relogdivd 26515 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
5150, 7eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
52 efle 16068 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ) → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
532, 51, 52syl2anc 583 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
5554, 50breqtrd 5167 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
562, 7, 12, 55leadd2dd 11833 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
57 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
58 nnuz 12869 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5957, 58eleqtrdi 2837 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
60 elfznn 13536 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6160adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6261nnrecred 12267 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
6362recnd 11246 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
64 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑁 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑁 + 1)))
6559, 63, 64fsump1 15708 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
664recnd 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6712recnd 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
686recnd 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
6966, 67, 68addsub12d 11598 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
7056, 65, 693brtr4d 5173 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))))
71 fzfid 13944 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7271, 62fsumrecl 15686 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
7312, 6resubcld 11646 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
7472, 4, 73lesubadd2d 11817 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ↔ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))))
7570, 74mpbird 257 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
76 oveq2 7413 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (1...𝑛) = (1...(𝑁 + 1)))
7776sumeq1d 15653 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
78 fveq2 6885 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑁 + 1)))
7977, 78oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
80 emcl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
81 ovex 7438 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
8279, 80, 81fvmpt 6992 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
831, 82syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
84 oveq2 7413 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
8584sumeq1d 15653 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
86 fveq2 6885 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘𝑛) = (log‘𝑁))
8785, 86oveq12d 7423 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
88 ovex 7438 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ V
8987, 80, 88fvmpt 6992 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
9075, 83, 893brtr4d 5173 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁))
91 peano2nn 12228 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
921, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
9392nnrpd 13020 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ+)
9493relogcld 26512 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9594, 4resubcld 11646 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
96 logdifbnd 26881 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
973, 96syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
9895, 2, 12, 97leadd2dd 11833 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
9994recnd 11246 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
10067, 66, 99subadd23d 11597 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))))
10198, 100, 653brtr4d 5173 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
10212, 4resubcld 11646 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
103 leaddsub 11694 . . . . 5 (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ) → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
104102, 94, 72, 103syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
105101, 104mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
106 fvoveq1 7428 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
10785, 106oveq12d 7423 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
108 emcl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
109 ovex 7438 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 6992 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
111 fvoveq1 7428 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘((𝑁 + 1) + 1)))
11277, 111oveq12d 7423 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
113 ovex 7438 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ∈ V
114112, 108, 113fvmpt 6992 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
1151, 114syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
116105, 110, 1153brtr4d 5173 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
11790, 116jca 511 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5141  cmpt 5224  cfv 6537  (class class class)co 7405  cc 11110  cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448   / cdiv 11875  cn 12216  cuz 12826  +crp 12980  ...cfz 13490  Σcsu 15638  expce 16011  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445
This theorem is referenced by:  emcllem6  26888  emcllem7  26889
  Copyright terms: Public domain W3C validator