MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem2 26974
Description: Lemma for emcl 26980. 𝐹 is increasing, and 𝐺 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
Assertion
Ref Expression
emcllem2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem emcllem2
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12257 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nnrecred 12296 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
31nnrpd 13049 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
43relogcld 26602 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
5 nnrp 13020 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
65relogcld 26602 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 11674 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
8 fzfid 13974 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfznn 13565 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
109adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1110nnrecred 12296 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
128, 11fsumrecl 15716 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
133rpreccld 13061 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
1413rpge0d 13055 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
15 1div1e1 11937 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
16 1re 11246 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
17 ltaddrp 13046 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑁))
1816, 5, 17sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (1 + 𝑁))
19 ax-1cn 11198 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
20 nncn 12253 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21 addcom 11432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2219, 20, 21sylancr 585 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2318, 22breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (𝑁 + 1))
2415, 23eqbrtrid 5184 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < (𝑁 + 1))
251nnred 12260 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
261nngt0d 12294 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
27 0lt1 11768 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
28 ltrec1 12134 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1))) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
2916, 27, 28mpanl12 700 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1)) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3025, 26, 29syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3124, 30mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) < 1)
322, 14, 31eflegeo 16101 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))))
3325recnd 11274 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
34 nnne0 12279 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
351nnne0d 12295 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
3620, 33, 34, 35recdivd 12040 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
37 1cnd 11241 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3833, 37, 33, 35divsubdird 12062 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))))
39 pncan 11498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4020, 19, 39sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4140oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4233, 35dividd 12021 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
4342oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (1 − (1 / (𝑁 + 1))))
4438, 41, 433eqtr3rd 2774 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (𝑁 + 1))) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4544oveq2d 7435 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))))
463, 5rpdivcld 13068 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
4746reeflogd 26603 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
4836, 45, 473eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4932, 48breqtrd 5175 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
503, 5relogdivd 26605 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
5150, 7eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
52 efle 16098 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ) → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
532, 51, 52syl2anc 582 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
5449, 53mpbird 256 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
5554, 50breqtrd 5175 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
562, 7, 12, 55leadd2dd 11861 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
57 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
58 nnuz 12898 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5957, 58eleqtrdi 2835 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
60 elfznn 13565 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6160adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6261nnrecred 12296 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
6362recnd 11274 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
64 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑁 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑁 + 1)))
6559, 63, 64fsump1 15738 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
664recnd 11274 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6712recnd 11274 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
686recnd 11274 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
6966, 67, 68addsub12d 11626 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
7056, 65, 693brtr4d 5181 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))))
71 fzfid 13974 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7271, 62fsumrecl 15716 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
7312, 6resubcld 11674 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
7472, 4, 73lesubadd2d 11845 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ↔ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))))
7570, 74mpbird 256 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
76 oveq2 7427 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (1...𝑛) = (1...(𝑁 + 1)))
7776sumeq1d 15683 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
78 fveq2 6896 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑁 + 1)))
7977, 78oveq12d 7437 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
80 emcl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
81 ovex 7452 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
8279, 80, 81fvmpt 7004 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
831, 82syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
84 oveq2 7427 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
8584sumeq1d 15683 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
86 fveq2 6896 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘𝑛) = (log‘𝑁))
8785, 86oveq12d 7437 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
88 ovex 7452 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ V
8987, 80, 88fvmpt 7004 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
9075, 83, 893brtr4d 5181 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁))
91 peano2nn 12257 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
921, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
9392nnrpd 13049 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ+)
9493relogcld 26602 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9594, 4resubcld 11674 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
96 logdifbnd 26971 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
973, 96syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
9895, 2, 12, 97leadd2dd 11861 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
9994recnd 11274 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
10067, 66, 99subadd23d 11625 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))))
10198, 100, 653brtr4d 5181 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
10212, 4resubcld 11674 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
103 leaddsub 11722 . . . . 5 (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ) → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
104102, 94, 72, 103syl3anc 1368 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
105101, 104mpbid 231 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
106 fvoveq1 7442 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
10785, 106oveq12d 7437 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
108 emcl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
109 ovex 7452 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 7004 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
111 fvoveq1 7442 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘((𝑁 + 1) + 1)))
11277, 111oveq12d 7437 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
113 ovex 7452 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ∈ V
114112, 108, 113fvmpt 7004 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
1151, 114syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
116105, 110, 1153brtr4d 5181 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
11790, 116jca 510 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098   class class class wbr 5149  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476   / cdiv 11903  cn 12245  cuz 12855  +crp 13009  ...cfz 13519  Σcsu 15668  expce 16041  logclog 26533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218  ax-addf 11219
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-ioc 13364  df-ico 13365  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-mod 13871  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-shft 15050  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-limsup 15451  df-clim 15468  df-rlim 15469  df-sum 15669  df-ef 16047  df-sin 16049  df-cos 16050  df-pi 16052  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-rest 17407  df-topn 17408  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-prds 17432  df-xrs 17487  df-qtop 17492  df-imas 17493  df-xps 17495  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-mulg 19032  df-cntz 19280  df-cmn 19749  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-fbas 21293  df-fg 21294  df-cnfld 21297  df-top 22840  df-topon 22857  df-topsp 22879  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-nei 23046  df-lp 23084  df-perf 23085  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-haus 23263  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-fil 23794  df-fm 23886  df-flim 23887  df-flf 23888  df-xms 24270  df-ms 24271  df-tms 24272  df-cncf 24842  df-limc 25839  df-dv 25840  df-log 26535
This theorem is referenced by:  emcllem6  26978  emcllem7  26979
  Copyright terms: Public domain W3C validator