MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem2 27040
Description: Lemma for emcl 27046. 𝐹 is increasing, and 𝐺 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
Assertion
Ref Expression
emcllem2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem emcllem2
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12278 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nnrecred 12317 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
31nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
43relogcld 26665 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
5 nnrp 13046 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
65relogcld 26665 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 11691 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
8 fzfid 14014 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfznn 13593 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1110nnrecred 12317 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
128, 11fsumrecl 15770 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
133rpreccld 13087 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
1413rpge0d 13081 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
15 1div1e1 11958 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
16 1re 11261 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
17 ltaddrp 13072 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑁))
1816, 5, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (1 + 𝑁))
19 ax-1cn 11213 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
20 nncn 12274 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21 addcom 11447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2219, 20, 21sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2318, 22breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (𝑁 + 1))
2415, 23eqbrtrid 5178 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < (𝑁 + 1))
251nnred 12281 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
261nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
27 0lt1 11785 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
28 ltrec1 12155 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1))) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
2916, 27, 28mpanl12 702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1)) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3025, 26, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3124, 30mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) < 1)
322, 14, 31eflegeo 16157 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))))
3325recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
34 nnne0 12300 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
351nnne0d 12316 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
3620, 33, 34, 35recdivd 12060 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
37 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3833, 37, 33, 35divsubdird 12082 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))))
39 pncan 11514 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4020, 19, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4140oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4233, 35dividd 12041 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
4342oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (1 − (1 / (𝑁 + 1))))
4438, 41, 433eqtr3rd 2786 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (𝑁 + 1))) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4544oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))))
463, 5rpdivcld 13094 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
4746reeflogd 26666 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
4836, 45, 473eqtr4d 2787 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4932, 48breqtrd 5169 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
503, 5relogdivd 26668 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
5150, 7eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
52 efle 16154 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ) → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
532, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
5554, 50breqtrd 5169 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
562, 7, 12, 55leadd2dd 11878 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
57 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
58 nnuz 12921 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5957, 58eleqtrdi 2851 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
60 elfznn 13593 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6160adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6261nnrecred 12317 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
6362recnd 11289 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
64 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑁 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑁 + 1)))
6559, 63, 64fsump1 15792 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
664recnd 11289 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6712recnd 11289 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
686recnd 11289 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
6966, 67, 68addsub12d 11643 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
7056, 65, 693brtr4d 5175 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))))
71 fzfid 14014 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7271, 62fsumrecl 15770 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
7312, 6resubcld 11691 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
7472, 4, 73lesubadd2d 11862 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ↔ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))))
7570, 74mpbird 257 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
76 oveq2 7439 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (1...𝑛) = (1...(𝑁 + 1)))
7776sumeq1d 15736 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
78 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑁 + 1)))
7977, 78oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
80 emcl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
81 ovex 7464 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
8279, 80, 81fvmpt 7016 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
831, 82syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
84 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
8584sumeq1d 15736 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
86 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘𝑛) = (log‘𝑁))
8785, 86oveq12d 7449 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
88 ovex 7464 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ V
8987, 80, 88fvmpt 7016 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
9075, 83, 893brtr4d 5175 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁))
91 peano2nn 12278 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
921, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
9392nnrpd 13075 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ+)
9493relogcld 26665 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9594, 4resubcld 11691 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
96 logdifbnd 27037 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
973, 96syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
9895, 2, 12, 97leadd2dd 11878 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
9994recnd 11289 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
10067, 66, 99subadd23d 11642 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))))
10198, 100, 653brtr4d 5175 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
10212, 4resubcld 11691 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
103 leaddsub 11739 . . . . 5 (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ) → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
104102, 94, 72, 103syl3anc 1373 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
105101, 104mpbid 232 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
106 fvoveq1 7454 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
10785, 106oveq12d 7449 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
108 emcl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
109 ovex 7464 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 7016 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
111 fvoveq1 7454 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘((𝑁 + 1) + 1)))
11277, 111oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
113 ovex 7464 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ∈ V
114112, 108, 113fvmpt 7016 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
1151, 114syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
116105, 110, 1153brtr4d 5175 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
11790, 116jca 511 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cmpt 5225  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  cuz 12878  +crp 13034  ...cfz 13547  Σcsu 15722  expce 16097  logclog 26596
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ioc 13392  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-bc 14342  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-ef 16103  df-sin 16105  df-cos 16106  df-pi 16108  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902  df-log 26598
This theorem is referenced by:  emcllem6  27044  emcllem7  27045
  Copyright terms: Public domain W3C validator