MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  emcllem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem emcllem2 27054
Description: Lemma for emcl 27060. 𝐹 is increasing, and 𝐺 is decreasing. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
emcl.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
emcl.2 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
Assertion
Ref Expression
emcllem2 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Distinct variable group:   𝑚,𝑛,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑚,𝑛)   𝐺(𝑚,𝑛)

Proof of Theorem emcllem2
StepHypRef Expression
1 peano2nn 12275 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21nnrecred 12314 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
31nnrpd 13072 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ+)
43relogcld 26679 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
5 nnrp 13043 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
65relogcld 26679 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
74, 6resubcld 11688 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
8 fzfid 14010 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1...𝑁) ∈ Fin)
9 elfznn 13589 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...𝑁) → 𝑚 ∈ ℕ)
109adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → 𝑚 ∈ ℕ)
1110nnrecred 12314 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...𝑁)) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
128, 11fsumrecl 15766 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
133rpreccld 13084 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ+)
1413rpge0d 13078 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → 0 ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
15 1div1e1 11955 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 1) = 1
16 1re 11258 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ
17 ltaddrp 13069 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → 1 < (1 + 𝑁))
1816, 5, 17sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (1 + 𝑁))
19 ax-1cn 11210 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℂ
20 nncn 12271 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
21 addcom 11444 . . . . . . . . . . . . . 14 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2219, 20, 21sylancr 587 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → (1 + 𝑁) = (𝑁 + 1))
2318, 22breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 1 < (𝑁 + 1))
2415, 23eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 1) < (𝑁 + 1))
251nnred 12278 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
261nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < (𝑁 + 1))
27 0lt1 11782 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
28 ltrec1 12152 . . . . . . . . . . . . 13 (((1 ∈ ℝ ∧ 0 < 1) ∧ ((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1))) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
2916, 27, 28mpanl12 702 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑁 + 1) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑁 + 1)) → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3025, 26, 29syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / 1) < (𝑁 + 1) ↔ (1 / (𝑁 + 1)) < 1))
3124, 30mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) < 1)
322, 14, 31eflegeo 16153 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))))
3325recnd 11286 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
34 nnne0 12297 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
351nnne0d 12313 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ≠ 0)
3620, 33, 34, 35recdivd 12057 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
37 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → 1 ∈ ℂ)
3833, 37, 33, 35divsubdird 12079 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))))
39 pncan 11511 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4020, 19, 39sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
4140oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) − 1) / (𝑁 + 1)) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4233, 35dividd 12038 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) = 1)
4342oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → (((𝑁 + 1) / (𝑁 + 1)) − (1 / (𝑁 + 1))) = (1 − (1 / (𝑁 + 1))))
4438, 41, 433eqtr3rd 2783 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → (1 − (1 / (𝑁 + 1))) = (𝑁 / (𝑁 + 1)))
4544oveq2d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (1 / (𝑁 / (𝑁 + 1))))
463, 5rpdivcld 13091 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) / 𝑁) ∈ ℝ+)
4746reeflogd 26680 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))) = ((𝑁 + 1) / 𝑁))
4836, 45, 473eqtr4d 2784 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (1 − (1 / (𝑁 + 1)))) = (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
4932, 48breqtrd 5173 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁))))
503, 5relogdivd 26682 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) = ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
5150, 7eqeltrd 2838 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ)
52 efle 16150 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ∈ ℝ) → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
532, 51, 52syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)) ↔ (exp‘(1 / (𝑁 + 1))) ≤ (exp‘(log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))))
5449, 53mpbird 257 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ (log‘((𝑁 + 1) / 𝑁)))
5554, 50breqtrd 5173 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / (𝑁 + 1)) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁)))
562, 7, 12, 55leadd2dd 11875 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
57 id 22 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
58 nnuz 12918 . . . . . . 7 ℕ = (ℤ‘1)
5957, 58eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ (ℤ‘1))
60 elfznn 13589 . . . . . . . . 9 (𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1)) → 𝑚 ∈ ℕ)
6160adantl 481 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → 𝑚 ∈ ℕ)
6261nnrecred 12314 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℝ)
6362recnd 11286 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))) → (1 / 𝑚) ∈ ℂ)
64 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑚 = (𝑁 + 1) → (1 / 𝑚) = (1 / (𝑁 + 1)))
6559, 63, 64fsump1 15788 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
664recnd 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘(𝑁 + 1)) ∈ ℂ)
6712recnd 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) ∈ ℂ)
686recnd 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
6966, 67, 68addsub12d 11640 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘(𝑁 + 1)) − (log‘𝑁))))
7056, 65, 693brtr4d 5179 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁))))
71 fzfid 14010 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (1...(𝑁 + 1)) ∈ Fin)
7271, 62fsumrecl 15766 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ)
7312, 6resubcld 11688 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ ℝ)
7472, 4, 73lesubadd2d 11859 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ↔ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ≤ ((log‘(𝑁 + 1)) + (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))))
7570, 74mpbird 257 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
76 oveq2 7438 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (1...𝑛) = (1...(𝑁 + 1)))
7776sumeq1d 15732 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
78 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘𝑛) = (log‘(𝑁 + 1)))
7977, 78oveq12d 7448 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
80 emcl.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)))
81 ovex 7463 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
8279, 80, 81fvmpt 7015 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
831, 82syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
84 oveq2 7438 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
8584sumeq1d 15732 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) = Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚))
86 fveq2 6906 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘𝑛) = (log‘𝑁))
8785, 86oveq12d 7448 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘𝑛)) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
88 ovex 7463 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)) ∈ V
8987, 80, 88fvmpt 7015 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘𝑁)))
9075, 83, 893brtr4d 5179 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁))
91 peano2nn 12275 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
921, 91syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℕ)
9392nnrpd 13072 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝑁 + 1) + 1) ∈ ℝ+)
9493relogcld 26679 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
9594, 4resubcld 11688 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
96 logdifbnd 27051 . . . . . . 7 ((𝑁 + 1) ∈ ℝ+ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
973, 96syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (1 / (𝑁 + 1)))
9895, 2, 12, 97leadd2dd 11875 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + (1 / (𝑁 + 1))))
9994recnd 11286 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℂ)
10067, 66, 99subadd23d 11639 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) + ((log‘((𝑁 + 1) + 1)) − (log‘(𝑁 + 1)))))
10198, 100, 653brtr4d 5179 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → ((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚))
10212, 4resubcld 11688 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
103 leaddsub 11736 . . . . 5 (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ ℝ ∧ (log‘((𝑁 + 1) + 1)) ∈ ℝ ∧ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ∈ ℝ) → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
104102, 94, 72, 103syl3anc 1370 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (((Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) + (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ≤ Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) ↔ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1)))))
105101, 104mpbid 232 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ≤ (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
106 fvoveq1 7453 . . . . 5 (𝑛 = 𝑁 → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘(𝑁 + 1)))
10785, 106oveq12d 7448 . . . 4 (𝑛 = 𝑁 → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
108 emcl.2 . . . 4 𝐺 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))))
109 ovex 7463 . . . 4 𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))) ∈ V
110107, 108, 109fvmpt 7015 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) = (Σ𝑚 ∈ (1...𝑁)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑁 + 1))))
111 fvoveq1 7453 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (log‘(𝑛 + 1)) = (log‘((𝑁 + 1) + 1)))
11277, 111oveq12d 7448 . . . . 5 (𝑛 = (𝑁 + 1) → (Σ𝑚 ∈ (1...𝑛)(1 / 𝑚) − (log‘(𝑛 + 1))) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
113 ovex 7463 . . . . 5 𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))) ∈ V
114112, 108, 113fvmpt 7015 . . . 4 ((𝑁 + 1) ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
1151, 114syl 17 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺‘(𝑁 + 1)) = (Σ𝑚 ∈ (1...(𝑁 + 1))(1 / 𝑚) − (log‘((𝑁 + 1) + 1))))
116105, 110, 1153brtr4d 5179 . 2 (𝑁 ∈ ℕ → (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1)))
11790, 116jca 511 1 (𝑁 ∈ ℕ → ((𝐹‘(𝑁 + 1)) ≤ (𝐹𝑁) ∧ (𝐺𝑁) ≤ (𝐺‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  cuz 12875  +crp 13031  ...cfz 13543  Σcsu 15718  expce 16093  logclog 26610
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612
This theorem is referenced by:  emcllem6  27058  emcllem7  27059
  Copyright terms: Public domain W3C validator