MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rpnnen1lem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rpnnen1lem5 12930
Description: Lemma for rpnnen1 12932. (Contributed by Mario Carneiro, 12-May-2013.) (Revised by NM, 13-Aug-2021.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
rpnnen1lem.1 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
rpnnen1lem.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
rpnnen1lem.n β„• ∈ V
rpnnen1lem.q β„š ∈ V
Assertion
Ref Expression
rpnnen1lem5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) = π‘₯)
Distinct variable groups:   π‘˜,𝐹,𝑛,π‘₯   𝑇,𝑛
Allowed substitution hints:   𝑇(π‘₯,π‘˜)

Proof of Theorem rpnnen1lem5
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rpnnen1lem.1 . . . 4 𝑇 = {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯}
2 rpnnen1lem.2 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
3 rpnnen1lem.n . . . 4 β„• ∈ V
4 rpnnen1lem.q . . . 4 β„š ∈ V
51, 2, 3, 4rpnnen1lem3 12928 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯)
61, 2, 3, 4rpnnen1lem1 12927 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•))
74, 3elmap 8831 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (β„š ↑m β„•) ↔ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
86, 7sylib 217 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š)
9 frn 6695 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† β„š)
10 qssre 12908 . . . . . 6 β„š βŠ† ℝ
119, 10sstrdi 3974 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ)
128, 11syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ)
13 1nn 12188 . . . . . . . 8 1 ∈ β„•
1413ne0ii 4317 . . . . . . 7 β„• β‰  βˆ…
15 fdm 6697 . . . . . . . 8 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ dom (πΉβ€˜π‘₯) = β„•)
1615neeq1d 2999 . . . . . . 7 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ (dom (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ↔ β„• β‰  βˆ…))
1714, 16mpbiri 257 . . . . . 6 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ dom (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
18 dm0rn0 5900 . . . . . . 7 (dom (πΉβ€˜π‘₯) = βˆ… ↔ ran (πΉβ€˜π‘₯) = βˆ…)
1918necon3bii 2992 . . . . . 6 (dom (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ↔ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
2017, 19sylib 217 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
218, 20syl 17 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ…)
22 breq2 5129 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ≀ 𝑦 ↔ 𝑛 ≀ π‘₯))
2322ralbidv 3176 . . . . . 6 (𝑦 = π‘₯ β†’ (βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯))
2423rspcev 3595 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦)
255, 24mpdan 685 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦)
26 id 22 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
27 suprleub 12145 . . . 4 (((ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ ∧ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯))
2812, 21, 25, 26, 27syl31anc 1373 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ≀ π‘₯ ↔ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ π‘₯))
295, 28mpbird 256 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ≀ π‘₯)
301, 2, 3, 4rpnnen1lem4 12929 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ)
31 resubcl 11489 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < )) ∈ ℝ)
3230, 31mpdan 685 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < )) ∈ ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) β†’ (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < )) ∈ ℝ)
34 posdif 11672 . . . . . . . . . 10 ((sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯ ↔ 0 < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))))
3530, 34mpancom 686 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯ ↔ 0 < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))))
3635biimpa 477 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) β†’ 0 < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < )))
3736gt0ne0d 11743 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) β†’ (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < )) β‰  0)
3833, 37rereccld 12006 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) β†’ (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) ∈ ℝ)
39 arch 12434 . . . . . 6 ((1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜)
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜)
4140ex 413 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯ β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜))
421, 2rpnnen1lem2 12926 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ β„€)
4342zred 12631 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
44433adant3 1132 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ ℝ)
4544ltp1d 12109 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1))
4633, 36jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) β†’ ((π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))))
47 nnre 12184 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
48 nngt0 12208 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ β„• β†’ 0 < π‘˜)
4947, 48jca 512 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
50 ltrec1 12066 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < )) ∈ ℝ ∧ 0 < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))))
5146, 49, 50syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜ ↔ (1 / π‘˜) < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))))
5230ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ)
53 nnrecre 12219 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
5453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
55 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5652, 54, 55ltaddsub2d 11780 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) < π‘₯ ↔ (1 / π‘˜) < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))))
5712adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ)
58 ffn 6688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πΉβ€˜π‘₯):β„•βŸΆβ„š β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn β„•)
598, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) Fn β„•)
60 fnfvelrn 7051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘₯) Fn β„• ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯))
6159, 60sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯))
6257, 61sseldd 3963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
6330adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ)
6453adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (1 / π‘˜) ∈ ℝ)
6512, 21, 253jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ ∧ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦))
6665adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ ∧ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦))
67 suprub 12140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((ran (πΉβ€˜π‘₯) βŠ† ℝ ∧ ran (πΉβ€˜π‘₯) β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)𝑛 ≀ 𝑦) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ∈ ran (πΉβ€˜π‘₯)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))
6866, 61, 67syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) ≀ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))
6962, 63, 64, 68leadd1dd 11793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) ≀ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)))
7062, 64readdcld 11208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
71 readdcl 11158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ (1 / π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
7230, 53, 71syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ)
73 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
74 lelttr 11269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ ∧ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) ≀ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) ∧ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) < π‘₯) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯))
7574expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ ∧ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) ≀ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) β†’ ((sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) < π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯)))
7670, 72, 73, 75syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) ≀ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) β†’ ((sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) < π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯)))
7769, 76mpd 15 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) < π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯))
7877adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) + (1 / π‘˜)) < π‘₯ β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯))
7956, 78sylbird 259 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / π‘˜) < (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < )) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯))
8051, 79sylbid 239 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜ β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯))
8142peano2zd 12634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ β„€)
82 oveq1 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 = (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) β†’ (𝑛 / π‘˜) = ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜))
8382breq1d 5135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 = (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) < π‘₯))
8483, 1elrab2 3666 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ 𝑇 ↔ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ β„€ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) < π‘₯))
8584biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ β„€ ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) < π‘₯) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ 𝑇)
8681, 85sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) < π‘₯) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ 𝑇)
87 ssrab2 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} βŠ† β„€
881, 87eqsstri 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑇 βŠ† β„€
89 zssre 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„€ βŠ† ℝ
9088, 89sstri 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑇 βŠ† ℝ
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 βŠ† ℝ)
92 remulcl 11160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((π‘˜ ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
9392ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ ℝ) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
9447, 93sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
95 btwnz 12630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (π‘˜ Β· π‘₯) < 𝑛))
9695simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
9794, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯))
98 zre 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ β„€ β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
9998adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
100 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
10149ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜))
102 ltdivmul 12054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ ℝ ∧ 0 < π‘˜)) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
10399, 100, 101, 102syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
104103rexbidva 3175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯ ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ 𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯)))
10597, 104mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
106 rabn0 4365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ({𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„€ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)
107105, 106sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
1081neeq1i 3004 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑇 β‰  βˆ… ↔ {𝑛 ∈ β„€ ∣ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯} β‰  βˆ…)
109107, 108sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑇 β‰  βˆ…)
1101reqabi 3440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ 𝑇 ↔ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯))
11147ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ π‘˜ ∈ ℝ)
112111, 100, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ)
113 ltle 11267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑛 ∈ ℝ ∧ (π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
11499, 112, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (𝑛 < (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
115103, 114sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ ((𝑛 / π‘˜) < π‘₯ β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
116115impr 455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (𝑛 / π‘˜) < π‘₯)) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
117110, 116sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ 𝑛 ∈ 𝑇) β†’ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
118117ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯))
119 breq2 5129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (𝑛 ≀ 𝑦 ↔ 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
120119ralbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘˜ Β· π‘₯) β†’ (βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦 ↔ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)))
121120rspcev 3595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘˜ Β· π‘₯) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ (π‘˜ Β· π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
12294, 118, 121syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦)
12391, 109, 1223jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝑇 βŠ† ℝ ∧ 𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦))
124 suprub 12140 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑇 βŠ† ℝ ∧ 𝑇 β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ βˆ€π‘› ∈ 𝑇 𝑛 ≀ 𝑦) ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ 𝑇) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≀ sup(𝑇, ℝ, < ))
125123, 124sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ 𝑇) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≀ sup(𝑇, ℝ, < ))
12686, 125syldan 591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) < π‘₯) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≀ sup(𝑇, ℝ, < ))
127126ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) < π‘₯ β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≀ sup(𝑇, ℝ, < )))
12842zcnd 12632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ β„‚)
129 1cnd 11174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
130 nncn 12185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ ∈ β„‚)
131 nnne0 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ ∈ β„• β†’ π‘˜ β‰  0)
132130, 131jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ β‰  0))
133132adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ β‰  0))
134 divdir 11862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((sup(𝑇, ℝ, < ) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘˜ β‰  0)) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) = ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) + (1 / π‘˜)))
135128, 129, 133, 134syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) = ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) + (1 / π‘˜)))
1363mptex 7193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V
1372fvmpt2 6979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) ∈ V) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
138136, 137mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)))
139138fveq1d 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜))
140 ovex 7410 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ V
141 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
142141fvmpt2 6979 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘˜ ∈ β„• ∧ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) ∈ V) β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
143140, 142mpan2 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
144139, 143sylan9eq 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) = (sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜))
145144oveq1d 7392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) = ((sup(𝑇, ℝ, < ) / π‘˜) + (1 / π‘˜)))
146135, 145eqtr4d 2774 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) = (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)))
147146breq1d 5135 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) / π‘˜) < π‘₯ ↔ (((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯))
14881zred 12631 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ∈ ℝ)
149148, 43lenltd 11325 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((sup(𝑇, ℝ, < ) + 1) ≀ sup(𝑇, ℝ, < ) ↔ Β¬ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
150127, 147, 1493imtr3d 292 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯ β†’ Β¬ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
151150adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘˜) + (1 / π‘˜)) < π‘₯ β†’ Β¬ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
15280, 151syld 47 . . . . . . . . . 10 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ ((1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜ β†’ Β¬ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
153152exp31 420 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜ β†’ Β¬ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
154153com4l 92 . . . . . . . 8 (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ Β¬ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
155154com14 96 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (π‘˜ ∈ β„• β†’ ((1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜ β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯ β†’ Β¬ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))))
1561553imp 1111 . . . . . 6 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜) β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯ β†’ Β¬ sup(𝑇, ℝ, < ) < (sup(𝑇, ℝ, < ) + 1)))
15745, 156mt2d 136 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ β„• ∧ (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜) β†’ Β¬ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯)
158157rexlimdv3a 3158 . . . 4 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ β„• (1 / (π‘₯ βˆ’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ))) < π‘˜ β†’ Β¬ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯))
15941, 158syld 47 . . 3 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯ β†’ Β¬ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯))
160159pm2.01d 189 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ Β¬ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯)
161 eqlelt 11266 . . 3 ((sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) = π‘₯ ↔ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ≀ π‘₯ ∧ Β¬ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯)))
16230, 161mpancom 686 . 2 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) = π‘₯ ↔ (sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) ≀ π‘₯ ∧ Β¬ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) < π‘₯)))
16329, 160, 162mpbir2and 711 1 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ sup(ran (πΉβ€˜π‘₯), ℝ, < ) = π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  βˆƒwrex 3069  {crab 3418  Vcvv 3459   βŠ† wss 3928  βˆ…c0 4302   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208  dom cdm 5653  ran crn 5654   Fn wfn 6511  βŸΆwf 6512  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ↑m cmap 8787  supcsup 9400  β„‚cc 11073  β„cr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   Β· cmul 11080   < clt 11213   ≀ cle 11214   βˆ’ cmin 11409   / cdiv 11836  β„•cn 12177  β„€cz 12523  β„šcq 12897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-sup 9402  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-q 12898
This theorem is referenced by:  rpnnen1lem6  12931
  Copyright terms: Public domain W3C validator