Theorem etransclem16 45561

Description: Every element in the range of 𝐶 is a finite set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem16.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
etransclem16	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝑗,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem16.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
2		etransclem16.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	etransclem12 45557	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
4		fzfi 13961	. . . 4 ⊢ (0...𝑁) ∈ Fin
5		fzfi 13961	. . . 4 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
6		mapfi 9364	. . . 4 ⊢ (((0...𝑁) ∈ Fin ∧ (0...𝑀) ∈ Fin) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin
8		ssrab2 4073	. . 3 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
9		ssfi 9189	. . 3 ⊢ ((((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin ∧ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))) → {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ∈ Fin)
10	7, 8, 9	mp2an 691	. 2 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ∈ Fin
11	3, 10	eqeltrdi 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {crab 3427   ⊆ wss 3944   ↦ cmpt 5225  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8836  Fincfn 8955  0cc0 11130  ℕ₀cn0 12494  ...cfz 13508  Σcsu 15656

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509

This theorem is referenced by:  etransclem31  45576  etransclem32  45577  etransclem34  45579  etransclem35  45580  etransclem36  45581  etransclem37  45582  etransclem38  45583