Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  etransclem16 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem etransclem16 43325
Description: Every element in the range of 𝐶 is a finite set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
etransclem16.c 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
etransclem16.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
etransclem16 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
Distinct variable groups:   𝑀,𝑐,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝑗,𝑛   𝜑,𝑛
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem16
StepHypRef Expression
1 etransclem16.c . . 3 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑛})
2 etransclem16.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
31, 2etransclem12 43321 . 2 (𝜑 → (𝐶𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁})
4 fzfi 13432 . . . 4 (0...𝑁) ∈ Fin
5 fzfi 13432 . . . 4 (0...𝑀) ∈ Fin
6 mapfi 8894 . . . 4 (((0...𝑁) ∈ Fin ∧ (0...𝑀) ∈ Fin) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin)
74, 5, 6mp2an 692 . . 3 ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin
8 ssrab2 3970 . . 3 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
9 ssfi 8773 . . 3 ((((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin ∧ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))) → {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ∈ Fin)
107, 8, 9mp2an 692 . 2 {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐𝑗) = 𝑁} ∈ Fin
113, 10eqeltrdi 2841 1 (𝜑 → (𝐶𝑁) ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2113  {crab 3057  wss 3844  cmpt 5111  cfv 6340  (class class class)co 7171  m cmap 8438  Fincfn 8556  0cc0 10616  0cn0 11977  ...cfz 12982  Σcsu 15136
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-pm 8441  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-fz 12983
This theorem is referenced by:  etransclem31  43340  etransclem32  43341  etransclem34  43343  etransclem35  43344  etransclem36  43345  etransclem37  43346  etransclem38  43347
  Copyright terms: Public domain W3C validator