Theorem etransclem16 44956

Description: Every element in the range of 𝐶 is a finite set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem16.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
etransclem16	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝑗,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem16.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
2		etransclem16.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	etransclem12 44952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
4		fzfi 13936	. . . 4 ⊢ (0...𝑁) ∈ Fin
5		fzfi 13936	. . . 4 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
6		mapfi 9347	. . . 4 ⊢ (((0...𝑁) ∈ Fin ∧ (0...𝑀) ∈ Fin) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin
8		ssrab2 4077	. . 3 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
9		ssfi 9172	. . 3 ⊢ ((((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin ∧ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))) → {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ∈ Fin)
10	7, 8, 9	mp2an 690	. 2 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ∈ Fin
11	3, 10	eqeltrdi 2841	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3432   ⊆ wss 3948   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8819  Fincfn 8938  0cc0 11109  ℕ₀cn0 12471  ...cfz 13483  Σcsu 15631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-fz 13484

This theorem is referenced by:  etransclem31  44971  etransclem32  44972  etransclem34  44974  etransclem35  44975  etransclem36  44976  etransclem37  44977  etransclem38  44978