Theorem etransclem16 46205

Description: Every element in the range of 𝐶 is a finite set. (Contributed by Glauco Siliprandi, 5-Apr-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
etransclem16.c	⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
etransclem16.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
etransclem16	⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)

Distinct variable groups:   𝑀,𝑐,𝑛   𝑁,𝑐,𝑛   𝑗,𝑛   𝜑,𝑛

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑗,𝑐)   𝐶(𝑗,𝑛,𝑐)   𝑀(𝑗)   𝑁(𝑗)

Proof of Theorem etransclem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		etransclem16.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑐 ∈ ((0...𝑛) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑛})
2		etransclem16.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
3	1, 2	etransclem12 46201	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) = {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁})
4		fzfi 14009	. . . 4 ⊢ (0...𝑁) ∈ Fin
5		fzfi 14009	. . . 4 ⊢ (0...𝑀) ∈ Fin
6		mapfi 9385	. . . 4 ⊢ (((0...𝑁) ∈ Fin ∧ (0...𝑀) ∈ Fin) → ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin)
7	4, 5, 6	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin
8		ssrab2 4089	. . 3 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))
9		ssfi 9211	. . 3 ⊢ ((((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∈ Fin ∧ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ⊆ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀))) → {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ∈ Fin)
10	7, 8, 9	mp2an 692	. 2 ⊢ {𝑐 ∈ ((0...𝑁) ↑m (0...𝑀)) ∣ Σ𝑗 ∈ (0...𝑀)(𝑐‘𝑗) = 𝑁} ∈ Fin
11	3, 10	eqeltrdi 2846	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶‘𝑁) ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432   ⊆ wss 3962   ↦ cmpt 5230  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430   ↑_m cmap 8864  Fincfn 8983  0cc0 11152  ℕ₀cn0 12523  ...cfz 13543  Σcsu 15718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544

This theorem is referenced by:  etransclem31  46220  etransclem32  46221  etransclem34  46223  etransclem35  46224  etransclem36  46225  etransclem37  46226  etransclem38  46227