MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem10 16928
Description: Lemma for vdw 16932. Set up secondary induction on ๐‘€. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
vdwlem9.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
vdwlem9.s (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
vdwlem10.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
vdwlem10 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘›,๐‘“   ๐‘“,๐‘ ,๐พ,๐‘›   ๐‘“,๐‘€,๐‘›   ๐‘…,๐‘“,๐‘›,๐‘    ๐œ‘,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ )   ๐‘€(๐‘ )

Proof of Theorem vdwlem10
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘‘ ๐‘” โ„Ž ๐‘˜ ๐‘š ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem10.m . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
2 opeq1 4873 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ = โŸจ1, ๐พโŸฉ)
32breq1d 5158 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“))
43orbi1d 914 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
54rexralbidv 3219 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
65imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†” (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
7 opeq1 4873 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ = โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ)
87breq1d 5158 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“))
98orbi1d 914 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
109rexralbidv 3219 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
1110imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†” (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
12 opeq1 4873 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ = โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ)
1312breq1d 5158 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“))
1413orbi1d 914 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
1514rexralbidv 3219 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
1615imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†” (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
17 opeq1 4873 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ = โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ)
1817breq1d 5158 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“))
1918orbi1d 914 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
2019rexralbidv 3219 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
2120imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†” (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
22 oveq1 7419 . . . . . . . 8 (๐‘  = ๐‘… โ†’ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)))
2322raleqdv 3324 . . . . . . 7 (๐‘  = ๐‘… โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“))
2423rexbidv 3177 . . . . . 6 (๐‘  = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“))
25 vdwlem9.s . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
26 vdw.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
2724, 25, 26rspcdva 3613 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
28 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘ค))
2928oveq2d 7428 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)))
3029raleqdv 3324 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“))
3130cbvrexvw 3234 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“)
3227, 31sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“)
33 breq2 5152 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” ๐พ MonoAP ๐‘”))
3433cbvralvw 3233 . . . . . 6 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘”)
35 2nn 12290 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
36 simpr 484 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
37 nnmulcl 12241 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
3835, 36, 37sylancr 586 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
3926adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
40 ovex 7445 . . . . . . . . . . 11 (1...(2 ยท ๐‘ค)) โˆˆ V
41 elmapg 8836 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...(2 ยท ๐‘ค)) โˆˆ V) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค))) โ†” ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…))
4239, 40, 41sylancl 585 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค))) โ†” ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…))
4342biimpa 476 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…)
44 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…)
45 elfznn 13535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4746nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
48 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
4948nnred 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
50 elfzle2 13510 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ค)
5150adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ค)
5247, 49, 49, 51leadd1dd 11833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โ‰ค (๐‘ค + ๐‘ค))
5348nncnd 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
54532timesd 12460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) = (๐‘ค + ๐‘ค))
5552, 54breqtrrd 5176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โ‰ค (2 ยท ๐‘ค))
5646, 48nnaddcld 12269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
57 nnuz 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
5856, 57eleqtrdi 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5938ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
6059nnzd 12590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
61 elfz5 13498 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ค) โ‰ค (2 ยท ๐‘ค)))
6258, 60, 61syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ค) โ‰ค (2 ยท ๐‘ค)))
6355, 62mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ค)))
6444, 63ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ค)) โˆˆ ๐‘…)
65 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค)) = (๐‘“โ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ค)))
6665cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ค)))
6764, 66fmptd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))):(1...๐‘ค)โŸถ๐‘…)
68 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...๐‘ค) โˆˆ V
69 elmapg 8836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘ค) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))):(1...๐‘ค)โŸถ๐‘…))
7039, 68, 69sylancl 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))):(1...๐‘ค)โŸถ๐‘…))
7170biimpar 477 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))):(1...๐‘ค)โŸถ๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)))
7267, 71syldan 590 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)))
73 breq2 5152 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ†’ (๐พ MonoAP ๐‘” โ†” ๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค)))))
7473rspcv 3608 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ ๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค)))))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ ๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค)))))
76 2nn0 12494 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•0
77 vdwlem9.k . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7877ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
79 eluznn0 12906 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8076, 78, 79sylancr 586 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8168, 80, 67vdwmc 16916 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ†” โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘})))
8239ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
8378adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
84 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
85 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…)
86 vex 3477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ โˆˆ V
87 simprll 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
88 simprlr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
89 simprr 770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))
9082, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 66vdwlem8 16926 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“)
9190orcd 870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
9291expr 456 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9392rexlimdvva 3210 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9493exlimdv 1935 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9581, 94sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9675, 95syld 47 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9743, 96syldan 590 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9897ralrimdva 3153 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
99 oveq2 7420 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (2 ยท ๐‘ค) โ†’ (1...๐‘›) = (1...(2 ยท ๐‘ค)))
10099oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (2 ยท ๐‘ค) โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค))))
101100raleqdv 3324 . . . . . . . 8 (๐‘› = (2 ยท ๐‘ค) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
102101rspcev 3612 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
10338, 98, 102syl6an 681 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
10434, 103biimtrid 241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
105104rexlimdva 3154 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
10632, 105mpd 15 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
107 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘”))
108 breq2 5152 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘“ โ†” (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
109107, 108orbi12d 916 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ((โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
110109cbvralvw 3233 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
11129raleqdv 3324 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
112110, 111bitrid 283 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
113112cbvrexvw 3234 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
114 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ฃ โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘ฃ))
115114oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ)))
116115raleqdv 3324 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ฃ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))
117116cbvrexvw 3234 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)
118 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ)) = ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ)))
119118raleqdv 3324 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))
120119rexbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (๐‘  = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))
121117, 120bitrid 283 . . . . . . . . 9 (๐‘  = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))
12225ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
12326ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
124 fzfi 13942 . . . . . . . . . 10 (1...๐‘ค) โˆˆ Fin
125 mapfi 9351 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘ค) โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โˆˆ Fin)
126123, 124, 125sylancl 585 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โˆˆ Fin)
127121, 122, 126rspcdva 3613 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)
128 simprll 776 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
129 simprrl 778 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„•)
130 nnmulcl 12241 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„•)
13135, 130mpan 687 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„•)
132 nnmulcl 12241 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„•)
133131, 132sylan2 592 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„•)
134128, 129, 133syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„•)
135 simp1l 1196 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐œ‘)
136135, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
137135, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
138135, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
139 simp1r 1197 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
140 simp2ll 1239 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
141 simp2lr 1240 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
142 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” = ๐‘˜ โ†’ (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โ†” โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘˜))
143 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” = ๐‘˜ โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†” (๐พ + 1) MonoAP ๐‘˜))
144142, 143orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘” = ๐‘˜ โ†’ ((โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†” (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘˜ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘˜)))
145144cbvralvw 3233 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘˜ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘˜))
146141, 145sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘˜ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘˜))
147 simp2rl 1241 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„•)
148 simp2rr 1242 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)
149 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))))
150 ovex 7445 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ V
151 elmapg 8836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ V) โ†’ (โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))) โ†” โ„Ž:(1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))โŸถ๐‘…))
152136, 150, 151sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ (โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))) โ†” โ„Ž:(1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))โŸถ๐‘…))
153149, 152mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โ„Ž:(1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))โŸถ๐‘…)
154 fvoveq1 7435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = ๐‘ข โ†’ (โ„Žโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))) = (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))))
155154cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))) = (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))))
156 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘ง โˆ’ 1))
157156oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ) = ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))
158157oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)) = (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))
159158oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))) = (๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))
160159fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))) = (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))))
161160mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))) = (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))))
162155, 161eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))) = (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))))
163162cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))))) = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))))
164136, 137, 138, 139, 140, 146, 147, 148, 153, 163vdwlem9 16927 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž))
1651643expia 1120 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ (โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))) โ†’ (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž)))
166165ralrimiv 3144 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž))
167 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (1...๐‘›) = (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))
168167oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))))
169168raleqdv 3324 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
170 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž))
171 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘“ โ†” (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž))
172170, 171orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž)))
173172cbvralvw 3233 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž))
174169, 173bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž)))
175174rspcev 3612 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„• โˆง โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
176134, 166, 175syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
177176anassrs 467 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
178127, 177rexlimddv 3160 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
179178rexlimdvaa 3155 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
180113, 179biimtrid 241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
181180expcom 413 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
182181a2d 29 . . 3 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
1836, 11, 16, 21, 106, 182nnind 12235 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
1841, 183mpcom 38 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540  โˆƒwex 1780   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  Vcvv 3473   โІ wss 3948  {csn 4628  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148   โ†ฆ cmpt 5231  โ—กccnv 5675   โ€œ cima 5679  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   โ†‘m cmap 8823  Fincfn 8942  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  2c2 12272  โ„•0cn0 12477  โ„คcz 12563  โ„คโ‰ฅcuz 12827  ...cfz 13489  APcvdwa 16903   MonoAP cvdwm 16904   PolyAP cvdwp 16905
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-pm 8826  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9899  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-hash 14296  df-vdwap 16906  df-vdwmc 16907  df-vdwpc 16908
This theorem is referenced by:  vdwlem11  16929
  Copyright terms: Public domain W3C validator