MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  vdwlem10 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem vdwlem10 16927
Description: Lemma for vdw 16931. Set up secondary induction on ๐‘€. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
vdw.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
vdwlem9.k (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
vdwlem9.s (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
vdwlem10.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
Assertion
Ref Expression
vdwlem10 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
Distinct variable groups:   ๐œ‘,๐‘›,๐‘“   ๐‘“,๐‘ ,๐พ,๐‘›   ๐‘“,๐‘€,๐‘›   ๐‘…,๐‘“,๐‘›,๐‘    ๐œ‘,๐‘“
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ )   ๐‘€(๐‘ )

Proof of Theorem vdwlem10
Dummy variables ๐‘Ž ๐‘ ๐‘‘ ๐‘” โ„Ž ๐‘˜ ๐‘š ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vdwlem10.m . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
2 opeq1 4872 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = 1 โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ = โŸจ1, ๐พโŸฉ)
32breq1d 5157 . . . . . 6 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“))
43orbi1d 913 . . . . 5 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
54rexralbidv 3218 . . . 4 (๐‘ฅ = 1 โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
65imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = 1 โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†” (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
7 opeq1 4872 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ = โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ)
87breq1d 5157 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“))
98orbi1d 913 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
109rexralbidv 3218 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
1110imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘š โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†” (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
12 opeq1 4872 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ = โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ)
1312breq1d 5157 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“))
1413orbi1d 913 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
1514rexralbidv 3218 . . . 4 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
1615imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†” (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
17 opeq1 4872 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ = โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ)
1817breq1d 5157 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“))
1918orbi1d 913 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
2019rexralbidv 3218 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
2120imbi2d 339 . . 3 (๐‘ฅ = ๐‘€ โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘ฅ, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†” (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
22 oveq1 7418 . . . . . . . 8 (๐‘  = ๐‘… โ†’ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)))
2322raleqdv 3323 . . . . . . 7 (๐‘  = ๐‘… โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“))
2423rexbidv 3176 . . . . . 6 (๐‘  = ๐‘… โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“))
25 vdwlem9.s . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
26 vdw.r . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
2724, 25, 26rspcdva 3612 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
28 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘ค))
2928oveq2d 7427 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)))
3029raleqdv 3323 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“))
3130cbvrexvw 3233 . . . . 5 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“)
3227, 31sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“)
33 breq2 5151 . . . . . . 7 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” ๐พ MonoAP ๐‘”))
3433cbvralvw 3232 . . . . . 6 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘”)
35 2nn 12289 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
36 simpr 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
37 nnmulcl 12240 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
3835, 36, 37sylancr 585 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
3926adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
40 ovex 7444 . . . . . . . . . . 11 (1...(2 ยท ๐‘ค)) โˆˆ V
41 elmapg 8835 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...(2 ยท ๐‘ค)) โˆˆ V) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค))) โ†” ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…))
4239, 40, 41sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค))) โ†” ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…))
4342biimpa 475 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))) โ†’ ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…)
44 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…)
45 elfznn 13534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„•)
4746nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„)
48 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
4948nnred 12231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„)
50 elfzle2 13509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ค)
5150adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ฆ โ‰ค ๐‘ค)
5247, 49, 49, 51leadd1dd 11832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โ‰ค (๐‘ค + ๐‘ค))
5348nncnd 12232 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„‚)
54532timesd 12459 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) = (๐‘ค + ๐‘ค))
5552, 54breqtrrd 5175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โ‰ค (2 ยท ๐‘ค))
5646, 48nnaddcld 12268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
57 nnuz 12869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„• = (โ„คโ‰ฅโ€˜1)
5856, 57eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1))
5938ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„•)
6059nnzd 12589 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค)
61 elfz5 13497 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜1) โˆง (2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ค) โ‰ค (2 ยท ๐‘ค)))
6258, 60, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ค)) โ†” (๐‘ฆ + ๐‘ค) โ‰ค (2 ยท ๐‘ค)))
6355, 62mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘ฆ + ๐‘ค) โˆˆ (1...(2 ยท ๐‘ค)))
6444, 63ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ค)) โˆˆ ๐‘…)
65 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค)) = (๐‘“โ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ค)))
6665cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) = (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฆ + ๐‘ค)))
6764, 66fmptd 7114 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))):(1...๐‘ค)โŸถ๐‘…)
68 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...๐‘ค) โˆˆ V
69 elmapg 8835 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘ค) โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))):(1...๐‘ค)โŸถ๐‘…))
7039, 68, 69sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))):(1...๐‘ค)โŸถ๐‘…))
7170biimpar 476 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))):(1...๐‘ค)โŸถ๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)))
7267, 71syldan 589 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)))
73 breq2 5151 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘” = (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ†’ (๐พ MonoAP ๐‘” โ†” ๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค)))))
7473rspcv 3607 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ ๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค)))))
7572, 74syl 17 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ ๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค)))))
76 2nn0 12493 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„•0
77 vdwlem9.k . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
7877ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
79 eluznn0 12905 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8076, 78, 79sylancr 585 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•0)
8168, 80, 67vdwmc 16915 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ†” โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘})))
8239ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
8378adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
84 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
85 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…)
86 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ๐‘ โˆˆ V
87 simprll 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘Ž โˆˆ โ„•)
88 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ ๐‘‘ โˆˆ โ„•)
89 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))
9082, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89, 66vdwlem8 16925 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“)
9190orcd 869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง ((๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}))) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
9291expr 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โˆง (๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‘ โˆˆ โ„•)) โ†’ ((๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9392rexlimdvva 3209 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9493exlimdv 1934 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (โˆƒ๐‘โˆƒ๐‘Ž โˆˆ โ„• โˆƒ๐‘‘ โˆˆ โ„• (๐‘Ž(APโ€˜๐พ)๐‘‘) โІ (โ—ก(๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ€œ {๐‘}) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9581, 94sylbid 239 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (๐พ MonoAP (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (๐‘“โ€˜(๐‘ฅ + ๐‘ค))) โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9675, 95syld 47 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“:(1...(2 ยท ๐‘ค))โŸถ๐‘…) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9743, 96syldan 589 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ (โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
9897ralrimdva 3152 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
99 oveq2 7419 . . . . . . . . . 10 (๐‘› = (2 ยท ๐‘ค) โ†’ (1...๐‘›) = (1...(2 ยท ๐‘ค)))
10099oveq2d 7427 . . . . . . . . 9 (๐‘› = (2 ยท ๐‘ค) โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค))))
101100raleqdv 3323 . . . . . . . 8 (๐‘› = (2 ยท ๐‘ค) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
102101rspcev 3611 . . . . . . 7 (((2 ยท ๐‘ค) โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(2 ยท ๐‘ค)))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
10338, 98, 102syl6an 680 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘” โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
10434, 103biimtrid 241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
105104rexlimdva 3153 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
10632, 105mpd 15 . . 3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ1, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
107 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘”))
108 breq2 5151 . . . . . . . . . 10 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘“ โ†” (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
109107, 108orbi12d 915 . . . . . . . . 9 (๐‘“ = ๐‘” โ†’ ((โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
110109cbvralvw 3232 . . . . . . . 8 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
11129raleqdv 3323 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
112110, 111bitrid 282 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘ค โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)))
113112cbvrexvw 3233 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
114 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = ๐‘ฃ โ†’ (1...๐‘›) = (1...๐‘ฃ))
115114oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = ๐‘ฃ โ†’ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ)))
116115raleqdv 3323 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = ๐‘ฃ โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))
117116cbvrexvw 3233 . . . . . . . . . 10 (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)
118 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘  = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ)) = ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ)))
119118raleqdv 3323 . . . . . . . . . . 11 (๐‘  = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))
120119rexbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (๐‘  = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))
121117, 120bitrid 282 . . . . . . . . 9 (๐‘  = (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“ โ†” โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))
12225ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
12326ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
124 fzfi 13941 . . . . . . . . . 10 (1...๐‘ค) โˆˆ Fin
125 mapfi 9350 . . . . . . . . . 10 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...๐‘ค) โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โˆˆ Fin)
126123, 124, 125sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โˆˆ Fin)
127121, 122, 126rspcdva 3612 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ โˆƒ๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)
128 simprll 775 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
129 simprrl 777 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„•)
130 nnmulcl 12240 . . . . . . . . . . . . 13 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„•)
13135, 130mpan 686 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„•)
132 nnmulcl 12240 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง (2 ยท ๐‘ฃ) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„•)
133131, 132sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ฃ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„•)
134128, 129, 133syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„•)
135 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐œ‘)
136135, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐‘… โˆˆ Fin)
137135, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐พ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜2))
138135, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘  โˆˆ Fin โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘  โ†‘m (1...๐‘›))๐พ MonoAP ๐‘“)
139 simp1r 1196 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•)
140 simp2ll 1238 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐‘ค โˆˆ โ„•)
141 simp2lr 1239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))
142 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” = ๐‘˜ โ†’ (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โ†” โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘˜))
143 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘” = ๐‘˜ โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘” โ†” (๐พ + 1) MonoAP ๐‘˜))
144142, 143orbi12d 915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘” = ๐‘˜ โ†’ ((โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†” (โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘˜ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘˜)))
145144cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . . . 14 (โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘˜ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘˜))
146141, 145sylib 217 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘˜ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘˜))
147 simp2rl 1240 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ โ„•)
148 simp2rr 1241 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)
149 simp3 1136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))))
150 ovex 7444 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ V
151 elmapg 8835 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Fin โˆง (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))) โˆˆ V) โ†’ (โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))) โ†” โ„Ž:(1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))โŸถ๐‘…))
152136, 150, 151sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ (โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))) โ†” โ„Ž:(1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))โŸถ๐‘…))
153149, 152mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ โ„Ž:(1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))โŸถ๐‘…)
154 fvoveq1 7434 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฆ = ๐‘ข โ†’ (โ„Žโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))) = (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))))
155154cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))) = (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))))
156 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฅ โˆ’ 1) = (๐‘ง โˆ’ 1))
157156oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ) = ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))
158157oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)) = (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))
159158oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))) = (๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))
160159fveq2d 6894 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))) = (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))))
161160mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))) = (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))))
162155, 161eqtrid 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ฅ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))) = (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))))
163162cbvmptv 5260 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ฅ โˆˆ (1...๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘ฆ โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ฆ + (๐‘ค ยท ((๐‘ฅ โˆ’ 1) + ๐‘ฃ)))))) = (๐‘ง โˆˆ (1...๐‘ฃ) โ†ฆ (๐‘ข โˆˆ (1...๐‘ค) โ†ฆ (โ„Žโ€˜(๐‘ข + (๐‘ค ยท ((๐‘ง โˆ’ 1) + ๐‘ฃ))))))
164136, 137, 138, 139, 140, 146, 147, 148, 153, 163vdwlem9 16926 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โˆง โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))) โ†’ (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž))
1651643expia 1119 . . . . . . . . . . 11 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ (โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))) โ†’ (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž)))
166165ralrimiv 3143 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž))
167 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› = (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (1...๐‘›) = (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))
168167oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘› = (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›)) = (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)))))
169168raleqdv 3323 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘› = (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
170 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โ†” โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž))
171 breq2 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((๐พ + 1) MonoAP ๐‘“ โ†” (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž))
172170, 171orbi12d 915 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘“ = โ„Ž โ†’ ((โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” (โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž)))
173172cbvralvw 3232 . . . . . . . . . . . 12 (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž))
174169, 173bitrdi 286 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› = (๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โ†’ (โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž)))
175174rspcev 3611 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ)) โˆˆ โ„• โˆง โˆ€โ„Ž โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...(๐‘ค ยท (2 ยท ๐‘ฃ))))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP โ„Ž โˆจ (๐พ + 1) MonoAP โ„Ž)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
176134, 166, 175syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง ((๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”)) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
177176anassrs 466 . . . . . . . 8 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โˆง (๐‘ฃ โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘“ โˆˆ ((๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค)) โ†‘m (1...๐‘ฃ))๐พ MonoAP ๐‘“)) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
178127, 177rexlimddv 3159 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โˆง (๐‘ค โˆˆ โ„• โˆง โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”))) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
179178rexlimdvaa 3154 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘ค โˆˆ โ„• โˆ€๐‘” โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘ค))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘” โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘”) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
180113, 179biimtrid 241 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘š โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
181180expcom 412 . . . 4 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
182181a2d 29 . . 3 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘š, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)) โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ(๐‘š + 1), ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))))
1836, 11, 16, 21, 106, 182nnind 12234 . 2 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“)))
1841, 183mpcom 38 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• โˆ€๐‘“ โˆˆ (๐‘… โ†‘m (1...๐‘›))(โŸจ๐‘€, ๐พโŸฉ PolyAP ๐‘“ โˆจ (๐พ + 1) MonoAP ๐‘“))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 843   โˆง w3a 1085   = wceq 1539  โˆƒwex 1779   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3059  โˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   โІ wss 3947  {csn 4627  โŸจcop 4633   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  โ—กccnv 5674   โ€œ cima 5678  โŸถwf 6538  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คcz 12562  โ„คโ‰ฅcuz 12826  ...cfz 13488  APcvdwa 16902   MonoAP cvdwm 16903   PolyAP cvdwp 16904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-oadd 8472  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-hash 14295  df-vdwap 16905  df-vdwmc 16906  df-vdwpc 16907
This theorem is referenced by:  vdwlem11  16928
  Copyright terms: Public domain W3C validator