Theorem symgbasfi 19082

Description: The symmetric group on a finite index set is finite. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgbasfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem symgbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 9217	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
2	1	anidms 568	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
3		symgbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		symgbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	symgbas 19074	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
6		f1of 6771	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
7	6	ss2abi 4014	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}
8	5, 7	eqsstri 3969	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}
9		mapvalg 8700	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
10	9	anidms 568	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
11	8, 10	sseqtrrid 3988	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12	2, 11	ssfid 9136	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {cab 2714  ⟶wf 6479  –1-1-onto→wf1o 6482  ‘cfv 6483  (class class class)co 7341   ↑_m cmap 8690  Fincfn 8808  Basecbs 17009  SymGrpcsymg 19070

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-iun 4947  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-map 8692  df-pm 8693  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-7 12146  df-8 12147  df-9 12148  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-tset 17078  df-efmnd 18604  df-symg 19071

This theorem is referenced by:  mdetleib2  21842  mdetf  21849  mdetrlin  21856  mdetrsca  21857  mdetralt  21862  m2detleib  21885  smadiadetlem3  21922  smadiadet  21924  mdetpmtr1  32069