Theorem symgbasfi 19445

Description: The symmetric group on a finite index set is finite. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgbasfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem symgbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 9301	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
2	1	anidms 576	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
3		symgbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		symgbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	symgbas 19438	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
6		f1of 6818	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
7	6	ss2abi 4028	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}
8	5, 7	eqsstri 3991	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}
9		mapvalg 8829	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
10	9	anidms 576	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
11	8, 10	sseqtrrid 3988	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12	2, 11	ssfid 9225	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {cab 2747  ⟶wf 6530  –1-1-onto→wf1o 6533  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17265  SymGrpcsymg 19435

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-tset 17325  df-efmnd 18924  df-symg 19436

This theorem is referenced by:  mdetleib2  22710  mdetf  22717  mdetrlin  22724  mdetrsca  22725  mdetralt  22730  m2detleib  22753  smadiadetlem3  22790  smadiadet  22792  mdetpmtr1  34154