MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbasfi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem symgbasfi 18486
Description: The symmetric group on a finite index set is finite. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
symgbasfi (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem symgbasfi
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapfi 8796 . . 3 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴m 𝐴) ∈ Fin)
21anidms 570 . 2 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴m 𝐴) ∈ Fin)
3 symgbas.1 . . . . 5 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4 symgbas.2 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
53, 4symgbas 18478 . . . 4 𝐵 = {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴}
6 f1of 6588 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐴𝑓:𝐴𝐴)
76ss2abi 4019 . . . 4 {𝑓𝑓:𝐴1-1-onto𝐴} ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐴}
85, 7eqsstri 3977 . . 3 𝐵 ⊆ {𝑓𝑓:𝐴𝐴}
9 mapvalg 8391 . . . 4 ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴m 𝐴) = {𝑓𝑓:𝐴𝐴})
109anidms 570 . . 3 (𝐴 ∈ Fin → (𝐴m 𝐴) = {𝑓𝑓:𝐴𝐴})
118, 10sseqtrrid 3996 . 2 (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ⊆ (𝐴m 𝐴))
122, 11ssfid 8717 1 (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  {cab 2799  wf 6324  1-1-ontowf1o 6327  cfv 6328  (class class class)co 7130  m cmap 8381  Fincfn 8484  Basecbs 16462  SymGrpcsymg 18474
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-1o 8077  df-2o 8078  df-oadd 8081  df-er 8264  df-map 8383  df-pm 8384  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-fin 8488  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-4 11680  df-5 11681  df-6 11682  df-7 11683  df-8 11684  df-9 11685  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-fz 12876  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-tset 16563  df-efmnd 18013  df-symg 18475
This theorem is referenced by:  mdetleib2  21173  mdetf  21180  mdetrlin  21187  mdetrsca  21188  mdetralt  21193  m2detleib  21216  smadiadetlem3  21253  smadiadet  21255  mdetpmtr1  31099
  Copyright terms: Public domain W3C validator