Theorem symgbasfi 19493

Description: The symmetric group on a finite index set is finite. (Contributed by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgbas.1	⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
symgbas.2	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
symgbasfi	⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

Proof of Theorem symgbasfi

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfi 9312	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
2	1	anidms 577	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑m 𝐴) ∈ Fin)
3		symgbas.1	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (SymGrp‘𝐴)
4		symgbas.2	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5	3, 4	symgbas 19486	. . . 4 ⊢ 𝐵 = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴}
6		f1of 6824	. . . . 5 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴 → 𝑓:𝐴⟶𝐴)
7	6	ss2abi 4021	. . . 4 ⊢ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴–1-1-onto→𝐴} ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}
8	5, 7	eqsstri 3984	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴}
9		mapvalg 8839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ Fin ∧ 𝐴 ∈ Fin) → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
10	9	anidms 577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → (𝐴 ↑m 𝐴) = {𝑓 ∣ 𝑓:𝐴⟶𝐴})
11	8, 10	sseqtrrid 3981	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ⊆ (𝐴 ↑m 𝐴))
12	2, 11	ssfid 9236	1 ⊢ (𝐴 ∈ Fin → 𝐵 ∈ Fin)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {cab 2743  ⟶wf 6536  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8949  Basecbs 17291  SymGrpcsymg 19483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-fz 13552  df-struct 17229  df-sets 17246  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-ress 17313  df-plusg 17345  df-tset 17351  df-efmnd 18965  df-symg 19484

This theorem is used by:  mdetleib2  22795  mdetf  22802  mdetrlin  22809  mdetrsca  22810  mdetralt  22815  m2detleib  22838  smadiadetlem3  22875  smadiadet  22877  mdetpmtr1  34277