MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem6 25697
Description: Lemma for aaliou 25698. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem6
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . . 4 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 aalioulem2.b . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3 aalioulem2.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 aalioulem2.d . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
51, 2, 3, 4aalioulem2 25693 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6 aalioulem3.e . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
71, 2, 3, 4, 6aalioulem5 25696 . . 3 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
8 reeanv 3217 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
95, 7, 8sylanbrc 583 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
10 r19.26-2 3135 . . . 4 (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) ↔ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
11 ifcl 4531 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
1211adantl 482 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
13 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0)
1411ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
15 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ+)
1615ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
173ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1817nnzd 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1916, 18rpexpcld 14150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℝ+)
2014, 19rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
2120rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
22 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
2322, 19rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
2423rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
254ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 znq 12877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
27 qre 12878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2928adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
3025, 29resubcld 11583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
3130recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
3231abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
3321, 24, 323jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
3514rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
3622rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
37 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
3837rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
39 min1 13108 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
4036, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
4135, 36, 19, 40lediv1dd 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)))
4241anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
43 letr 11249 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4434, 42, 43sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
4544ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4645adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4746orim2d 965 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4813, 47embantd 59 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4948adantrd 492 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
50 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0)
5137, 19rpdivcld 12974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
5251rpred 12957 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
5321, 52, 323jca 1128 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
5453adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
55 min2 13109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
5636, 38, 55syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
5735, 38, 19, 56lediv1dd 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)))
5857anim1i 615 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
59 letr 11249 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6054, 58, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
6160ex 413 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6261adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6362orim2d 965 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6450, 63embantd 59 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6564adantld 491 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6649, 65pm2.61dane 3032 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6766ralimdvva 3201 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
68 oveq1 7364 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) = (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)))
6968breq1d 5115 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → ((𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
7069orbi2d 914 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
71702ralbidv 3212 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7271rspcev 3581 . . . . 5 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
7312, 67, 72syl6an 682 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7410, 73biimtrrid 242 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ((∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7574rexlimdvva 3205 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
769, 75mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  ifcif 4486   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cr 11050  0cc0 11051  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  cz 12499  cq 12873  +crp 12915  cexp 13967  abscabs 15119  Polycply 25545  degcdgr 25548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-subrg 20220  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-dvn 25232  df-cpn 25233  df-ply 25549  df-idp 25550  df-coe 25551  df-dgr 25552  df-quot 25651
This theorem is referenced by:  aaliou  25698
  Copyright terms: Public domain W3C validator