Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  aalioulem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aalioulem6 24912
 Description: Lemma for aaliou 24913. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
aalioulem2.a 𝑁 = (deg‘𝐹)
aalioulem2.b (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
aalioulem2.c (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
aalioulem2.d (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
aalioulem3.e (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
Assertion
Ref Expression
aalioulem6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
Distinct variable groups:   𝜑,𝑥,𝑝,𝑞   𝑥,𝐴,𝑝,𝑞   𝑥,𝐹,𝑝,𝑞   𝑥,𝑁
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑞,𝑝)

Proof of Theorem aalioulem6
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 aalioulem2.a . . . 4 𝑁 = (deg‘𝐹)
2 aalioulem2.b . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (Poly‘ℤ))
3 aalioulem2.c . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 aalioulem2.d . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
51, 2, 3, 4aalioulem2 24908 . . 3 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6 aalioulem3.e . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐴) = 0)
71, 2, 3, 4, 6aalioulem5 24911 . . 3 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
8 reeanv 3354 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∃𝑏 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
95, 7, 8sylanbrc 585 . 2 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
10 r19.26-2 3158 . . . 4 (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) ↔ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))))
11 ifcl 4487 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
1211adantl 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
13 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0)
1411ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+)
15 nnrp 12379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑞 ∈ ℕ → 𝑞 ∈ ℝ+)
1615ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑞 ∈ ℝ+)
173ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℕ)
1817nnzd 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑁 ∈ ℤ)
1916, 18rpexpcld 13593 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑞𝑁) ∈ ℝ+)
2014, 19rpdivcld 12427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
2120rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
22 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
2322, 19rpdivcld 12427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
2423rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
254ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝐴 ∈ ℝ)
26 znq 12331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ)
27 qre 12332 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑝 / 𝑞) ∈ ℚ → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
2928adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑝 / 𝑞) ∈ ℝ)
3025, 29resubcld 11046 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℝ)
3130recnd 10647 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝐴 − (𝑝 / 𝑞)) ∈ ℂ)
3231abscld 14776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ)
3321, 24, 323jca 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
3433adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
3514rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ)
3622rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑎 ∈ ℝ)
37 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℝ+)
3837rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → 𝑏 ∈ ℝ)
39 min1 12561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
4036, 38, 39syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑎)
4135, 36, 19, 40lediv1dd 12468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)))
4241anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
43 letr 10712 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4434, 42, 43sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
4544ex 415 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4645adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
4746orim2d 963 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4813, 47embantd 59 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
4948adantrd 494 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
50 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0)
5137, 19rpdivcld 12427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ+)
5251rpred 12410 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ)
5321, 52, 323jca 1124 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
5453adantr 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ))
55 min2 12562 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
5636, 38, 55syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ≤ 𝑏)
5735, 38, 19, 56lediv1dd 12468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)))
5857anim1i 616 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
59 letr 10712 . . . . . . . . . . . . 13 (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ∈ ℝ) → (((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6054, 58, 59sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))
6160ex 415 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6261adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) → (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
6362orim2d 963 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6450, 63embantd 59 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6564adantld 493 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) ∧ (𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6649, 65pm2.61dane 3093 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑞 ∈ ℕ)) → ((((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
6766ralimdvva 3166 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
68 oveq1 7140 . . . . . . . . 9 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → (𝑥 / (𝑞𝑁)) = (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)))
6968breq1d 5052 . . . . . . . 8 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → ((𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))) ↔ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
7069orbi2d 912 . . . . . . 7 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → ((𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
71702ralbidv 3186 . . . . . 6 (𝑥 = if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))) ↔ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7271rspcev 3602 . . . . 5 ((if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (if(𝑎𝑏, 𝑎, 𝑏) / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
7312, 67, 72syl6an 682 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7410, 73syl5bir 245 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+)) → ((∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
7574rexlimdvva 3281 . 2 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℝ+ (∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) = 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑎 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))) ∧ ∀𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ ((𝐹‘(𝑝 / 𝑞)) ≠ 0 → (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑏 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞))))))
769, 75mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℤ ∀𝑞 ∈ ℕ (𝐴 = (𝑝 / 𝑞) ∨ (𝑥 / (𝑞𝑁)) ≤ (abs‘(𝐴 − (𝑝 / 𝑞)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∀wral 3125  ∃wrex 3126  ifcif 4443   class class class wbr 5042  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133  ℝcr 10514  0cc0 10515   ≤ cle 10654   − cmin 10848   / cdiv 11275  ℕcn 11616  ℤcz 11960  ℚcq 12327  ℝ+crp 12368  ↑cexp 13414  abscabs 14573  Polycply 24760  degcdgr 24763 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-inf2 9082  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-iin 4898  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-pm 8387  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-fi 8853  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-q 12328  df-rp 12369  df-xneg 12486  df-xadd 12487  df-xmul 12488  df-ioo 12721  df-ico 12723  df-icc 12724  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-clim 14825  df-rlim 14826  df-sum 15023  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-hom 16568  df-cco 16569  df-rest 16675  df-topn 16676  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-topgen 16696  df-pt 16697  df-prds 16700  df-xrs 16754  df-qtop 16759  df-imas 16760  df-xps 16762  df-mre 16836  df-mrc 16837  df-acs 16839  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-subrg 19509  df-psmet 20513  df-xmet 20514  df-met 20515  df-bl 20516  df-mopn 20517  df-fbas 20518  df-fg 20519  df-cnfld 20522  df-top 21478  df-topon 21495  df-topsp 21517  df-bases 21530  df-cld 21603  df-ntr 21604  df-cls 21605  df-nei 21682  df-lp 21720  df-perf 21721  df-cn 21811  df-cnp 21812  df-haus 21899  df-cmp 21971  df-tx 22146  df-hmeo 22339  df-fil 22430  df-fm 22522  df-flim 22523  df-flf 22524  df-xms 22906  df-ms 22907  df-tms 22908  df-cncf 23462  df-0p 24253  df-limc 24448  df-dv 24449  df-dvn 24450  df-cpn 24451  df-ply 24764  df-idp 24765  df-coe 24766  df-dgr 24767  df-quot 24866 This theorem is referenced by:  aaliou  24913
 Copyright terms: Public domain W3C validator