Theorem ppidif 27095

Description: The difference of the prime-counting function π at two points counts the number of primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppidif	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12737	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzel2 12732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		2z 12499	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		ifcl 4516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
6	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ ℤ)
7	2	zred 12572	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		2re 12194	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		min2 13084	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
11		eluz2 12733	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
12	5, 6, 10, 11	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
13		ppival2g 27061	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π‘𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
14	1, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
15		min1 13083	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
16	7, 8, 15	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
17		eluz2 12733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
18	5, 2, 16, 17	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
19		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		elfzuzb 13413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	18, 19, 20	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
22		fzsplit 13445	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
24	23	ineq1d 4164	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
25		indir 4231	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
26	24, 25	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
27	26	fveq2d 6821	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) = (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
28		fzfi 13874	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
29		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
30		ssfi 9077	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
31	28, 29, 30	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
32		fzfi 13874	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
33		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
34		ssfi 9077	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
36	7	ltp1d 12047	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
37		fzdisj 13446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
39	38	ineq1d 4164	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
40		inindir 4181	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
41		0in 4342	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
42	39, 40, 41	3eqtr3g 2789	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
43		hashun 14284	. . . . 5 ⊢ ((((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
44	31, 35, 42, 43	mp3an12i 1467	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
45	14, 27, 44	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑁) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
46		ppival2g 27061	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π‘𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
47	2, 12, 46	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
48	45, 47	oveq12d 7359	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))))
49		hashcl 14258	. . . . 5 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
50	31, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
51	50	nn0cni 12388	. . 3 ⊢ (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
52		hashcl 14258	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
53	35, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
54	53	nn0cni 12388	. . 3 ⊢ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
55		pncan2 11362	. . 3 ⊢ (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ ∧ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ) → (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
56	51, 54, 55	mp2an 692	. 2 ⊢ (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
57	48, 56	eqtrdi 2782	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∪ cun 3895   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  ∅c0 4278  ifcif 4470   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Fincfn 8864  ℂcc 10999  ℝcr 11000  1c1 11002   + caddc 11004   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  2c2 12175  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ...cfz 13402  ♯chash 14232  ℙcprime 16577  πcppi 27026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-dju 9789  df-card 9827  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fl 13691  df-seq 13904  df-exp 13964  df-hash 14233  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-prm 16578  df-ppi 27032

This theorem is referenced by:  ppiub  27137  chtppilimlem1  27406