Theorem ppidif 27399

Description: The difference of the prime-counting function π at two points counts the number of primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppidif	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12897	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzel2 12892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		2z 12650	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		ifcl 4528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
6	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ ℤ)
7	2	zred 12725	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		2re 12339	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		min2 13242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
10	7, 8, 9	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
11		eluz2 12893	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
12	5, 6, 10, 11	syl3anbrc 1362	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
13		ppival2g 27365	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π‘𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
14	1, 12, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
15		min1 13241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
16	7, 8, 15	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
17		eluz2 12893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
18	5, 2, 16, 17	syl3anbrc 1362	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
19		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		elfzuzb 13572	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	18, 19, 20	sylanbrc 595	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
22		fzsplit 13605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
23	21, 22	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
24	23	ineq1d 4165	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
25		indir 4232	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
26	24, 25	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
27	26	fveq2d 6882	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) = (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
28		fzfi 14036	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
29		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
30		ssfi 9167	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
31	28, 29, 30	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
32		fzfi 14036	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
33		inss1 4182	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
34		ssfi 9167	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
35	32, 33, 34	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
36	7	ltp1d 12169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
37		fzdisj 13606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
38	36, 37	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
39	38	ineq1d 4165	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
40		inindir 4181	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
41		0in 4347	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
42	39, 40, 41	3eqtr3g 2818	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
43		hashun 14446	. . . . 5 ⊢ ((((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
44	31, 35, 42, 43	mp3an12i 1494	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
45	14, 27, 44	3eqtrd 2799	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑁) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
46		ppival2g 27365	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π‘𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
47	2, 12, 46	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
48	45, 47	oveq12d 7431	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))))
49		hashcl 14420	. . . . 5 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
50	31, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
51	50	nn0cni 12540	. . 3 ⊢ (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
52		hashcl 14420	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
53	35, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
54	53	nn0cni 12540	. . 3 ⊢ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
55		pncan2 11488	. . 3 ⊢ (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ ∧ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ) → (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
56	51, 54, 55	mp2an 705	. 2 ⊢ (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
57	48, 56	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∪ cun 3897   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Fincfn 8952  ℂcc 11122  ℝcr 11123  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267   ≤ cle 11268   − cmin 11465  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12887  ...cfz 13561  ♯chash 14394  ℙcprime 16761  πcppi 27330

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-inf 9413  df-dju 9906  df-card 9944  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-div 11896  df-nn 12258  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-rp 13043  df-icc 13405  df-fz 13562  df-fl 13853  df-seq 14066  df-exp 14126  df-hash 14395  df-cj 15186  df-re 15187  df-im 15188  df-sqrt 15322  df-abs 15323  df-dvds 16343  df-prm 16762  df-ppi 27336

This theorem is used by:  ppiub  27440  chtppilimlem1  27709