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Theorem ppidif 26891
Description: The difference of the prime-counting function π at two points counts the number of primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppidif (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((π𝑁) − (π𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppidif
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12836 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 eluzel2 12831 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 2z 12598 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
4 ifcl 4573 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
52, 3, 4sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
63a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 2 ∈ ℤ)
72zred 12670 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 2re 12290 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
9 min2 13173 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
107, 8, 9sylancl 586 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
11 eluz2 12832 . . . . . 6 (2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
125, 6, 10, 11syl3anbrc 1343 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
13 ppival2g 26857 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
141, 12, 13syl2anc 584 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (π𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
15 min1 13172 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
167, 8, 15sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
17 eluz2 12832 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
185, 2, 16, 17syl3anbrc 1343 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
19 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
20 elfzuzb 13499 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
2118, 19, 20sylanbrc 583 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
22 fzsplit 13531 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
2423ineq1d 4211 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
25 indir 4275 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
2624, 25eqtrdi 2788 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
2726fveq2d 6895 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) = (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
28 fzfi 13941 . . . . . 6 (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
29 inss1 4228 . . . . . 6 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
30 ssfi 9175 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3128, 29, 30mp2an 690 . . . . 5 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
32 fzfi 13941 . . . . . 6 ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
33 inss1 4228 . . . . . 6 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
34 ssfi 9175 . . . . . 6 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3532, 33, 34mp2an 690 . . . . 5 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
367ltp1d 12148 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
37 fzdisj 13532 . . . . . . . 8 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
3938ineq1d 4211 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
40 inindir 4227 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
41 0in 4393 . . . . . 6 (∅ ∩ ℙ) = ∅
4239, 40, 413eqtr3g 2795 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
43 hashun 14346 . . . . 5 ((((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
4431, 35, 42, 43mp3an12i 1465 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
4514, 27, 443eqtrd 2776 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (π𝑁) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
46 ppival2g 26857 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
472, 12, 46syl2anc 584 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (π𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
4845, 47oveq12d 7429 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((π𝑁) − (π𝑀)) = (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))))
49 hashcl 14320 . . . . 5 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
5031, 49ax-mp 5 . . . 4 (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
5150nn0cni 12488 . . 3 (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
52 hashcl 14320 . . . . 5 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
5335, 52ax-mp 5 . . . 4 (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
5453nn0cni 12488 . . 3 (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
55 pncan2 11471 . . 3 (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ ∧ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ) → (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
5651, 54, 55mp2an 690 . 2 (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
5748, 56eqtrdi 2788 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((π𝑁) − (π𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cun 3946  cin 3947  wss 3948  c0 4322  ifcif 4528   class class class wbr 5148  cfv 6543  (class class class)co 7411  Fincfn 8941  cc 11110  cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  cle 11253  cmin 11448  2c2 12271  0cn0 12476  cz 12562  cuz 12826  ...cfz 13488  chash 14294  cprime 16612  πcppi 26822
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-prm 16613  df-ppi 26828
This theorem is referenced by:  ppiub  26931  chtppilimlem1  27200
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