Theorem ppidif 27120

Description: The difference of the prime-counting function π at two points counts the number of primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ppidif	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppidif

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzelz 12752	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eluzel2 12747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		2z 12514	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
4		ifcl 4522	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
6	3	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ ℤ)
7	2	zred 12587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8		2re 12210	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
9		min2 13096	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
11		eluz2 12748	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
12	5, 6, 10, 11	syl3anbrc 1344	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
13		ppival2g 27086	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π‘𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
14	1, 12, 13	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
15		min1 13095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
16	7, 8, 15	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
17		eluz2 12748	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
18	5, 2, 16, 17	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
19		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
20		elfzuzb 13425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	18, 19, 20	sylanbrc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
22		fzsplit 13457	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
24	23	ineq1d 4168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
25		indir 4235	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
26	24, 25	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
27	26	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) = (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
28		fzfi 13886	. . . . . 6 ⊢ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
29		inss1 4186	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
30		ssfi 9093	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
31	28, 29, 30	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
32		fzfi 13886	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
33		inss1 4186	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
34		ssfi 9093	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
35	32, 33, 34	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
36	7	ltp1d 12063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
37		fzdisj 13458	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
39	38	ineq1d 4168	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
40		inindir 4185	. . . . . 6 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
41		0in 4346	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∩ ℙ) = ∅
42	39, 40, 41	3eqtr3g 2791	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
43		hashun 14296	. . . . 5 ⊢ ((((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
44	31, 35, 42, 43	mp3an12i 1467	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
45	14, 27, 44	3eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑁) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
46		ppival2g 27086	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π‘𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
47	2, 12, 46	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (π‘𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
48	45, 47	oveq12d 7373	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))))
49		hashcl 14270	. . . . 5 ⊢ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
50	31, 49	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
51	50	nn0cni 12404	. . 3 ⊢ (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
52		hashcl 14270	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
53	35, 52	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
54	53	nn0cni 12404	. . 3 ⊢ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
55		pncan2 11378	. . 3 ⊢ (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ ∧ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ) → (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
56	51, 54, 55	mp2an 692	. 2 ⊢ (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
57	48, 56	eqtrdi 2784	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((π‘𝑁) − (π‘𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3896   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  ifcif 4476   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Fincfn 8879  ℂcc 11015  ℝcr 11016  1c1 11018   + caddc 11020   < clt 11157   ≤ cle 11158   − cmin 11355  2c2 12191  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ...cfz 13414  ♯chash 14244  ℙcprime 16589  πcppi 27051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-dju 9805  df-card 9843  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-rp 12897  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fl 13703  df-seq 13916  df-exp 13976  df-hash 14245  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-dvds 16171  df-prm 16590  df-ppi 27057

This theorem is referenced by:  ppiub  27162  chtppilimlem1  27431