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Theorem ppidif 26667
Description: The difference of the prime-counting function π at two points counts the number of primes in an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ppidif (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((π𝑁) − (π𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))

Proof of Theorem ppidif
StepHypRef Expression
1 eluzelz 12832 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
2 eluzel2 12827 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
3 2z 12594 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
4 ifcl 4574 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
52, 3, 4sylancl 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ)
63a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 2 ∈ ℤ)
72zred 12666 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
8 2re 12286 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
9 min2 13169 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
107, 8, 9sylancl 587 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2)
11 eluz2 12828 . . . . . 6 (2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 2 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 2))
125, 6, 10, 11syl3anbrc 1344 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
13 ppival2g 26633 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
141, 12, 13syl2anc 585 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (π𝑁) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)))
15 min1 13168 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 2 ∈ ℝ) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
167, 8, 15sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀)
17 eluz2 12828 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ↔ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2) ≤ 𝑀))
185, 2, 16, 17syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)))
19 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
20 elfzuzb 13495 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ↔ (𝑀 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ𝑀)))
2118, 19, 20sylanbrc 584 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁))
22 fzsplit 13527 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) = ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)))
2423ineq1d 4212 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ))
25 indir 4276 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∪ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
2624, 25eqtrdi 2789 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
2726fveq2d 6896 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑁) ∩ ℙ)) = (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
28 fzfi 13937 . . . . . 6 (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin
29 inss1 4229 . . . . . 6 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)
30 ssfi 9173 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∈ Fin ∧ ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ⊆ (if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀)) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3128, 29, 30mp2an 691 . . . . 5 ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin
32 fzfi 13937 . . . . . 6 ((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin
33 inss1 4229 . . . . . 6 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)
34 ssfi 9173 . . . . . 6 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ⊆ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin)
3532, 33, 34mp2an 691 . . . . 5 (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin
367ltp1d 12144 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 < (𝑀 + 1))
37 fzdisj 13528 . . . . . . . 8 (𝑀 < (𝑀 + 1) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
3836, 37syl 17 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) = ∅)
3938ineq1d 4212 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (∅ ∩ ℙ))
40 inindir 4228 . . . . . 6 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ((𝑀 + 1)...𝑁)) ∩ ℙ) = (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
41 0in 4394 . . . . . 6 (∅ ∩ ℙ) = ∅
4239, 40, 413eqtr3g 2796 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅)
43 hashun 14342 . . . . 5 ((((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin ∧ (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∩ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) = ∅) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
4431, 35, 42, 43mp3an12i 1466 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (♯‘(((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∪ (((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
4514, 27, 443eqtrd 2777 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (π𝑁) = ((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))))
46 ppival2g 26633 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2))) → (π𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
472, 12, 46syl2anc 585 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (π𝑀) = (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)))
4845, 47oveq12d 7427 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((π𝑁) − (π𝑀)) = (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))))
49 hashcl 14316 . . . . 5 (((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
5031, 49ax-mp 5 . . . 4 (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
5150nn0cni 12484 . . 3 (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
52 hashcl 14316 . . . . 5 ((((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ) ∈ Fin → (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0)
5335, 52ax-mp 5 . . . 4 (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℕ0
5453nn0cni 12484 . . 3 (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ
55 pncan2 11467 . . 3 (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) ∈ ℂ ∧ (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)) ∈ ℂ) → (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
5651, 54, 55mp2an 691 . 2 (((♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ)) + (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))) − (♯‘((if(𝑀 ≤ 2, 𝑀, 2)...𝑀) ∩ ℙ))) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ))
5748, 56eqtrdi 2789 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((π𝑁) − (π𝑀)) = (♯‘(((𝑀 + 1)...𝑁) ∩ ℙ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3947  cin 3948  wss 3949  c0 4323  ifcif 4529   class class class wbr 5149  cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  cc 11108  cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  cle 11249  cmin 11444  2c2 12267  0cn0 12472  cz 12558  cuz 12822  ...cfz 13484  chash 14290  cprime 16608  πcppi 26598
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-prm 16609  df-ppi 26604
This theorem is referenced by:  ppiub  26707  chtppilimlem1  26976
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