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Theorem ovolicc2lem5 25038
Description: Lemma for ovolicc2 25039. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolicc.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
ovolicc.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
ovolicc.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
ovolicc2.4 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
ovolicc2.5 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
ovolicc2.6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
ovolicc2.7 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
ovolicc2.8 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ˆβŸΆβ„•)
ovolicc2.9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
ovolicc2.10 𝑇 = {𝑒 ∈ π‘ˆ ∣ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…}
Assertion
Ref Expression
ovolicc2lem5 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,𝐴   𝑑,𝐡,𝑒   𝑑,𝐹   𝑑,𝐺   πœ‘,𝑑   𝑑,𝑇   𝑑,π‘ˆ,𝑒
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒)   𝑆(𝑒,𝑑)   𝑇(𝑒)   𝐹(𝑒)   𝐺(𝑒)

Proof of Theorem ovolicc2lem5
Dummy variables β„Ž π‘š 𝑛 π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolicc2.7 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
2 ovolicc.1 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32rexrd 11264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 ovolicc.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
54rexrd 11264 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
6 ovolicc.3 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
7 lbicc2 13441 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐡 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
83, 5, 6, 7syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
91, 8sseldd 3984 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ)
10 eluni2 4913 . . 3 (𝐴 ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑧)
119, 10sylib 217 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ π‘ˆ 𝐴 ∈ 𝑧)
12 ovolicc2.6 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
1312elin2d 4200 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ Fin)
14 ovolicc2.10 . . . . . . 7 𝑇 = {𝑒 ∈ π‘ˆ ∣ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…}
1514ssrab3 4081 . . . . . 6 𝑇 βŠ† π‘ˆ
16 ssfi 9173 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Fin ∧ 𝑇 βŠ† π‘ˆ) β†’ 𝑇 ∈ Fin)
1713, 15, 16sylancl 587 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ Fin)
181adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
19 ovolicc2.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐺:π‘ˆβŸΆβ„•)
20 ineq1 4206 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝑑 β†’ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))
2120neeq1d 3001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝑑 β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ… ↔ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…))
2221, 14elrab2 3687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑑 ∈ 𝑇 ↔ (𝑑 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…))
2322simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ 𝑑 ∈ π‘ˆ)
24 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺:π‘ˆβŸΆβ„• ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„•)
2519, 23, 24syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„•)
26 ovolicc2.5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2726ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„•) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2825, 27syldan 592 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
2928elin2d 4200 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
30 xp2nd 8008 . . . . . . . . . . . 12 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
324adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
3331, 32ifcld 4575 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ ℝ)
3422simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑑 ∈ 𝑇 β†’ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…)
3534adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…)
36 n0 4347 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))
3735, 36sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))
382adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
39 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))
4039elin2d 4200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
414adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
42 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
432, 41, 42syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
4440, 43mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
4544simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4629adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ (ℝ Γ— ℝ))
4746, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
4844simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
4939elin1d 4199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ 𝑑)
5025adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„•)
51 fvco3 6991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) ∧ (πΊβ€˜π‘‘) ∈ β„•) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
5226, 50, 51syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = ((,)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
53 ovolicc2.9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
5423, 53sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
5554adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
56 1st2nd2 8014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))⟩)
5746, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = ⟨(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))⟩)
5857fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))⟩))
59 df-ov 7412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) = ((,)β€˜βŸ¨(1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))⟩)
6058, 59eqtr4di 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ ((,)β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) = ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))))
6152, 55, 603eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑑 = ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))))
6249, 61eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ∈ ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))))
63 xp1st 8007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)) ∈ (ℝ Γ— ℝ) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
6446, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ)
65 rexr 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ β†’ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ*)
66 rexr 11260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ*)
67 elioo2 13365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ* ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ*) β†’ (𝑦 ∈ ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) < 𝑦 ∧ 𝑦 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))))
6865, 66, 67syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ ∧ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) < 𝑦 ∧ 𝑦 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))))
6964, 47, 68syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (𝑦 ∈ ((1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))(,)(2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) < 𝑦 ∧ 𝑦 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))))
7062, 69mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ (1st β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) < 𝑦 ∧ 𝑦 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))))
7170simp3d 1145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 < (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
7245, 47, 71ltled 11362 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝑦 ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
7338, 45, 47, 48, 72letrd 11371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑑 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)))) β†’ 𝐴 ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
7473expr 458 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))))
7574exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘¦ 𝑦 ∈ (𝑑 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝐴 ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))))
7637, 75mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
776adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
78 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) = if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) β†’ (𝐴 ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ↔ 𝐴 ≀ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡)))
79 breq2 5153 . . . . . . . . . . . 12 (𝐡 = if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) β†’ (𝐴 ≀ 𝐡 ↔ 𝐴 ≀ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡)))
8078, 79ifboth 4568 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ≀ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∧ 𝐴 ≀ 𝐡) β†’ 𝐴 ≀ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡))
8176, 77, 80syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ 𝐴 ≀ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡))
82 min2 13169 . . . . . . . . . . 11 (((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ≀ 𝐡)
8331, 32, 82syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ≀ 𝐡)
84 elicc2 13389 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ≀ 𝐡)))
852, 4, 84syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ≀ 𝐡)))
8685adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ≀ 𝐡)))
8733, 81, 83, 86mpbir3and 1343 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (𝐴[,]𝐡))
8818, 87sseldd 3984 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ βˆͺ π‘ˆ)
89 eluni2 4913 . . . . . . . 8 (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ βˆͺ π‘ˆ ↔ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘ˆ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)
9088, 89sylib 217 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ π‘ˆ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)
91 simprl 770 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
92 simprr 772 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)
9387adantr 482 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (𝐴[,]𝐡))
94 inelcm 4465 . . . . . . . . 9 ((if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯ ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…)
9592, 93, 94syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)) β†’ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…)
96 ineq1 4206 . . . . . . . . . 10 (𝑒 = π‘₯ β†’ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) = (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)))
9796neeq1d 3001 . . . . . . . . 9 (𝑒 = π‘₯ β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ… ↔ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…))
9897, 14elrab2 3687 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑇 ↔ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ (π‘₯ ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…))
9991, 95, 98sylanbrc 584 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ 𝑇)
10090, 99, 92reximssdv 3173 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)
101100ralrimiva 3147 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯)
102 eleq2 2823 . . . . . 6 (π‘₯ = (β„Žβ€˜π‘‘) β†’ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯ ↔ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘)))
103102ac6sfi 9287 . . . . 5 ((𝑇 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ π‘₯) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘)))
10417, 101, 103syl2anc 585 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘)))
105104adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘)))
106 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯)) = (πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘)))
107106fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) = (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))))
108107breq1d 5159 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑑 β†’ ((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡 ↔ (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡))
109108, 107ifbieq1d 4553 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑑 β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) = if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡))
110 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) = (β„Žβ€˜π‘‘))
111109, 110eleq12d 2828 . . . . . . 7 (π‘₯ = 𝑑 β†’ (if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯) ↔ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘)))
112111cbvralvw 3235 . . . . . 6 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘))
1132adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1144adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
1156adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
116 ovolicc2.4 . . . . . . . . 9 𝑆 = seq1( + , ((abs ∘ βˆ’ ) ∘ 𝐹))
11726adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐹:β„•βŸΆ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
11812adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ π‘ˆ ∈ (𝒫 ran ((,) ∘ 𝐹) ∩ Fin))
1191adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ π‘ˆ)
12019adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐺:π‘ˆβŸΆβ„•)
12153adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) ∧ 𝑑 ∈ π‘ˆ) β†’ (((,) ∘ 𝐹)β€˜(πΊβ€˜π‘‘)) = 𝑑)
122 simprrl 780 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡)
123 simprrr 781 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯))
124111rspccva 3612 . . . . . . . . . 10 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘))
125123, 124sylan 581 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) ∧ 𝑑 ∈ 𝑇) β†’ if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘))
126 simprlr 779 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐴 ∈ 𝑧)
127 simprll 778 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝑧 ∈ π‘ˆ)
1288adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡))
129 inelcm 4465 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ 𝑧 ∧ 𝐴 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…)
130126, 128, 129syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…)
131 ineq1 4206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑧 β†’ (𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) = (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)))
132131neeq1d 3001 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑧 β†’ ((𝑒 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ… ↔ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…))
133132, 14elrab2 3687 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ 𝑇 ↔ (𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ (𝑧 ∩ (𝐴[,]𝐡)) β‰  βˆ…))
134127, 130, 133sylanbrc 584 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑇)
135 eqid 2733 . . . . . . . . 9 seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧})) = seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))
136 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (π‘š = 𝑛 β†’ (seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))β€˜π‘š) = (seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))β€˜π‘›))
137136eleq2d 2820 . . . . . . . . . 10 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝐡 ∈ (seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))β€˜π‘š) ↔ 𝐡 ∈ (seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))β€˜π‘›)))
138137cbvrabv 3443 . . . . . . . . 9 {π‘š ∈ β„• ∣ 𝐡 ∈ (seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))β€˜π‘š)} = {𝑛 ∈ β„• ∣ 𝐡 ∈ (seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))β€˜π‘›)}
139 eqid 2733 . . . . . . . . 9 inf({π‘š ∈ β„• ∣ 𝐡 ∈ (seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))β€˜π‘š)}, ℝ, < ) = inf({π‘š ∈ β„• ∣ 𝐡 ∈ (seq1((β„Ž ∘ 1st ), (β„• Γ— {𝑧}))β€˜π‘š)}, ℝ, < )
140113, 114, 115, 116, 117, 118, 119, 120, 121, 14, 122, 125, 126, 134, 135, 138, 139ovolicc2lem4 25037 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ((𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯)))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
141140anassrs 469 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ (β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯))) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
142141expr 458 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘₯))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘₯) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < )))
143112, 142biimtrrid 242 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) ∧ β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡) β†’ (βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < )))
144143expimpd 455 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ ((β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < )))
145144exlimdv 1937 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ (βˆƒβ„Ž(β„Ž:π‘‡βŸΆπ‘‡ ∧ βˆ€π‘‘ ∈ 𝑇 if((2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))) ≀ 𝐡, (2nd β€˜(πΉβ€˜(πΊβ€˜π‘‘))), 𝐡) ∈ (β„Žβ€˜π‘‘)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < )))
146105, 145mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (𝑧 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ 𝑧)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
14711, 146rexlimddv 3162 1 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ sup(ran 𝑆, ℝ*, < ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  π’« cpw 4603  {csn 4629  βŸ¨cop 4635  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   ∘ ccom 5681  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1st c1st 7973  2nd c2nd 7974  Fincfn 8939  supcsup 9435  infcinf 9436  β„cr 11109  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•cn 12212  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  seqcseq 13966  abscabs 15181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  ovolicc2  25039
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