MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xlebnum 24481
Description: Generalize lebnum 24480 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
xlebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xlebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
xlebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
xlebnum (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐷   πœ‘,𝑒,π‘₯   π‘ˆ,𝑑,𝑒,π‘₯   𝑋,𝑑,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑒,𝑑)
Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2 xlebnum.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 1rp 12978 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 eqid 2733 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
54stdbdmet 24025 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
62, 3, 5sylancl 587 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
7 rpxr 12983 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ*)
83, 7mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ*)
9 0lt1 11736 . . . . . 6 0 < 1
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
11 xlebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
124, 11stdbdmopn 24027 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
132, 8, 10, 12syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14 xlebnum.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
1513, 14eqeltrrd 2835 . . 3 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16 xlebnum.s . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
1716, 13sseqtrd 4023 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18 xlebnum.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 24480 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
20 simpr 486 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
21 ifcl 4574 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
2220, 3, 21sylancl 587 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
232ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
243, 7mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ*)
259a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 < 1)
26 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2722adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
28 rpxr 12983 . . . . . . . . . 10 (if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+ β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ*)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ*)
30 rpre 12982 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
32 1re 11214 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
33 min2 13169 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)
3431, 32, 33sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)
354stdbdbl 24026 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1386 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
376ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
38 metxmet 23840 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
40 rpxr 12983 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
42 min1 13168 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ)
4331, 32, 42sylancl 587 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ)
44 ssbl 23929 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1382 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
4636, 45eqsstrrd 4022 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
47 sstr2 3990 . . . . . . 7 ((π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
4948reximdv 3171 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5049ralimdva 3168 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
51 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
5251sseq1d 4014 . . . . . . 7 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5352rexbidv 3179 . . . . . 6 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5453ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5554rspcev 3613 . . . 4 ((if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
5622, 50, 55syl6an 683 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5756rexlimdva 3156 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5819, 57mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949  ifcif 4529  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111  β„*cxr 11247   < clt 11248   ≀ cle 11249  β„+crp 12974  βˆžMetcxmet 20929  Metcmet 20930  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934  Compccmp 22890
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-cmp 22891  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator