Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlebnum 23568
 Description: Generalize lebnum 23567 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xlebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
xlebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
xlebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
xlebnum (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝜑,𝑢,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐽(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2 xlebnum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 1rp 12388 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 eqid 2824 . . . . 5 (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
54stdbdmet 23121 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
62, 3, 5sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
7 rpxr 12393 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
83, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
9 0lt1 11156 . . . . . 6 0 < 1
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
11 xlebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
124, 11stdbdmopn 23123 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
132, 8, 10, 12syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14 xlebnum.c . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
1513, 14eqeltrrd 2917 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16 xlebnum.s . . . 4 (𝜑𝑈𝐽)
1716, 13sseqtrd 3993 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18 xlebnum.u . . 3 (𝜑𝑋 = 𝑈)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 23567 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢)
20 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21 ifcl 4494 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
2220, 3, 21sylancl 589 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
232ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
243, 7mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
259a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 0 < 1)
26 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2722adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
28 rpxr 12393 . . . . . . . . . 10 (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
30 rpre 12392 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ)
32 1re 10635 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
33 min2 12578 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
3431, 32, 33sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
354stdbdbl 23122 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1382 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
376ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
38 metxmet 22939 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
40 rpxr 12393 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
42 min1 12577 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
4331, 32, 42sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
44 ssbl 23028 . . . . . . . . 9 ((((𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1378 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
4636, 45eqsstrrd 3992 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
47 sstr2 3960 . . . . . . 7 ((𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) → ((𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
4948reximdv 3266 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5049ralimdva 3172 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
51 oveq2 7154 . . . . . . . 8 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
5251sseq1d 3984 . . . . . . 7 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5352rexbidv 3290 . . . . . 6 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5453ralbidv 3192 . . . . 5 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5554rspcev 3609 . . . 4 ((if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5622, 50, 55syl6an 683 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5756rexlimdva 3277 . 2 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5819, 57mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∀wral 3133  ∃wrex 3134   ⊆ wss 3919  ifcif 4450  ∪ cuni 4825   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7146   ∈ cmpo 7148  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  ℝ*cxr 10668   < clt 10669   ≤ cle 10670  ℝ+crp 12384  ∞Metcxmet 20525  Metcmet 20526  ballcbl 20527  MetOpencmopn 20530  Compccmp 21989 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-ec 8283  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-mulg 18223  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator