MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xlebnum 24472
Description: Generalize lebnum 24471 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
xlebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xlebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
xlebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
xlebnum (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐷   πœ‘,𝑒,π‘₯   π‘ˆ,𝑑,𝑒,π‘₯   𝑋,𝑑,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑒,𝑑)
Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2 xlebnum.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 1rp 12974 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 eqid 2732 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
54stdbdmet 24016 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
62, 3, 5sylancl 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
7 rpxr 12979 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ*)
83, 7mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ*)
9 0lt1 11732 . . . . . 6 0 < 1
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
11 xlebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
124, 11stdbdmopn 24018 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
132, 8, 10, 12syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14 xlebnum.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
1513, 14eqeltrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16 xlebnum.s . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
1716, 13sseqtrd 4021 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18 xlebnum.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 24471 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
20 simpr 485 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
21 ifcl 4572 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
2220, 3, 21sylancl 586 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
232ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
243, 7mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ*)
259a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 < 1)
26 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2722adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
28 rpxr 12979 . . . . . . . . . 10 (if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+ β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ*)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ*)
30 rpre 12978 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3130ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
32 1re 11210 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
33 min2 13165 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)
3431, 32, 33sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)
354stdbdbl 24017 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1385 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
376ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
38 metxmet 23831 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
40 rpxr 12979 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
42 min1 13164 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ)
4331, 32, 42sylancl 586 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ)
44 ssbl 23920 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1381 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
4636, 45eqsstrrd 4020 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
47 sstr2 3988 . . . . . . 7 ((π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
4948reximdv 3170 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5049ralimdva 3167 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
51 oveq2 7413 . . . . . . . 8 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
5251sseq1d 4012 . . . . . . 7 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5352rexbidv 3178 . . . . . 6 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5453ralbidv 3177 . . . . 5 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5554rspcev 3612 . . . 4 ((if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
5622, 50, 55syl6an 682 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5756rexlimdva 3155 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5819, 57mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∈ cmpo 7407  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107  β„*cxr 11243   < clt 11244   ≀ cle 11245  β„+crp 12970  βˆžMetcxmet 20921  Metcmet 20922  ballcbl 20923  MetOpencmopn 20926  Compccmp 22881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator