Theorem xlebnum 25287

Description: Generalize lebnum 25286 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlebnum.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xlebnum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
xlebnum.c	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
xlebnum.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
xlebnum	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝜑,𝑢,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐽(𝑥, 𝑢, 𝑑)

Proof of Theorem xlebnum

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2		xlebnum.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		1rp 13125	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
5	4	stdbdmet 24836	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
6	2, 3, 5	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
7		rpxr 13131	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
8	3, 7	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
9		0lt1 11839	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
11		xlebnum.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12	4, 11	stdbdmopn 24838	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14		xlebnum.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
15	13, 14	eqeltrrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16		xlebnum.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
17	16, 13	sseqtrd 3965	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18		xlebnum.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)
19	1, 6, 15, 17, 18	lebnum 25286	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢)
20		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21		ifcl 4528	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
22	20, 3, 21	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
23	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
24	3, 7	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
25	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 < 1)
26		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
27	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
28		rpxr 13131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
30		rpre 13130	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
31	30	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ)
32		1re 11309	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		min2 13321	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
34	31, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
35	4	stdbdbl 24837	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
36	23, 24, 25, 26, 29, 34, 35	syl33anc 1412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
37	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
38		metxmet 24654	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
40		rpxr 13131	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
41	40	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
42		min1 13320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
43	31, 32, 42	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
44		ssbl 24743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
45	39, 26, 29, 41, 43, 44	syl221anc 1408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
46	36, 45	eqsstrrd 3964	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
47		sstr2 3936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) → ((𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
48	46, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
49	48	reximdv 3178	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
50	49	ralimdva 3175	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
51		oveq2 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
52	51	sseq1d 3960	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
53	52	rexbidv 3187	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
54	53	ralbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
55	54	rspcev 3577	. . . 4 ⊢ ((if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
56	22, 50, 55	syl6an 697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
57	56	rexlimdva 3164	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
58	19, 57	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ⊆ wss 3914  ifcif 4482  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5103  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∈ cmpo 7423  ℝcr 11200  0cc0 11201  1c1 11202  ℝ^*cxr 11343   < clt 11344   ≤ cle 11345  ℝ⁺crp 13121  ∞Metcxmet 21664  Metcmet 21665  ballcbl 21666  MetOpencmopn 21669  Compccmp 23705

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-inf2 9643  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278  ax-pre-sup 11279  ax-addf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8179  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-2o 8478  df-er 8718  df-ec 8720  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-fi 9404  df-sup 9435  df-inf 9436  df-oi 9505  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-div 11975  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-q 13077  df-rp 13122  df-xneg 13242  df-xadd 13243  df-xmul 13244  df-ioo 13481  df-ico 13483  df-icc 13484  df-fz 13641  df-fzo 13790  df-seq 14146  df-exp 14206  df-hash 14476  df-cj 15267  df-re 15268  df-im 15269  df-sqrt 15403  df-abs 15404  df-clim 15656  df-sum 15855  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-starv 17444  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-unif 17452  df-hom 17453  df-cco 17454  df-rest 17594  df-topn 17595  df-0g 17613  df-gsum 17614  df-topgen 17615  df-pt 17616  df-prds 17619  df-xrs 17675  df-qtop 17680  df-imas 17681  df-xps 17683  df-mre 17757  df-mrc 17758  df-acs 17760  df-mgm 18817  df-sgrp 18909  df-mnd 18925  df-submnd 18980  df-mulg 19279  df-cntz 19532  df-cmn 19997  df-psmet 21671  df-xmet 21672  df-met 21673  df-bl 21674  df-mopn 21675  df-cnfld 21680  df-top 23213  df-topon 23230  df-topsp 23252  df-bases 23265  df-cld 23338  df-ntr 23339  df-cls 23340  df-cn 23546  df-cnp 23547  df-cmp 23706  df-tx 23882  df-hmeo 24075  df-xms 24640  df-ms 24641  df-tms 24642

This theorem is used by: (None)