MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xlebnum 23568
Description: Generalize lebnum 23567 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xlebnum.d (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
xlebnum.c (𝜑𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s (𝜑𝑈𝐽)
xlebnum.u (𝜑𝑋 = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
xlebnum (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝜑,𝑢,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐽(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2 xlebnum.d . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 1rp 12388 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 eqid 2824 . . . . 5 (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
54stdbdmet 23121 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
62, 3, 5sylancl 589 . . 3 (𝜑 → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
7 rpxr 12393 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
83, 7mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
9 0lt1 11156 . . . . . 6 0 < 1
109a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → 0 < 1)
11 xlebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
124, 11stdbdmopn 23123 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
132, 8, 10, 12syl3anc 1368 . . . 4 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14 xlebnum.c . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ Comp)
1513, 14eqeltrrd 2917 . . 3 (𝜑 → (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16 xlebnum.s . . . 4 (𝜑𝑈𝐽)
1716, 13sseqtrd 3993 . . 3 (𝜑𝑈 ⊆ (MetOpen‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18 xlebnum.u . . 3 (𝜑𝑋 = 𝑈)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 23567 . 2 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢)
20 simpr 488 . . . . 5 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21 ifcl 4494 . . . . 5 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
2220, 3, 21sylancl 589 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
232ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
243, 7mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
259a1i 11 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 0 < 1)
26 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑥𝑋)
2722adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
28 rpxr 12393 . . . . . . . . . 10 (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
30 rpre 12392 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
3130ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ)
32 1re 10635 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
33 min2 12578 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
3431, 32, 33sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
354stdbdbl 23122 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1382 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
376ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
38 metxmet 22939 . . . . . . . . . 10 ((𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
40 rpxr 12393 . . . . . . . . . 10 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
42 min1 12577 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
4331, 32, 42sylancl 589 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
44 ssbl 23028 . . . . . . . . 9 ((((𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1378 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
4636, 45eqsstrrd 3992 . . . . . . 7 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
47 sstr2 3960 . . . . . . 7 ((𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) → ((𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → ((𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
4948reximdv 3266 . . . . 5 (((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥𝑋) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5049ralimdva 3172 . . . 4 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
51 oveq2 7154 . . . . . . . 8 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
5251sseq1d 3984 . . . . . . 7 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5352rexbidv 3290 . . . . . 6 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5453ralbidv 3192 . . . . 5 (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
5554rspcev 3609 . . . 4 ((if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
5622, 50, 55syl6an 683 . . 3 ((𝜑𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5756rexlimdva 3277 . 2 (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦𝑋, 𝑧𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
5819, 57mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝑋𝑢𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wral 3133  wrex 3134  wss 3919  ifcif 4450   cuni 4825   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7146  cmpo 7148  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  *cxr 10668   < clt 10669  cle 10670  +crp 12384  ∞Metcxmet 20525  Metcmet 20526  ballcbl 20527  MetOpencmopn 20530  Compccmp 21989
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7452  ax-inf2 9097  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7104  df-ov 7149  df-oprab 7150  df-mpo 7151  df-of 7400  df-om 7572  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-supp 7823  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-2o 8095  df-oadd 8098  df-er 8281  df-ec 8283  df-map 8400  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8827  df-fi 8868  df-sup 8899  df-inf 8900  df-oi 8967  df-card 9361  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11695  df-3 11696  df-4 11697  df-5 11698  df-6 11699  df-7 11700  df-8 11701  df-9 11702  df-n0 11893  df-z 11977  df-dec 12094  df-uz 12239  df-q 12344  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-ioo 12737  df-ico 12739  df-icc 12740  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-seq 13372  df-exp 13433  df-hash 13694  df-cj 14456  df-re 14457  df-im 14458  df-sqrt 14592  df-abs 14593  df-clim 14843  df-sum 15041  df-struct 16483  df-ndx 16484  df-slot 16485  df-base 16487  df-sets 16488  df-ress 16489  df-plusg 16576  df-mulr 16577  df-starv 16578  df-sca 16579  df-vsca 16580  df-ip 16581  df-tset 16582  df-ple 16583  df-ds 16585  df-unif 16586  df-hom 16587  df-cco 16588  df-rest 16694  df-topn 16695  df-0g 16713  df-gsum 16714  df-topgen 16715  df-pt 16716  df-prds 16719  df-xrs 16773  df-qtop 16778  df-imas 16779  df-xps 16781  df-mre 16855  df-mrc 16856  df-acs 16858  df-mgm 17850  df-sgrp 17899  df-mnd 17910  df-submnd 17955  df-mulg 18223  df-cntz 18445  df-cmn 18906  df-psmet 20532  df-xmet 20533  df-met 20534  df-bl 20535  df-mopn 20536  df-cnfld 20541  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-cmp 21990  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator