Theorem xlebnum 25298

Description: Generalize lebnum 25297 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlebnum.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xlebnum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
xlebnum.c	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
xlebnum.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
xlebnum	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝜑,𝑢,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐽(𝑥, 𝑢, 𝑑)

Proof of Theorem xlebnum

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2		xlebnum.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		1rp 13134	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
5	4	stdbdmet 24847	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
6	2, 3, 5	sylancl 598	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
7		rpxr 13140	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
8	3, 7	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
9		0lt1 11848	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
11		xlebnum.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12	4, 11	stdbdmopn 24849	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14		xlebnum.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
15	13, 14	eqeltrrd 2864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16		xlebnum.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
17	16, 13	sseqtrd 3948	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18		xlebnum.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)
19	1, 6, 15, 17, 18	lebnum 25297	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢)
20		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21		ifcl 4530	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
22	20, 3, 21	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
23	2	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
24	3, 7	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
25	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 < 1)
26		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
27	22	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
28		rpxr 13140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
30		rpre 13139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
31	30	ad2antlr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ)
32		1re 11318	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		min2 13330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
34	31, 32, 33	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
35	4	stdbdbl 24848	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
36	23, 24, 25, 26, 29, 34, 35	syl33anc 1412	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
37	6	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
38		metxmet 24665	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
39	37, 38	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
40		rpxr 13140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
41	40	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
42		min1 13329	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
43	31, 32, 42	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
44		ssbl 24754	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
45	39, 26, 29, 41, 43, 44	syl221anc 1408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
46	36, 45	eqsstrrd 3947	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
47		sstr2 3919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) → ((𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
48	46, 47	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
49	48	reximdv 3180	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
50	49	ralimdva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
51		oveq2 7435	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
52	51	sseq1d 3943	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
53	52	rexbidv 3189	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
54	53	ralbidv 3188	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
55	54	rspcev 3579	. . . 4 ⊢ ((if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
56	22, 50, 55	syl6an 697	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
57	56	rexlimdva 3166	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
58	19, 57	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∀wral 3079  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3899  ifcif 4484  ∪ cuni 4869   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ∈ cmpo 7429  ℝcr 11209  0cc0 11210  1c1 11211  ℝ^*cxr 11352   < clt 11353   ≤ cle 11354  ℝ⁺crp 13130  ∞Metcxmet 21675  Metcmet 21676  ballcbl 21677  MetOpencmopn 21680  Compccmp 23716

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-inf2 9652  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288  ax-addf 11289

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-of 7700  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-supp 8188  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8728  df-ec 8730  df-map 8860  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9365  df-fi 9413  df-sup 9444  df-inf 9445  df-oi 9514  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-xneg 13251  df-xadd 13252  df-xmul 13253  df-ioo 13490  df-ico 13492  df-icc 13493  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-clim 15667  df-sum 15866  df-struct 17337  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-starv 17455  df-sca 17456  df-vsca 17457  df-ip 17458  df-tset 17459  df-ple 17460  df-ds 17462  df-unif 17463  df-hom 17464  df-cco 17465  df-rest 17605  df-topn 17606  df-0g 17624  df-gsum 17625  df-topgen 17626  df-pt 17627  df-prds 17630  df-xrs 17686  df-qtop 17691  df-imas 17692  df-xps 17694  df-mre 17768  df-mrc 17769  df-acs 17771  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-submnd 18991  df-mulg 19290  df-cntz 19543  df-cmn 20008  df-psmet 21682  df-xmet 21683  df-met 21684  df-bl 21685  df-mopn 21686  df-cnfld 21691  df-top 23224  df-topon 23241  df-topsp 23263  df-bases 23276  df-cld 23349  df-ntr 23350  df-cls 23351  df-cn 23557  df-cnp 23558  df-cmp 23717  df-tx 23893  df-hmeo 24086  df-xms 24651  df-ms 24652  df-tms 24653

This theorem is used by: (None)