MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xlebnum Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem xlebnum 24711
Description: Generalize lebnum 24710 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xlebnum.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
xlebnum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
xlebnum.c (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
xlebnum.u (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
Assertion
Ref Expression
xlebnum (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Distinct variable groups:   𝑒,𝑑,π‘₯,𝐷   πœ‘,𝑒,π‘₯   π‘ˆ,𝑑,𝑒,π‘₯   𝑋,𝑑,𝑒,π‘₯
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑑)   𝐽(π‘₯,𝑒,𝑑)
Proof of Theorem xlebnum
Dummy variables π‘Ÿ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2730 . . 3 (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2 xlebnum.d . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3 1rp 12982 . . . 4 1 ∈ ℝ+
4 eqid 2730 . . . . 5 (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
54stdbdmet 24245 . . . 4 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
62, 3, 5sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
7 rpxr 12987 . . . . . 6 (1 ∈ ℝ+ β†’ 1 ∈ ℝ*)
83, 7mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ*)
9 0lt1 11740 . . . . . 6 0 < 1
109a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 0 < 1)
11 xlebnum.j . . . . . 6 𝐽 = (MetOpenβ€˜π·)
124, 11stdbdmopn 24247 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
132, 8, 10, 12syl3anc 1369 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14 xlebnum.c . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Comp)
1513, 14eqeltrrd 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16 xlebnum.s . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† 𝐽)
1716, 13sseqtrd 4021 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ βŠ† (MetOpenβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18 xlebnum.u . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 = βˆͺ π‘ˆ)
191, 6, 15, 17, 18lebnum 24710 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒)
20 simpr 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
21 ifcl 4572 . . . . 5 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
2220, 3, 21sylancl 584 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
232ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
243, 7mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 1 ∈ ℝ*)
259a1i 11 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 0 < 1)
26 simpr 483 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ 𝑋)
2722adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+)
28 rpxr 12987 . . . . . . . . . 10 (if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+ β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ*)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ*)
30 rpre 12986 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
3130ad2antlr 723 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
32 1re 11218 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℝ
33 min2 13173 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)
3431, 32, 33sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)
354stdbdbl 24246 . . . . . . . . 9 (((𝐷 ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (π‘₯ ∈ 𝑋 ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ* ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ 1)) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
3623, 24, 25, 26, 29, 34, 35syl33anc 1383 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
376ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹))
38 metxmet 24060 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Metβ€˜π‘‹) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
3937, 38syl 17 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
40 rpxr 12987 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
4140ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ*)
42 min1 13172 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ)
4331, 32, 42sylancl 584 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ)
44 ssbl 24149 . . . . . . . . 9 ((((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) ∧ (if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ* ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ*) ∧ if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ≀ π‘Ÿ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
4539, 26, 29, 41, 43, 44syl221anc 1379 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
4636, 45eqsstrrd 4020 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ))
47 sstr2 3988 . . . . . . 7 ((π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
4846, 47syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
4948reximdv 3168 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5049ralimdva 3165 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
51 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) = (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)))
5251sseq1d 4012 . . . . . . 7 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5352rexbidv 3176 . . . . . 6 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5453ralbidv 3175 . . . . 5 (𝑑 = if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒))
5554rspcev 3611 . . . 4 ((if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)if(π‘Ÿ ≀ 1, π‘Ÿ, 1)) βŠ† 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
5622, 50, 55syl6an 680 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5756rexlimdva 3153 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≀ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))π‘Ÿ) βŠ† 𝑒 β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒))
5819, 57mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 βˆƒπ‘’ ∈ π‘ˆ (π‘₯(ballβ€˜π·)𝑑) βŠ† 𝑒)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068   βŠ† wss 3947  ifcif 4527  βˆͺ cuni 4907   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„+crp 12978  βˆžMetcxmet 21129  Metcmet 21130  ballcbl 21131  MetOpencmopn 21134  Compccmp 23110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator