Theorem xlebnum 24128

Description: Generalize lebnum 24127 to extended metrics. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
xlebnum.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
xlebnum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
xlebnum.c	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
xlebnum.s	⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
xlebnum.u	⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
xlebnum	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Distinct variable groups:   𝑢,𝑑,𝑥,𝐷   𝜑,𝑢,𝑥   𝑈,𝑑,𝑢,𝑥   𝑋,𝑑,𝑢,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑑)   𝐽(𝑥,𝑢,𝑑)

Proof of Theorem xlebnum

Dummy variables 𝑟 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))
2		xlebnum.d	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		1rp 12734	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ+
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) = (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))
5	4	stdbdmet 23672	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ+) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
6	2, 3, 5	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
7		rpxr 12739	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ*)
8	3, 7	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ*)
9		0lt1 11497	. . . . . 6 ⊢ 0 < 1
10	9	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
11		xlebnum.j	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐷)
12	4, 11	stdbdmopn 23674	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
13	2, 8, 10, 12	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
14		xlebnum.c	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Comp)
15	13, 14	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))) ∈ Comp)
16		xlebnum.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ 𝐽)
17	16, 13	sseqtrd 3961	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ⊆ (MetOpen‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1))))
18		xlebnum.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ∪ 𝑈)
19	1, 6, 15, 17, 18	lebnum 24127	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢)
20		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → 𝑟 ∈ ℝ+)
21		ifcl 4504	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 1 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
22	20, 3, 21	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
23	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
24	3, 7	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 1 ∈ ℝ*)
25	9	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 0 < 1)
26		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ 𝑋)
27	22	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+)
28		rpxr 12739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ*)
30		rpre 12738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ)
31	30	ad2antlr 724	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ)
32		1re 10975	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
33		min2 12924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
34	31, 32, 33	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)
35	4	stdbdbl 23673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 1 ∈ ℝ* ∧ 0 < 1) ∧ (𝑥 ∈ 𝑋 ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 1)) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
36	23, 24, 25, 26, 29, 34, 35	syl33anc 1384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
37	6	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋))
38		metxmet 23487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (Met‘𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋))
40		rpxr 12739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 ∈ ℝ+ → 𝑟 ∈ ℝ*)
41	40	ad2antlr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑟 ∈ ℝ*)
42		min1 12923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑟 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
43	31, 32, 42	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟)
44		ssbl 23576	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
45	39, 26, 29, 41, 43, 44	syl221anc 1380	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
46	36, 45	eqsstrrd 3960	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟))
47		sstr2 3928	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) → ((𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
48	46, 47	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → ((𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
49	48	reximdv 3202	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
50	49	ralimdva 3108	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
51		oveq2 7283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) = (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)))
52	51	sseq1d 3952	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
53	52	rexbidv 3226	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
54	53	ralbidv 3112	. . . . 5 ⊢ (𝑑 = if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢))
55	54	rspcev 3561	. . . 4 ⊢ ((if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)if(𝑟 ≤ 1, 𝑟, 1)) ⊆ 𝑢) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)
56	22, 50, 55	syl6an 681	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
57	56	rexlimdva 3213	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑟 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘(𝑦 ∈ 𝑋, 𝑧 ∈ 𝑋 ↦ if((𝑦𝐷𝑧) ≤ 1, (𝑦𝐷𝑧), 1)))𝑟) ⊆ 𝑢 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢))
58	19, 57	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝑋 ∃𝑢 ∈ 𝑈 (𝑥(ball‘𝐷)𝑑) ⊆ 𝑢)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3887  ifcif 4459  ∪ cuni 4839   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  ℝ⁺crp 12730  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583  ballcbl 20584  MetOpencmopn 20587  Compccmp 22537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-ec 8500  df-map 8617  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-clim 15197  df-sum 15398  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-cmp 22538  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475

This theorem is referenced by: (None)