Theorem mplvsca2 22321

Description: The scalar multiplication operation on multivariate polynomials. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplvsca2.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplvsca2.s	⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
mplvsca2.n	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
mplvsca2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

Proof of Theorem mplvsca2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplvsca2.n	. 2 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
2		fvex 6898	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) ∈ V
3		mplvsca2.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		mplvsca2.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼 mPwSer 𝑅)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
6	3, 4, 5	mplval2 22303	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝑆 ↾s (Base‘𝑃))
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑆)
8	6, 7	ressvsca 17515	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ V → ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃))
9	2, 8	ax-mp 5	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10	1, 9	eqtr4i 2787	1 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑆)

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387   ·_𝑠 cvsca 17432   mPwSer cmps 22212   mPoly cmpl 22214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-vsca 17445  df-psr 22217  df-mpl 22219

This theorem is used by:  mplvsca  22322  ply1vsca  22542  ply1ass23l  22544