Theorem mplsca 21971

Description: The scalar field of a multivariate polynomial structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsca.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mplsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem mplsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsca.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		mplsca.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	psrsca 21905	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
5		fvex 6888	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) ∈ V
6		mplsca.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	6, 1, 7	mplval2 21954	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
9		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	8, 9	resssca 17355	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ V → (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
11	5, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
12	4, 11	eqtrdi 2786	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3459  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226  Scalarcsca 17272   mPwSer cmps 21862   mPoly cmpl 21864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7669  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9372  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-4 12303  df-5 12304  df-6 12305  df-7 12306  df-8 12307  df-9 12308  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13523  df-struct 17164  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-tset 17288  df-psr 21867  df-mpl 21869

This theorem is referenced by:  mpllvec  21978  mplcoe1  21993  mplbas2  21998  mplascl  22020  mplasclf  22021  subrgascl  22022  subrgasclcl  22023  mplmon2cl  22024  mplmon2mul  22025  mplind  22026  evlslem1  22038  mpfconst  22057  mpfind  22063  mhppwdeg  22086  mhpvscacl  22090  mhplss  22091  ply1ascl  22193  pf1ind  22291  ply1vscl  22320  mdegvscale  26030  mdegvsca  26031  mplascl0  42524  mplascl1  42525  selvcllem2  42548  selvvvval  42555  evlselv  42557