Theorem mplsca 20828

Description: The scalar field of a multivariate polynomial structure. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplsca.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplsca.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplsca.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
mplsca	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Proof of Theorem mplsca

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		mplsca.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		mplsca.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑊)
4	1, 2, 3	psrsca 20769	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
5		fvex 6688	. . 3 ⊢ (Base‘𝑃) ∈ V
6		mplsca.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
7		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8	6, 1, 7	mplval2 20813	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s (Base‘𝑃))
9		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
10	8, 9	resssca 16754	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑃) ∈ V → (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Scalar‘𝑃))
11	5, 10	ax-mp 5	. 2 ⊢ (Scalar‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Scalar‘𝑃)
12	4, 11	eqtrdi 2789	1 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  Vcvv 3398  ‘cfv 6340  (class class class)co 7171  Basecbs 16587  Scalarcsca 16672   mPwSer cmps 20718   mPoly cmpl 20720

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7480  ax-cnex 10672  ax-resscn 10673  ax-1cn 10674  ax-icn 10675  ax-addcl 10676  ax-addrcl 10677  ax-mulcl 10678  ax-mulrcl 10679  ax-mulcom 10680  ax-addass 10681  ax-mulass 10682  ax-distr 10683  ax-i2m1 10684  ax-1ne0 10685  ax-1rid 10686  ax-rnegex 10687  ax-rrecex 10688  ax-cnre 10689  ax-pre-lttri 10690  ax-pre-lttrn 10691  ax-pre-ltadd 10692  ax-pre-mulgt0 10693

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3683  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7128  df-ov 7174  df-oprab 7175  df-mpo 7176  df-of 7426  df-om 7601  df-1st 7715  df-2nd 7716  df-supp 7858  df-wrecs 7977  df-recs 8038  df-rdg 8076  df-1o 8132  df-er 8321  df-map 8440  df-en 8557  df-dom 8558  df-sdom 8559  df-fin 8560  df-fsupp 8908  df-pnf 10756  df-mnf 10757  df-xr 10758  df-ltxr 10759  df-le 10760  df-sub 10951  df-neg 10952  df-nn 11718  df-2 11780  df-3 11781  df-4 11782  df-5 11783  df-6 11784  df-7 11785  df-8 11786  df-9 11787  df-n0 11978  df-z 12064  df-uz 12326  df-fz 12983  df-struct 16589  df-ndx 16590  df-slot 16591  df-base 16593  df-sets 16594  df-ress 16595  df-plusg 16682  df-mulr 16683  df-sca 16685  df-vsca 16686  df-tset 16688  df-psr 20723  df-mpl 20725

This theorem is referenced by:  mpllvec  20836  mplcoe1  20849  mplbas2  20854  mplascl  20877  mplasclf  20878  subrgascl  20879  subrgasclcl  20880  mplmon2cl  20881  mplmon2mul  20882  mplind  20883  evlslem1  20897  mpfconst  20916  mpfind  20922  mhppwdeg  20945  mhpvscacl  20949  mhplss  20950  ply1ascl  21034  pf1ind  21126  mdegvscale  24828  mdegvsca  24829  selvval2lem2  39799  selvval2lem4  39802  mhphf  39856